上海市2024年中考数学二模试题按照知识点分层汇编-03函数

这是一份上海市2024年中考数学二模试题按照知识点分层汇编-03函数，共53页。
1．（2024•黄浦区二模）已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，那么点P的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
2．（2024•浦东新区二模）直线y＝﹣x+1经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限．
3．（2024•长宁区二模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y＝2x2B．y=-2xC．y＝﹣2xD．y＝2x+1
4．（2024•崇明区二模）下列函数中，如果x＞0，y的值随x的值增大而减小，那么这个函数是（ ）
A．y＝3xB．y=-3xC．y＝﹣2x﹣3D．y＝2x2﹣1
5．（2024•宝山区二模）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝﹣2x2+1C．y＝x+1D．y＝﹣x+1
6．（2024•嘉定区二模）如果将抛物线y＝（x﹣1）2向下平移2个单位，那么平移后抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（﹣2，0）D．（3，0）
7．（2024•静安区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（2024•奉贤区二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ）
①函数图象经过点（1，﹣1）；
②图象经过第二象限；
③当x＞0时，y随x的增大而增大．
A．y＝﹣xB．y＝x﹣2C．y=-1xD．y＝x2﹣1
9．（2024•徐汇区二模）已知一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，那么直线y＝bx+k经过（ ）
A．第二、三、四象限B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限
10．（2024•普陀区二模）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过点A（2，6），那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（1，﹣3）C．（6，2）D．（6，﹣2）
11．（2024•青浦区二模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y=x5B．y=-x5C．y=5xD．y=-5x
12．（2024•虹口区二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣4）2，如果函数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥4B．x≤4C．x≥﹣4D．x≤﹣4
13．（2024•闵行区二模）下列函数中，y的值随着x的值增大而增大的是（ ）
A．y=1xB．y＝﹣x+2C．y＝x﹣2D．y=-1x
14．（2024•杨浦区二模）如果k＜0，b＜0，那么一次函数y＝kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
15．（2024•黄浦区二模）反比例函数y=1x的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（ ）
A．自变量x≠0且x的值可以无限接近0
B．自变量x≠0且函数值y可以无限接近0
C．函数值y≠0且x的值可以无限接近0
D．函数值y≠0且函数值y可以无限接近0
二．填空题（共27小题）
16．（2024•普陀区二模）已知反比例函数y=k-1x的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
17．（2024•金山区二模）已知f（x）=1x-1，f（2）＝ ．
18．（2024•崇明区二模）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c，（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝x2+2x+3的“关联抛物线”为y＝2x2+x+3．已知抛物线C1：y=6ax2+ax+9a-4(a＞0)的“关联抛物线”为C2，抛物线C2的顶点为P，且抛物C2与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形PMQN是正方形，那么抛物线C1的表达式为 ．
19．（2024•崇明区二模）已知f（x）＝2x+3，那么f（﹣2）＝ ．
20．（2024•长宁区二模）函数f(x)=2x-2的定义域为 ．
21．（2024•长宁区二模）如果二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，那么m的值为 ．
22．（2024•嘉定区二模）如果反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A（﹣2，﹣3），那么k的值是 ．
23．（2024•虹口区二模）函数y=2x+1的定义域是 ．
24．（2024•虹口区二模）一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为y（厘米），燃烧的时间为t（分钟），那么y关于t的函数解析式为 （不写定义域）．
25．（2024•普陀区二模）已知直线y＝2x+4与直线y＝1相交于点A，那么点A的横坐标是 ．
26．（2024•青浦区二模）函数f(x)=xx+1的定义域是 ．
27．（2024•静安区二模）反比例函数y=m2+1x（其中m为任意实数）的图象在第 象限．
28．（2024•静安区二模）函数f(x)=1x+1的定义域是 ．
29．（2024•徐汇区二模）如图，点A是函数y=-8x（x＜0）图象上一点，联结OA交函数y=-1x（x＜0）图象于点B，点C是x轴负半轴上一点，且AC＝AO，联结BC，那么△ABC的面积是 ．
30．（2024•虹口区二模）将抛物线y＝（x﹣2）2+1先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为 ．
