2022-2023学年安徽省亳州市九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2022-2023学年安徽省亳州市九年级上学期数学期末试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可．
【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意；
B、不是二次函数，故此选项不合题意；
C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2. 已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例的性质求解即可
【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意；
B．因为，所以，故B不符合题意；
C．因为，所以，故C符合题意；
D．因为，所以，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了比例性质，掌握比例的性质是解题的关键．
3. 在△中，∠，如果，，那么cs的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，从而可求.
【详解】∵∠，，
∴
∴
故选A
【点睛】本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.
4. 如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ）
A. a0C. a2
【答案】D
【解析】
【分析】反比例函数图象在一、三象限，可得．
【详解】解：反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，
，
．
故选D．
【点睛】本题运用了反比例函数图象的性质，解题关键要知道k的决定性作用．
5. 下列说法中，真命题的个数是（ ）
①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；
②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；
③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；
⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；
综上，真命题的个数为2个；
故选B．
【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键．
6. 若抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（ ）
A. 5B. ﹣1C. 4D. 18
【答案】A
【解析】
【详解】∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），
∴-4-2b+c=3，即c-2b=7，
∴2c-4b-9=2(c-2b)-9=14-9=5.
故选A.
7. 如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（ ）
B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，判断即可．
【详解】A、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵a∥b∥c，
∴，本选项结论正确，不符合题意；
D、连接AF，交BE于H，
∵b∥c，
∴△ABH∽△ACF，
∴，本选项结论不正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8. 在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则csB的值为( )
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据sinA=得到∠A的度数，即可得到∠B的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果．
【详解】解：∵sinA=
∴∠A=60°
∵∠C=90°
∴∠B=30°
∴csB=
故选B．
【点睛】本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大．
9. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
【详解】①当时，
∵正方形的边长为，
∴；
②当时，
，
所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，
故选A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．
【详解】解：如图①，，时，．
如图②，，，则，故；
如图③，，，则，故△；
如图④，，，则△．
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟知有两组角对应相等的两个三角形相似．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB=|k|，
∴|k|=2，
∵k＜0，
∴k=-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
12. 两个相似三角形的面积比为1：9，则它们的周长比为_____．
【答案】1：3
【解析】
【分析】相似三角形的周长比等于其对应边长比，而面积比等于对应边长比的平方．
【详解】已知两个相似三角形的面积比为1：9，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，由此可得这两个三角形的周长比为1：3，故答案为1：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要从三角形其面积比等于周长比的平方来进行考查的，难度不大．
13. 若扇形的圆心角为120°的弧长是12πcm,则这个扇形的面积是______________
【答案】4π
【解析】
【详解】设扇形的半径为R则
∵
∴R=18cm，
∴S扇形＝=12π×18÷2=108πcm2
故答案是：108π.
14. 如图的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是，同时，点E沿从B向C运动，速度为．动点E到达点C时运动终止．连接．
（1）当动点运动______秒时，与相似；
（2）当动点运动______秒时，．
【答案】 ①. 或 ②.
【解析】
【分析】（1）分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质求解即可；
（2）如图所示，过点E作于F，证明，求出，，则，再证明，得到，即，解方程即可．
【详解】解：（1）由题意得，则，
在中，由勾股定理得，
当时，
∴，即，
解得；
当时，
∴，即，
解得；
综上所述，当或时，与相似，
故答案为：或；
（2）如图所示，过点E作于F，则，
∴，
∴，即，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
三、（本大题共2小题，共16分）
15. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数、二次根式、绝对值分别化简后进行合并即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16. 已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】把和代入，解方程组求出b、c的值即可得答案.
【详解】解：∵抛物线过点和，∴
解方程组，得
∴抛物线的解析式是．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键.
