（预习课）人教A版高一数学寒假讲义第14讲 简单几何体的表面积与体积+巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、认识简单几何题的表面积．
2、认识简单几何题的体积．
【考点目录】
考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积
考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积
考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积
考点五：球的表面积与体积
【基础知识】
知识点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：
知识点诠释：
求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．
知识点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．
1、圆柱的表面积
（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r，母线长，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr，宽等于圆柱侧面的母线长（也是高），由此可得S圆柱侧=C=2πr．

（2）圆柱的表面积：．
2、圆锥的表面积
（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r，母线长为，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr，半径等于圆锥侧面的母线长为，由此可得它的侧面积是．
（2）圆锥的表面积：S圆锥表=πr2+πr．

3、圆台的表面积
（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为π（r＇+r），即圆台的侧面积为S圆台侧=π（r＇+r）．
（2）圆台的表面积：．
知识点诠释：
求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．
知识点三、柱体、锥体、台体的体积
1、柱体的体积公式
棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh．
圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．
综上，柱体的体积公式为V=Sh．
2、锥体的体积公式
棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积．
圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则．综上，锥体的体积公式为．
3、台体的体积公式
棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是．
圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是
．综上，台体的体积公式为．
知识点四、球的表面积和体积
1、球的表面积
（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积．
（2）球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积公式 S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍．
2、球的体积
设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为．
【考点剖析】
考点一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1．如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
（1）求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
（2）若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
【解析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，
所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，
棱台的侧面积为，
所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.
（2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，
因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，
所以大棱锥的侧面积为，所以棱台的侧面积为，
棱台的上，下底面的面积和为，
所以棱台的表面积为.
例2．已知四面体S­ABC的棱长为a，各面均为等边三角形，求它的表面积．
【解析】如图所示，
由等边三角形的面积计算公式可得：的面积．四面体的表面积为．
考点二：棱柱、棱锥、棱台的体积
例3．已知一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，求这个六棱锥的体积．
【解析】正六边形可以分成6个相同的等边三角形，故.
.
例4．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.
【解析】如图所示，在三棱锥中，
、分别是上、下底面的中心，、分别是、的中点，连接、、、，
则、分别在、上，则是三棱锥的高，记为，
是等腰梯形的高，也是三棱锥的斜高，记为，所以；
上、下底面面积之和为，
由得：，即，
又，，
在直角梯形中，，
则三棱锥的体积.
考点三：圆柱、圆锥、圆台的表面积
例5．如图，梯形满足，，，，，现将梯形绕所在直线旋转一周，所得几何体记为．求的表面积．
【解析】几何体为圆柱与圆锥的组合体，圆锥和圆柱的底面半径为，圆锥的高为，圆柱的高，圆锥的母线长为圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，
所以的表面积．
例6．西安市建造圆锥形仓库用于储存粮食，已建的仓库底面直径为，高为.随着西安市经济的发展，粮食产量的增大，西安市拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多的粮食.现有两种方案：一是新建的仓库底面半径比原来大（高不变）；二是高度增加（底面直径不变）.分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
【解析】（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成，半径为，
圆锥的母线长为（），则仓库的表面积（），
如果按方案二，仓库的高变成，圆锥的母线长为，
则仓库的表面积（）.
例7．如图，直三棱柱的高为，底面三角形的边长分别为．以上、下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积．
【解析】因为，所以底面是直角三角形．所以上、下底面内切圆半径．
所以，
考点四：圆柱、圆锥、圆台的体积
例8．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱．
（1）求出此圆锥的侧面积；
（2）用表示此圆柱的侧面积表达式；
（3）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．
【解析】（1）圆锥的底面半径与高均为2，则圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为．
（2）设圆柱的半径为，则，解得，且；
所以圆柱的侧面积为．
（3），；当时，取得最大值为，
此时，圆柱的体积为．
例9．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活.蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示.已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.

图1 图2
（1）求该蒙古包的侧面积；
（2）求该蒙古包的体积.
【解析】由题意可知米，米，米，米.
（1）圆锥部分的侧面积平方米.
圆柱部分的侧面积平方米.
故该蒙古包的侧面积平方米.
（2）圆锥部分的体积立方米，
圆柱部分的体积立方米.
故该蒙古包的体积立方米.
故答案为：（1）平方米；（2）立方米.
考点五：球的表面积与体积
例10．在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，三棱锥外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】因为在中，，分别为中点，将沿折起得到三棱锥，所以，
所以棱锥外接球可以转化为分别以六条棱为面对角线的长方体的外接球，设长方体的长宽高分别为，则，即，
即长方体的外接球半径满足：，故三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
例11．已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【解析】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为，其高，其外接球的半径，则圆柱的表面积，球的表面积，则圆柱的表面积与球的表面积之比为，故选：.
例12．正四面体的俯视图为边长为1的正方形（两条对角线一条是虚线一条是实线），则正四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，该正四面体可以看成棱长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体，
所以正四面体的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，
所以外接球的半径为，则该外接球的表面积为，
故选：C.