31．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1与直线l2交于点C（0，1），它们的夹角为90°．直线l1交x轴负半轴于点A，直线l2与x轴正半轴交于点B（2，0），那么点A的坐标是 ．
32．（2024•松江区二模）平移抛物线 y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 .（只需写出一个符合条件的表达式）
33．（2024•徐汇区二模）如果反比例函数y=-4x的图象经过点A（t，﹣2t），那么t的值是 ．
34．（2024•松江区二模）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为 厘米．
35．（2024•奉贤区二模）函数y=12x-1的定义域是 ．
36．（2024•松江区二模）已知反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象经过点（﹣1，2），那么在每个象限内，y随x的增大而 .（填“增大”或“减小”）
37．（2024•徐汇区二模）如果二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，那么x的取值范围是 ．
38．（2024•青浦区二模）如果将抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 ．
39．（2024•浦东新区二模）如图，点A、C在反比例函数y=-1x的图象上，点B在反比例函数y=2x的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴，那么△ABC的面积等于 ．
40．（2024•浦东新区二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线y＝（k﹣1）x2+1在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ．
41．（2024•杨浦区二模）若反比例函数y=m-1x的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
42．（2024•黄浦区二模）将直线y＝2x向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是 ．
三．解答题（共18小题）
43．（2024•杨浦区二模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6：00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象．
根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）图中的a＝ ，b＝ ；
（2）求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；
（3）她们能否在中午12：30之前到达目的地？请说明理由．
44．（2024•闵行区二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征．
（1）请用一次函数分别表示y1与x、y2与x之间的函数关系．（不写定义域）
（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为v总＝y1+y2，车流量大的方向交通量为vm，经查阅资料得：当vm≥23v总，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．
45．（2024•崇明区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=33x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线C1：y=13x2+bx+c经过点B和点C（1，0），顶点为D．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为E，若点P在y轴上，当∠PED＝90°时，求点P的坐标；
（3）将抛物线C1平移，得到抛物线C2．平移后抛物线C1的顶点D落在x轴上的点M处，将△MAB沿直线AB翻折，得到△QAB，如果点Q恰好落在抛物线C2的图象上，求平移后的抛物线C2的表达式．
46．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于直线x=52对称，且经过点A（0，3）和点B（3，0），横坐标为4的点C在此抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结AB、BC、AC，求tan∠BAC的值；
（3）如果点P在对称轴右方的抛物线上，且∠PAC＝45°，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，请说明∠APQ＝∠BAC，并求点P的坐标．
47．（2024•长宁区二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动
设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：
（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式
（不必写出函数定义域）；
（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；
（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围．
48．（2024•崇明区二模）如图，正比例函数y=34x的图象与反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象相交于点A（a，3），点B为直线OA上位于点A右侧的一点，且OA＝2AB，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，交反比例函数的图象于点C．
（1）求反比例函数y=kx的解析式；
（2）试判断△ABC的形状．
49．（2024•长宁区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．
①当CF＝DF时，求CD的长；