四、（本大题共2小题，共16分．）
17. 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别是，，．
（1）作出关于O点逆时针旋转得到；
（2）作出以点O为位似中心，位似比为1的．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）根据旋转性质找到点，，，分别连接起来即可得到答案；
（2）根据位似性质找到，，，分别连接起来即可得到答案；
【小问1详解】
解：根据旋转性质找到点，，，分别连接起来，如图所示，
；
【小问2详解】
解：根据位似比为1可得找到，，，分别连接起来，如图所示，
．
【点睛】本题考查画旋转图及位似图，解题的关键是熟练掌握旋转性质及位似性质．
18. 用“”和“”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植：
（1）观察图形，寻找规律，并将下表填写完整：
（2）分别表示出第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数．
【答案】（1）见详解；
（2），．
【解析】
【分析】（1）根据图形规律可知甲种植物是第n个图形就有n行n列，总数是n的平方，乙种植物第n个图形就有行列，总数是，即可得到答案；
（2）根据图形规律即可得到答案；
【小问1详解】
解：由图形可得，甲种植物是第n个图形就有n行n列，乙种植物第n个图形就有行列，
【小问2详解】解：：由图形可得，甲种植物是第n个图形就有n行n列，乙种植物第n个图形就有行列，
∴第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数分别为：，．
【点睛】本题考查图形规律，解题的关键是根据图形找到每个图形的排布规律．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分．）
19. 已知：如图，为直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：平分．
（2）过点O作线段的垂线，垂足为E．若，．求垂线段OE的长．
【答案】（1）见详解；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线性质即可得到，根据可得，即可得到，最后根据可得，即可得到证明；
（2）根据垂径定理即可得到，再根据可得，结合（1）中，即可得到，可得，
即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∵，
∴，
，
∵，，
∴
∴．
【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，相似三角形判定与性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据切线及垂直得到角度相等．
20. 小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆，箱长，拉杆的长度都相等，在上，在上，支杆，请根据以上信息，解决下列问题．
求的长度（结果保留根号）；
求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留根号）．
【答案】（1）cm；（2）cm.
【解析】
【分析】过作于,,根据求出再求出CD，根据求出DE,即可求出AC;
过作交的延长线于，根据，求出即可.
【详解】解：过作于,
过作交的延长线于，
答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．
【点睛】本题考查的是三角形的实际应用，熟练掌握三角形的性质是解题的关键.
六、（本小题12分）
21. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点．点在反比例函数图象上，连接，交轴于点．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）点A（，1），M（－3，）是反比例函数图象上的点，可＝， 解得或舍去，所以，得到，所以反比例函数解析式为．
（2）由反比例函数的对称性可知，点的坐标为，由点和点的坐标可求得直线的函数关系式为，所以点的坐标为，分别过、作轴的垂线，垂足分别为点、点，则，由可求得的面积．
【小问1详解】
解：∵ 点A（，1），M（－3，）是反比例函数图象上的点，
＝，解得或舍去，
∴，
∴点的坐标为（4，1），点的坐标为（1，4），
∴反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：∵ 反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，且A（4，1），．
∴点的坐标为，
设直线的函数关系式为，
把点，点分别代入得
，
解得，
∴直线的函数关系式为，
当时，，
∴点的坐标为（0，3），
如图，分别过、作轴的垂线，垂足分别为点、点，

则，
∴．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点的问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，利用反比例函数上点的坐标特征求得反比例函数的解析式是解题的关键．
七、（本小题12分）
22. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
八、（本小题14分）
23. (1)问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点D是线段AB上一动点，连接BE.
填空: ①的值为 ；②∠DBE的度数为 .
(2)类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D是线段AB上一动点，连接BE.请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由.
(3)拓展延伸
如面3，在(2)的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC=2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少?请直接写出答案.
【答案】（1）1，90°；（2），90°，理由见解析；（3）3+或3-
【解析】
【分析】（1）易得△ABC和△CDE为等腰直角三角形，所以AC=BC，CD=CE，通过证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE和∠CAD=∠CBE=45°，进而得出答案；
（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE=∠CAD=60°，即可求∠DBE的度数；
（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM=BM=，即可求DE=，由相似三角形的性质可得∠ABE=90°，BE=AD，由勾股定理可求BE的长．
【详解】解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，
∴∠ABC=∠CAB=45°，∠CDE=∠CED=45°
∴AC=BC，CD=CE
∵∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=45°
∴=1，∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°
故答案为：1，90°；
（2）=，∠DBE=90°，理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，∠CED=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC=tan30°==.
∵∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，
∴Rt△ACB∽Rt△DCE，
∴=，且∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴==，∠CBE=∠CAD=60°,
∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°；
（3）若点D在线段AB上，如图，
由（2）知：==，∠ABE=90°，
∴BE=AD，
∵AC=2，∠ACB=90°，∠CAB=60°，
∴AB=4，BC=2.
∵∠ECD=∠ABE=90°，且点M是DE中点，
∴CM=BM=DE，
且△CBM是直角三角形，
∴CM2+BM2=BC2=（2）2，
∴BM=CM=，
∴DE=2，
∵DB2+BE2=DE2，
∴（4-AD）2+（AD）2=24，
∴AD=+1，
∴BE=AD=3+；
若点D在线段BA延长线上，如图，
同理可得：DE=2，BE=AD，
∵BD2+BE2=DE2，
∴（4+AD）2+（AD）2=24，
∴AD=-1，
∴BE=AD=3-.
综上所述：BE的长为3+或3-.
【点睛】本题考查相似三角形的动点问题和三角函数，熟练掌握特殊角度的三角函数值，相似三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键.
图序
①
②
③
④
1
4
9
4
9
图序
①
②
③
④
1
4
9
4
9