【真题演练】
1．（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
2．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A．
3．（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，
又，则，所以，所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，所以.故选：C.
4．（2021·全国·高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.故选：D.
5．（2021·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
【答案】B
【解析】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，所以积水厚度，属于中雨.故选：B.
6．（2021·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
【答案】
【解析】∵∴∴∴.
故答案为：.
7．（2020·山东·高考真题）已知球的直径为2，则该球的体积是______.
【答案】
【解析】球的体积为：,故答案为：
8．（2020·浙江·高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得.故答案为：
9．（2020·江苏·高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.
【答案】
【解析】正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为
故答案为：
【过关检测】
1．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为四个面是全等的正三角形，，则表面积故选：A.
2．已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆锥的底面积为1，圆锥底面圆半径r，有，令圆锥母线长为，有，因此，
显然圆锥侧面展开图扇形弧长，所在圆半径为l，所以圆锥侧面展开图的圆心角为.
故选：A
3．把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，所以圆柱的高为，
则圆柱的体积为，设球的半径为，则，故选：C
4．已知圆锥的体积为，其中S为圆锥的底面积，h为圆锥的高．现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为3cm，高为6cm），现向杯中以6ml/s的速度匀速注入水，则注水t（0＜t＜5）s后，杯中水的高度为（ ）
A．cmB．cmC．cmD．cm
【答案】C
【解析】假设注水后，杯中水的水面半径为xcm，则杯中水的高度，则由注入的水的体积与杯中水的体积相等得，解得，故杯中水的高度cm．故选：C.
5．中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设对应半径为R，对应半径为r，根据弧长公式可知，，
因为两个扇环相同，长度为长度的3倍，所以，因为，
所以，所以曲池体积为.故选：D
6．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，设靠近点的三等分点为点，
当底面水平放置时，液面高度为，此时液体体积，因为,所以，,所以，解得.
故选：A.
7．圆台的母线长为3，两底面半径分别为1，2，则圆台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可得圆台的侧面积为.故选：B.
8．已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球O的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示：
设为正三角形的中心，连接，则平面，球心在上，
设球的半径为，连接，∵正三角形的边长为4，∴，
又∵，∴在中，，
在中，，，，
∴，解得，∴球的表面积为．故选：D．
9．（多选题）下列命题正确的是（ ）
A．将棱台的侧棱延长后必交于一点
B．绕直角三角形的一边旋转一周得到的几何体是圆锥
C．若一个球的表面积扩大一倍，则该球的体积扩大倍
D．在棱长为1的正方体中，四面体的体积为
【答案】AD
【解析】对A，由棱台的定义可知将棱台的侧棱延长后必交于一点，故A正确；
对B，绕直角三角形的直角边一边旋转一周得到的几何体是圆锥，绕直角三角形的斜边一边旋转一周得到的几何体是两个圆锥的组合体，故B错误；
对C，设球的半径为，扩大之后的半径为，若表面积扩大一倍，则，解得，则该球扩大之后的体积为，所以扩大了倍，故C错误；
对D，在棱长为1的正方体中，四面体为正方体截去四个三棱锥之后的几何体，其体积为，故D正确.故选：AD.
10．（多选题）若一个直角三角形的两条直角边长分别为3与4，则以其直角边为旋转轴，旋转而成的空间图形的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由题得旋转而成的空间图形是圆锥，母线长为5.若底面半径为3，则侧面积为；若底面半径为4，则侧面积为．故选：BC
11．（多选）已知某正方体的外接球上有一个动点M，该正方体的内切球上有一个动点N，若线段的最小值为，则下列说法正确的是（ ）
A．正方体的外接球的表面积为B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为2D．线段的最大值为
【答案】ABC
【解析】设正方体的棱长为a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即，
内切球半径为棱长的一半，即．∵M，N分别为该正方体外接球和内切球上的动点，
∴，解得，∴正方体的棱长为2，C正确．
正方体的外接球的表面积为，A正确．正方体的内切球的体积为，B正确，
线段的最大值为，D错误．故选：ABC．
12．（多选题）中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，若取，则下列结论正确的是（ ）
A．正四棱锥的底面边长为24mB．正四棱锥的高为
C．正四棱锥的体积为D．正四棱锥的侧面积为
【答案】ABC
【解析】如图，在正四棱锥中，为正方形的中心，，则为的中点，连接，，，
则平面，，则为侧面与底面所成的锐二面角，设底面边长为．正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，取，，
则．
在中，，解得，故底面边长为，
正四棱锥的高为，侧面积为，
体积．故选：ABC．
13．将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_________.
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，则，∴.∴圆锥的高，
∴圆锥的体积.故答案为：.
14．已知圆锥的侧面展开图为半圆，其内切球的体积为，则该圆锥的高为________．
【答案】3
【解析】因为内切球的体积为，故内切球的半径满足，故.
