（预习课）人教A版高一数学寒假讲义第11讲 复数的四则运算+巩固练习+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、掌握复数集中的运算问题．
【考点目录】
考点一：复数的加减运算
考点二：复数的乘除运算
考点三：复数代数形式的四则运算
考点四：复数方程
考点五：复数的几何意义
【基础知识】
知识点一、复数的加减运算
1、复数的加法、减法运算法则：
设，（），我们规定：
知识点诠释：
（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显，
两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．
（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式．
2、复数的加法运算律：
交换律：z1+z2=z2+z1
结合律：：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）
知识点二、复数的加减运算的几何意义
1、复数的表示形式：
代数形式：（）
几何表示：
①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）；
②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数．
知识点诠释：
复数复平面内的点平面向量
2、复数加、减法的几何意义：
如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量．
设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=（a，b），=（c，d）以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是，
由于，所以和的和就是与复数（a+c）+（b+d）i对应的向量
知识点诠释：
要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理
知识点三、复数的乘除运算
1、乘法运算法则：
设，（），我们规定：
知识点诠释：
（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．
2、乘法运算律：
（1）交换律：
（2）结合律：
（3）分配律：
【考点剖析】
考点一：复数的加减运算
例1．设，则（ ）
A．B．C．D．
例2．若复数，，，则___________.
考点二：复数的乘除运算
例3．复数z满足，则对应复平面内的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
考点三：复数代数形式的四则运算
例4．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
例5．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．2
例6．已知复数满足，，则正数（ ）
A．-2B．-1C．4D．2
考点四：复数方程
例7．已知是复数，和都是实数.
（1）求复数；
（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.
例8．已知复数是方程的一个解.
（1）求、的值；
（2）若复数满足，求的最小值.
考点五：复数的几何意义
例9．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：
（1）向量对应的复数；
（2）向量对应的复数；
（3）向量对应的复数．
例10．已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.
【真题演练】
1．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
2．（2022·全国·高考真题（理））若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全国·高考真题（理））设，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·全国·高考真题（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
10．（2021·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．
【过关检测】
一、单选题
1．下列命题中，真命题的个数是（ ）
（1）若复数、，且，则或
（2）若复数、，且，则．
（3）若复数，则．
A．0B．1C．2D．3
2．方程有一个根为，求的值为（ ）
A．5B．3C．4D．2
3．设是虚数单位，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
4．已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．2D．5
5．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．已知复数（其中为虚数单位），的共轭复数为，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
8．非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（ ）
A．、、三点共线B．是直角三角形
C．是等边三角形D．以上都不对
二、多选题
9．已知复数，则（ ）
A．z的实部是B．z的虚部是
C．z的共轭复数为D．
10．已知i为虚数单位，以下四种说法中正确的是（ ）
A．是纯虚数 B．若，则复平面内对应的点位于第四象限
C．若，则 D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
11．设z为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．z2＝|z|2B．
C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2D．若，则z是纯虚数
12．已知复数，满足，，则（ ）
A．B．
C．D．在复面内对应的点位于第一象限
三、填空题
13．若复数满足（为虚数单位），则______．
14．下列说法中正确的个数是 ．
（1）；
（2）若一个复数是纯虚数，则其实部不存在；
（3）虚轴上的点表示的数都是纯虚数；
（4）设（为虚数单位），若复数在复平面内对应的向量为，则向量的模长为2；
（5）若，则对应的点在复平面内的第四象限．
15．若复数和复数满足，则_____．
16．已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则_____．
四、解答题
17．关于的方程（）的两个根为，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
18．已知关于的一元二次方程的两根为、．
(1)若为虚数，求的取值范围；
(2)若，求的值．
19．已知复数为虚数单位．
(1)若是关于的实系数方程的一个复数根，求的值；
(2)若为实数，求的值．
20．设、为实数，关于的方程有四个互不相同的根，它们在复平面上对应四个不同的点.
(1)当时，求方程在复数集上的解集，并求对应四点围成图形的面积；
(2)若对应的四个点构成正方形，求实数、的值.
21．已知复数.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若是方程的一个根，求的实部.
22．已知复数满足（其中是虚数单位），且复数在复平面内对应的点在第一象限．若，且是纯虚数，求实数的值．
复数的概念 随堂检测
1．若复数，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知复数z满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．z的虚部为iB．C．D．
5．（多选）以下四种说法正确的是（ ）
A．=i
B．复数的虚部为
C．若z=，则复平面内对应的点位于第二象限
D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数
6．（多选）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．对应的点在第三象限B．
C．为纯虚数D．的共轭复数为
7．（多选）若复数（为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．B．的虚部为
C．为纯虚数D．
8．已知，且，i为虚数单位，则的最大值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．若复数的实部和虚部相等，则实数______．
10．若关于的方程有虚根，则实数的取值范围是______．
11．设复数，满足，，则_______.
12．已知，且，复数为虚数单位）满足．
(1)求；
(2)若关于的方程有实根，求的所有可能值．