②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，求点F的坐标．
50．（2024•宝山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=kx的图象交于点C（2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线l，如果点D在直线l上，且CD＝3，求△ABD的面积．
51．（2024•宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2x+4经过点P（0，4），顶点为A．
（1）求直线PA的表达式；
（2）如果将△POA绕点O逆时针旋转90°，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式；
（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C．如果PC=2AB，求tan∠PBC的值．
52．（2024•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）、B（﹣2，3）两点，与y轴的交点为C点，对称轴为直线l．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知以点C为圆心，半径为CB的圆记作圆C，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆C外切，试判断对称轴直线l与圆A的位置关系，请说明理由；
（3）已知点D在y轴的正半轴上，且在点C的上方，如果∠BDC＝∠BAC，请求出点D的坐标．
53．（2024•静安区二模）某区连续几年的GDP（国民生产总值）情况，如表所示：
我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：A（1，10.0）、B（2，11.0）、C（3，12.4）、D（4，13.5）．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析．
（1）根据点A、B的坐标，可得直线AB的表达式为y＝x+9．请根据点A、C坐标，求出直线AC的表达式；
（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．
（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）
例如：分析直线AB，即f（x）＝x+9上的点，可知f（1）＝10，f（2）＝11，f（3）＝12，f（4）＝13，求得偏离方差SAB2=14[(10-10)2+(11-11)2+(12.4-12)2+(13.5-13)2]＝0.1025．
请依据以上方式，求出关于直线AC的偏离方差值：SAC2= ；
问题：你认为在选用直线AB与直线AC进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？
请写出所选直线的表达式： ；
根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为 百亿元．
54．（2024•青浦区二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元．
（1）求y与x的函数解析式（不需要写定义域）；
（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
55．（2024•虹口区二模）如图，一次函数图象在反比例函数图象相交于点A（m，2）和点B（2，﹣4），与y轴交于点C．点D（﹣1，n）在反比例函数图象上，过点D作x轴的垂线交一次函数图象于点E．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△CDE的面积．
56．（2024•奉贤区二模）如图，已知一次函数图象y＝2x﹣3与反比例函数图象y=kx交于点A（2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点M在点A右侧的反比例函数图象上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，如果S△AMN=14，求点M的坐标．
57．（2024•金山区二模）已知：抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，0）、B（0，﹣3），顶点为P．
（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧．
①若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；
②若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且△BDQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
58．（2024•松江区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0）、点B（0，2），抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过点A，且顶点C在线段AB上（与点A、B不重合）．
（1）求b、c的值；
（2）将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，顶点落在点P处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点D，联结PD，交x轴于点E．
①如果 m＝2，求△ODP 的面积；
②如果 EC＝EP，求m的值．
59．（2024•徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）已知点M（0，m），联结BC，过点M作MG⊥BC，垂足为G，点D是x轴上的动点，分别联结GD、MD，以GD、MD为边作平行四边形GDMN．
①当m=32时，且▱GDMN的顶点N正好落在y轴上，求点D的坐标；
②当m≥0时，且点D在运动过程中存在唯一的位置，使得▱GDMN是矩形，求m的值．
60．（2024•奉贤区二模）如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，顶点为P，点A坐标为（﹣1，0）．