设母线的长为，底面圆的半径为，故，故，
故轴截面为等边三角形（如图所示），设分别为等边三角形的内切圆与边的切点，
为内切圆的圆心，则共线且，，
而，故，故，
故答案为：3.
15．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的______________.
【答案】
【解析】如图所示的过球心的截面图，设球的半径为，截面圆的半径为，
则，所以；
故答案为：．
16．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图：球及其外切圆柱（如图）．以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积均为其外切圆柱的体积和表面积的______．（用分数作答）
【答案】
【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，所以球的体积为，表面积为，
圆柱的体积为，所以其体积之比为，圆柱的侧面积为，圆柱的表面积为，所以其表面积之比为故答案为:
17．如图，已知圆锥的底面半径为4，母线长为8，P为母线的中点．
(1)求圆锥的表面积和体积；
(2)若为底面直径，求沿圆锥表面，点P到点B的最短距离．
【解析】（1）∵圆锥的底面半径为4，母线长为8，∴．
由，解得，∴圆锥的体积为．
（2）（2）沿着母线，把圆锥的侧面展开，如图所示，设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，则，
∴，，，
∴圆锥面上P点到B点的最短距离为．
18．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积与表面积．
【解析】易知：，因为，，
所以，即，因为，
所以圆柱的侧面积，
圆柱的表面积．
19．如图所示的斜截圆柱中，已知其底面直径为40cm，母线最短50cm，最长80cm，求斜截圆柱的体积．
【解析】倒扣一个相同的斜截圆柱补成一个大圆柱，则大圆柱的底面半径为20cm，高为130cm，
所以．
20．为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为10cm，且当窄口容器的容器口是半径为1cm的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为2cm，求制造该漏斗所需材料的面积．（假设材料没有浪费）
【解析】如图，由题意知，，，
因为，所以，即，解得，所以，
可得圆锥母线，所以侧面积．
21．如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）．若正方体的棱长为，求半球的表面积和体积．
【解析】因正方体的棱长为，则在半球上的正方体4个顶点所在小圆半径，
而半球球心到此截面小圆距离，因此半球半径，
所以半球的表面积，体积.
22．如图，已知直三棱柱的体积为，，分别为棱，上的点，，，求四棱锥的体积．
【解析】由题意，不妨设直三棱柱的高，
∵，，∴，，故，，
从而，即∵
∵，从而，
∴．
简单几何体的表面积与体积 随堂检测
1.已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设底面边长为，由题意得，解得，所以侧面积为．
故选：B
2.已知正四棱锥的侧棱长为2，高为.则该正四棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，则，，所以该正四棱锥的表面积为，故选：C
3.以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，所以几何体表面积为.故选：D
4.若圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则它的底面面积与侧面面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，扇形的半径为，由题意可得，，
所以，该圆锥的侧面积为，底面积为，
所以，该圆锥的底面面积与侧面面积之比是.故选：D.
5.已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆台的高和母线分别为，球心到圆台上底面的距离为，根据圆台的侧面积公式可得，因此圆台的高，当球心在圆台内部时，则，解得，故此时外接球半径为，当球心在圆台外部时，则，，解得不符合要求，舍去，故球半径为故选：B
6．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因，平面ABCD，平面ABCD，则，又因四边形ABCD为矩形，则.则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：，则外接球的表面积为：
故选：B
7.设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为______．
【答案】
【解析】由正六棱柱可得底面为正六边形，则底面积，
即正六棱柱的体积.故答案为：.
8.将个边长为1的正三角形纸片，按如图方法将它拼剪成一个三棱柱，则这个三棱柱的体积为__________.
【答案】
【解析因为三棱柱的上下底面全等，所以如图所示：
底面边长，又因为，所以，解得底面边长，
所以上下底面面积和，因为纸片的面积，
所以每个小长方形的面积，所以三棱柱的高，
所以三棱柱的体积.故答案为：.
9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为3cm．若不计容器的厚度，则球的体积为______
【答案】
【解析】过球心作与正方体的前后面平行的截面，如图，截球得大圆，截正方体得正方形，，线段是正方体上底面截球所得截面圆直径，虚线表示水面，，设球半径为，则，，由勾股定理得，即，解得，所以球体积为．故答案为：．
10.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
【答案】(1)(2)26400克
【解析】（1）由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，
所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，由球体的体积为：，
圆柱体积为：，所以浮球的体积为：.
（2）上下半球的表面积：，圆柱侧面积：，
所以，1个浮球的表面积为，3000个浮球的表面积为：，
因此每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶克.
11.已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.
(1)求四棱锥的表面积；
(2)求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；
(3)若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析（1）四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成，
，，，则与全等，与全等，
因为，，，
所以
（2）设剩余部分的体积为，因为EC为四棱柱的高，且
所以又正方体体积，
（3），其中平面ABCD，故.
项目
名称
底面
侧面
棱柱
平面多边形
平行四边形
面积=底·高
棱锥
平面多边形
三角形
面积=·底·高
棱台
平面多边形
梯形
面积=·（上底+下底）·高