重庆市凤鸣山中学教育集团2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求出，即可得出中元素的个数.
【详解】由题意，
，，
，
故中元素的个数为3，
故选：C.
2. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
【答案】C
【解析】
【分析】求解不等式，根据充分必要条件的定义求解即可.
【详解】由，解得或，
所以能得出，但成立不一定能得到，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：.
3. 函数f（x）=lnx+3x-4零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．
【详解】解：函数在其定义域上单调递增，
（2），（1），
（2）（1）．
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，
故选．
【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题．
4. 三个数，，之间的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可判断出.
【详解】解：，
.
故选：C.
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查推理能力与了计算能力，属于基础题.
5. 若幂函数在上单调递减，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的定义和单调性求解即可.
【详解】因为为幂函数，所以，解得，
又因为在上单调递减，所以，
故选：C
6. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调区间的求法，即可求出结果.
【详解】由得到或，
令，则，
因为在定义域上是减函数，
又开口向上且对称轴为，
易知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的单调递增区间为，
故选：B.
7. 已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断．
【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A；
因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D．
故选：C．
8. 已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】画出函数的图象如下图所示．由题意知，当x=-1时，；当x=1时，．

设，则原方程化为，
∵方程有8个相异实根，
∴关于的方程在上有两个不等实根．
令，．
则，解得．
∴实数的取值范围为．选D．
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解．本题中在结合函数图象分析得基础上还用到了方程根的分布的有关知识．
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用特殊值以及不等式的性质来确定正确答案.
【详解】A选项，，所以A选项错误.
B选项，若，则，则，所以B选项正确.
C选项，若，则，所以C选项正确.
D选项，若，则，所以，所以D选项正确.
故选：BCD
10. 已知函数，则（ ）
A. 的定义域为
B. 的值域为
C. 为减函数
D. 为奇函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用对数型复合函数的定义域，列不等式组可判断A；由对数型复合函数的值域可判断B；根据复合函数的单调性可判断C；根据奇偶性定义可判断D.
【详解】由解得，A正确．
，因为，所以，B正确．
因为函数在上单调递减，
函数在上单调递增，所以在定义域内单调递减，C正确．
的定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，D错误．
故选：ABC
11. 已知与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值可能是（ ）
A B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】在函数的图象上取点Px,y，可知点关于轴的对称点在函数的图象上，可得出，由参变量分离法可得出，求出函数的值域，即为实数的取值范围.
【详解】在函数的图象上取点Px,y，
则点关于轴的对称点在函数的图象上，
所以，，整理可得，
可得，
所以，实数的取值范围即为函数的值域，
因为内层函数在上为增函数，
外层函数为增函数，故函数为增函数，
又因为函数为增函数，故函数为增函数，
所以，，所以，函数的值域为，
因此，实数的取值范围是.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 计算：___________．
【答案】2
【解析】
【分析】结合指数、对数运算求得正确答案.
【详解】
.
故答案为：
13. 已知，则的最小值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】由基本不等式求解，
【详解】由得，
当且仅当时等号成立，即的最小值为3，
故答案为：3
14. 已知函数在定义域上单调递减，则实数取值范围_______.
【答案】
【解析】
【分析】由两段都是递减，且分界点左大右小(可相等)可得．
【详解】由题意，解得．
故答案为：．
四、解答题
15. 已知集合.
（1）求
（2）求.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求解；（2）根据集合的运算直接求解.
【小问1详解】
由解得或，
所以或，
【小问2详解】
由(1)可得，
所以.
16. 已知函数.
（1）当时，分别求出函数在上的最大值和最小值；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）最大值为，最小值为；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可；
（2）分类讨论求含参一元二次不等式解集.
【小问1详解】
由题设，开口向上且对称轴为，
结合二次函数的图象，在上最大值为，最小值为.
【小问2详解】
由题意，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
17. 已知（且）
（1）判断奇偶性并给予证明；
（2）求使的的取值范围.
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）当时，的的取值范围为，当时，的的取值范围为
【解析】
【分析】（1）直接奇偶性的定义判断即可，
（2）分和两种情况解不等式即可
【小问1详解】
为奇函数，证明如下：
由，得，所以函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，
【小问2详解】
当时，由，得，得，
由，得，由，得或，
所以，
当时，由，得，得，解得，
综上，当时，的的取值范围为，当时，的的取值范围为
18. 函数f(x)对任意的实数m，n，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：f(x)在上为增函数．
（3）若，解不等式．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）令，代入等式，可求得；
（2）令，代入等式，结合，可得到，从而可知是奇函数，然后用定义法可证明f(x)在上为增函数；
（3）原不等式可化为，结合函数f(x)的单调性，可得出，解不等式即可.
【详解】（1）证明：令，则，∴.
（2）证明：令，则，
∴，∴，
∴对任意的，都有，即是奇函数．
在上任取，，且，则，
∴，即，
∴函数在上为增函数.
（3）原不等式可化为，
由（2）知f(x)在上为增函数，可得，即，
∵，∴，解得，
故原不等式的解集为.
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
19. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）结合奇函数的性质可知代入即可求解，
（2）结合函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可判断，
（3）结合（2）的单调性和奇偶性将问题转化为对任意实数恒成立，分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值即可求解.
【小问1详解】
由于是R上的奇函数，
，即，所以，，
又，所以，解得，
经检验符合题意.
【小问2详解】
在R上单调递增，证明如下：
由于，可得，
设
则，
由于，故因此
，
故在R上单调递增，
【小问3详解】
由于为奇函数，故由可得，
又在R上单调递增，因此对任意实数恒成立，
故，
由于对勾函数在单调递减，故当取最小值，
因此，故