（1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点P的坐标（用a的代数式表示）；
（2）将抛物线向下平移后经过点（0，1），顶点P平移至P′．如果锐角∠CP′P的正切值为12，求a的值；
（3）设抛物线对称轴与x轴交于点D，射线PC与x轴交于点E，如果∠EDC＝∠BPE，求此抛物线的表达式．
上海市2024年中考数学二模试题按照知识点分层汇编-03函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2024•黄浦区二模）已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，那么点P的坐标是（ ）
A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
【解答】解：∵点P在第二象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标是﹣3，纵坐标是2，
∴点P（﹣3，2）．
故选：B．
2．（2024•浦东新区二模）直线y＝﹣x+1经过的象限是（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限．
【解答】解：由于k＝﹣1＜0，b＝1＞0，
故函数过一、二、四象限．
故选：B．
3．（2024•长宁区二模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y＝2x2B．y=-2xC．y＝﹣2xD．y＝2x+1
【解答】解：A、函数y＝2x2中，当x＜0时y随x的增大而减小，不符合题意；
B、函数y=-2x中，在每一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；
C、函数y＝﹣2x中，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、函数y＝2x+1中，y随x的增大而增大，符合题意．
故选：D．
4．（2024•崇明区二模）下列函数中，如果x＞0，y的值随x的值增大而减小，那么这个函数是（ ）
A．y＝3xB．y=-3xC．y＝﹣2x﹣3D．y＝2x2﹣1
【解答】解：A、y＝3x，当x＞0时，y随x值的增大而增大，故A选项不符合题意；
B、y=-3x，因为﹣3＜0，所以x＞0时，y的值随x的值增大而增大，故B选项不符合题意；
C、y＝﹣2x﹣3，因为﹣2＜0，y随x值的增大而减小，此C选项符合题意；
D、y＝2x2﹣1，因为图象开口向上，对称轴为y轴，所以x＞0时，y的值随x的值增大而增大，故D选项不符合题意．
故选：C．
5．（2024•宝山区二模）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝﹣2x2+1C．y＝x+1D．y＝﹣x+1
【解答】解：由题意，对于A选项，y＝2x2+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故A错误．
对于B选项，y＝﹣2x2+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，故B错误．
对于C选项，y＝x+1是一次函数，k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，故C错误．
对于D选项，y＝﹣x+1是一次函数，k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，故D正确．
故选：D．
6．（2024•嘉定区二模）如果将抛物线y＝（x﹣1）2向下平移2个单位，那么平移后抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（﹣2，0）D．（3，0）
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2向下平移2个单位的表达式为y＝（x﹣1）2﹣2，
∵当x＝0时，y＝（0﹣1）2﹣2＝﹣1，
∴平移后抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．
故选：B．
7．（2024•静安区二模）一次函数y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么该函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：当一次函数y＝kx+b中k＜0，b≥0，该函数的图象一定不经过第三象限，
故选：C．
8．（2024•奉贤区二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（ ）
①函数图象经过点（1，﹣1）；
②图象经过第二象限；
③当x＞0时，y随x的增大而增大．
A．y＝﹣xB．y＝x﹣2C．y=-1xD．y＝x2﹣1
【解答】解：∵函数y＝﹣x，y随x的增大而减小，
故选项A不符合题意；
∵函数 y＝x﹣2不经过第二象限，
故选项B不符合题意；
∵函数y=-1x，当x＝1时，y＝﹣1，
∴该函数经过点（1，﹣1），
∵函数y=-1x图象的两个分支在第二，四象限，且当x＞0时，y随x的增大而增大，
故选项C符合题意；
∵函数y＝x2﹣1，当x＝1时，y＝0，
∴y＝x2﹣1不经过点（1，﹣1），
故选项D不符合题意．
故选：C．
9．（2024•徐汇区二模）已知一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，那么直线y＝bx+k经过（ ）
A．第二、三、四象限B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴y＝bx+k经过一、三、四象限．
故选：D．
10．（2024•普陀区二模）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过点A（2，6），那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（1，﹣3）C．（6，2）D．（6，﹣2）
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过点A（2，6），
∴6＝2k，
解得：k＝3，
∴正比例函数解析式为y＝3x．
A．当x＝﹣1时，y＝3×（﹣1）＝﹣3，﹣3＝﹣3，
∴点（﹣1，﹣3）在这个正比例函数图象上，选项A符合题意；
B．当x＝1时，y＝3×1＝3，3≠﹣3，
∴点（1，﹣3）不在这个正比例函数图象上，选项B不符合题意；
C．当x＝6时，y＝3×6＝18，18≠2，
∴点（6，2）不在这个正比例函数图象上，选项C不符合题意；
D．当x＝6时，y＝3×6＝18，18≠﹣2，
∴点（6，﹣2）不在这个正比例函数图象上，选项D不符合题意．
故选：A．
11．（2024•青浦区二模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A．y=x5B．y=-x5C．y=5xD．y=-5x
【解答】解：A、在y=x5中k=15＞0，函数值y随自变量x的值增大而增大，符合题意；
B、在y=-x5中k=-15＜0，函数值y随自变量x的值增大而减小，不符合题意；
C、在y=5x中k＝5＞0，在每个象限内函数值y随自变量x的值增大而减小，不符合题意；
D、在y=-5x中k＝﹣5＜0，在每个象限内函数值y随自变量x的值增大而增大，不符合题意．
故选：A．
12．（2024•虹口区二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣4）2，如果函数值y随自变量x的增大而减小，那么x的取值范围是（ ）
A．x≥4B．x≤4C．x≥﹣4D．x≤﹣4
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣（x﹣4）2，
又a＝﹣1＜0，
∴当x≤4时，y随x的增大而增大，当x≥4时，y随x的增大而减小．
由函数值y随自变量x的增大而减小，
∴x≥4．
故选：A．
13．（2024•闵行区二模）下列函数中，y的值随着x的值增大而增大的是（ ）
A．y=1xB．y＝﹣x+2C．y＝x﹣2D．y=-1x
【解答】解：A、y=1x是反比例函数，∵1＞0，故在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；
B、y＝﹣x+2是一次函数，k＝﹣2＜0，故y随着x增大而减小，不符合题意；
C、y＝x﹣2是一次函数，k＝2＞0，故y随着x增大而增大，符合题意；
D、y=-1x是反比例函数，∵﹣1＜0，故在第一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：C．
14．（2024•杨浦区二模）如果k＜0，b＜0，那么一次函数y＝kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：当一次函数k＜0，b＜0，经过第二三四象限，不经过第一象限，
故选：A．
15．（2024•黄浦区二模）反比例函数y=1x的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（ ）
A．自变量x≠0且x的值可以无限接近0
B．自变量x≠0且函数值y可以无限接近0
C．函数值y≠0且x的值可以无限接近0
D．函数值y≠0且函数值y可以无限接近0
【解答】解：A、自变量x≠0且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，不符合题意；
B、自变量x≠0且函数值y可以无限接近0，与题目条件不符，错误，不符合题意；
C、函数值y≠0且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，不符合题意；
D、函数值y≠0且函数值y可以无限接近0，与题目条件相符，正确，符合题意；
故选：D．
二．填空题（共27小题）
16．（2024•普陀区二模）已知反比例函数y=k-1x的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 k＜1 ．
【解答】解：∵反比例函数y=k-1x的图象位于第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1，
故答案为：k＜1．
17．（2024•金山区二模）已知f（x）=1x-1，f（2）＝ 2+1 ．
【解答】解：f（2）=12-1
=2+1(2-1)(2+1)
=2+1．
故答案为：2+1．
18．（2024•崇明区二模）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c，（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝x2+2x+3的“关联抛物线”为y＝2x2+x+3．已知抛物线C1：y=6ax2+ax+9a-4(a＞0)的“关联抛物线”为C2，抛物线C2的顶点为P，且抛物C2与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形PMQN是正方形，那么抛物线C1的表达式为 y=32x2+14x-74 ．
【解答】解：∵抛物线C1：y＝6ax2+ax+9a﹣4（a＞0）的“关联抛物线”为C2，
∴C2的解析式为：y＝ax2+6ax+9a﹣4（a＞0）．
∴对称轴为：x=-6a2a=-3．
∴顶点P坐标为（﹣3，﹣4）．
∵点P关于x轴的对称点为Q，
∴点Q坐标为：（﹣3，4）．
∵四边形PMQN是正方形，抛物C2与x轴相交于M、N两点，
∴MN＝PQ＝8，PQ与MN互相平分，PQ的中点坐标为（﹣3，0）．
设点N在点M的右边．
∴点N的横坐标为：﹣3+4＝1．
∴点N的坐标为（1，0）．
∴a+6a+9a﹣4＝0．
解得：a=14．
∴抛物线C1的表达式为：y=32x2+14x-74．
19．（2024•崇明区二模）已知f（x）＝2x+3，那么f（﹣2）＝ ﹣1 ．
【解答】解：∵f（x）＝2x+3，
∴f（﹣2）＝2×（﹣2）+3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
20．（2024•长宁区二模）函数f(x)=2x-2的定义域为 x≠2 ．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
21．（2024•长宁区二模）如果二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，那么m的值为 ﹣9 ．
【解答】解：二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后的解析式为y＝（x﹣3）2+m，
∵二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，
∴（0﹣3）2+m＝0，
解得m＝﹣9．
故答案为：﹣9．
22．（2024•嘉定区二模）如果反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A（﹣2，﹣3），那么k的值是 6 ．
【解答】解：∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A（﹣2，﹣3），
∴k＝﹣2×（﹣3）＝6．
故答案为：6．
23．（2024•虹口区二模）函数y=2x+1的定义域是 x＞﹣1 ．
【解答】解：函数y=2x+1的定义域是x+1＞0，
解得：x＞﹣1．
故答案为：x＞﹣1．
24．（2024•虹口区二模）一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为y（厘米），燃烧的时间为t（分钟），那么y关于t的函数解析式为 y=-310t+30 （不写定义域）．
【解答】解：蜡烛每分钟燃烧的长度为30×12÷50=310（厘米），
∴y＝30-310t=-310t+30，
∴y关于t的函数解析式为y=-310t+30．
25．（2024•普陀区二模）已知直线y＝2x+4与直线y＝1相交于点A，那么点A的横坐标是 -32 ．
【解答】解：将y＝1代入y＝2x+4得：1＝2x+4，
解得：x=-32，
∴点A的横坐标是-32．
故答案为：-32．
26．（2024•青浦区二模）函数f(x)=xx+1的定义域是 x≠﹣1 ．
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故答案为：x≠﹣1．
27．（2024•静安区二模）反比例函数y=m2+1x（其中m为任意实数）的图象在第 一、三 象限．
【解答】解：∵反比例函数y=m2+1x，
∴k＝m2+1＞0，
∴此反比例函数的图象在第一、三象限．
故答案为：一、三．
28．（2024•静安区二模）函数f(x)=1x+1的定义域是 x≠﹣1 ．
【解答】解：根据题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
29．（2024•徐汇区二模）如图，点A是函数y=-8x（x＜0）图象上一点，联结OA交函数y=-1x（x＜0）图象于点B，点C是x轴负半轴上一点，且AC＝AO，联结BC，那么△ABC的面积是 8﹣22 ．
【解答】解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如下图所示：

∵点A是函数y=-8x（x＜0）图象上一点，点B是反比例函数y=-1x（x＜0）图象上的点，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAD=12×8＝4，S△OBE=12×1＝0.5，
∵AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∴AD∥BE，
∴△OAD∽△OBE，
∴S△OADS△OBE=(OAOB)2，
∴(OAOB)2=40.5=8，
∴OA=22OB，
∴AB＝OA﹣OB=22OB﹣OB＝（22-1）OB，
即ABOB=22-1，
∵S△ABCS△OBC=ABOB=22-1，
∴S△ABC＝（22-1）S△OBC，
∵AC＝AO，AD⊥x轴，
∴OD＝CD，
∴S△AOC＝2S△OAD＝8，
∴S△ABC+S△OBC＝8，
即（22-1）S△OBC+S△OBC＝8，
∴S△OBC=22，
∴S△ABC＝S△AOC﹣S△OBC=8-22．
故答案为：8-22．
30．（2024•虹口区二模）将抛物线y＝（x﹣2）2+1先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为 y＝（x﹣5）2﹣3 ．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣2）2+1先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为y＝（x﹣2﹣3）2+1﹣4，即y＝（x﹣5）2﹣3．
故答案为：y＝（x﹣5）2﹣3．
31．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1与直线l2交于点C（0，1），它们的夹角为90°．直线l1交x轴负半轴于点A，直线l2与x轴正半轴交于点B（2，0），那么点A的坐标是 (-12，0) ．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵x轴⊥y轴，
∴∠COA＝∠COB＝90°，
∴∠CAB+∠ACO＝90°，
∴∠ABC＝∠ACO，
∴△ACO∽△CBO，
∴COBO=AOCO，
∵点C（0，1），点B（2，0），
∴CO＝1，BO＝2，
∴12=AO1，
∴AO=12，
∵点A在x轴的负半轴，
∴点A的坐标是(-12，0)，
故答案为：(-12，0)．
32．（2024•松江区二模）平移抛物线 y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一） .（只需写出一个符合条件的表达式）
【解答】解：由平移抛物线 y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，
设平移后抛物线为 y＝（x﹣1）2+k，
由平移后的抛物线经过原点，
得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，
符合顶点在第四象限，
故所求为 y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．
33．（2024•徐汇区二模）如果反比例函数y=-4x的图象经过点A（t，﹣2t），那么t的值是 ±2 ．
【解答】解：∵反比例函数y=-4x的图象经过点A（t，﹣2t），
∴t×（﹣2t）＝﹣4，
解得t=±2．
故答案为：±2．
34．（2024•松江区二模）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为 12.5 厘米．
【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将x＝2，y＝11和x＝4，y＝12代入y＝kx+b，
得2k+b=114k+b=12，
解得k=12b=10，
∴y与x之间的函数关系式为y=12x+10（0≤x≤8）．
当x＝5时，y=12×5+10＝12.5，
∴挂5千克重物时弹簧的长度为12.5厘米．
故答案为：12.5．
35．（2024•奉贤区二模）函数y=12x-1的定义域是 x≠12 ．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≠0，
解得：x≠12．
故答案为：x≠12．
36．（2024•松江区二模）已知反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象经过点（﹣1，2），那么在每个象限内，y随x的增大而 增大 .（填“增大”或“减小”）
【解答】解：∵反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象经过点（﹣1，2），
∴k＜0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
37．（2024•徐汇区二模）如果二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，那么x的取值范围是 x≥1 ．
【解答】解：由题意，∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣1＝2（x﹣1）2﹣1，
又抛物线开口向上，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x≥1时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升．
∵二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
38．（2024•青浦区二模）如果将抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 y＝（x﹣3）2+1 ．
【解答】解：将抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝（x﹣3）2+1．
故答案为：y＝（x﹣3）2+1．
39．（2024•浦东新区二模）如图，点A、C在反比例函数y=-1x的图象上，点B在反比例函数y=2x的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴，那么△ABC的面积等于 94 ．
【解答】解：点B在反比例函数y=2x的图象上，设B（m，2m），
∵AB∥x轴，且点A、C在反比例函数y=-1x的图象上
∴A（-m2，2m），C（m，-1m），则有：AB＝m﹣（-2m），BC=2m-（-1m）=3m，
∴S△ABC=12×AB×BC=12×3m2×3m=94．
故答案为：94．
40．（2024•浦东新区二模）沿着x轴的正方向看，如果抛物线y＝（k﹣1）x2+1在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 k＜1 ．
【解答】解：∵抛物线 y＝（k﹣1）x2+1在y轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向下，
∴k﹣1＜0，
解得k＜1，
故答案为：k＜1．
41．（2024•杨浦区二模）若反比例函数y=m-1x的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是 m＞1 ．
【解答】解：∵图象在每一个象限中y随着x的增大而减小，
∴m﹣1＞0，
解得：m＞1，
故答案为：m＞1．
42．（2024•黄浦区二模）将直线y＝2x向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是 1 ．
【解答】解：直线y＝2x向上平移2个单位长度得到：y＝2x+2，
令y＝0，即2x+2＝0，
解得x＝﹣1，
令x＝0，得y＝2，
所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为：（﹣1，0）与（0，2），
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×2=1．
故答案为：1．
三．解答题（共18小题）
43．（2024•杨浦区二模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6：00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象．
根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）图中的a＝ 3 ，b＝ 320 ；
（2）求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；
（3）她们能否在中午12：30之前到达目的地？请说明理由．
【解答】解：（1）a＝2+1＝3，b＝480﹣80×2＝320，
故答案为：3，320．
（2）设提速后y关于x的函数解析式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标（3，320）和（5，120）代入y＝kx+b，
得3k+b=3205k+b=120，
解得k=-100b=620，
∴提速后y关于x的函数解析式为y＝﹣100x+620．
（3）能．理由如下：
当她们到达目的地时，y＝0，
得﹣100x+620＝0，
解得x＝6.2，
6.2小时＝6时12分，
∴她们于12：12分到达目的地．
44．（2024•闵行区二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征．
（1）请用一次函数分别表示y1与x、y2与x之间的函数关系．（不写定义域）
（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为v总＝y1+y2，车流量大的方向交通量为vm，经查阅资料得：当vm≥23v总，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．
【解答】解：（1）设y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将x＝8，y1＝10和x＝11，y1＝16代入y1＝k1x+b1，
得8k1+b1=1011k1+b1=16，
解得k1=2b1=-6，
∴y1＝2x﹣6．
设y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．
将x＝8，y2＝25和x＝11，y2＝22代入y2＝k2x+b2，
得8k2+b2=2511k2+b2=22，
解得k2=-1b2=33，
∴y2＝﹣x+33．
（2）v总＝y1+y2＝2x﹣6﹣x+33＝x+27．
当y1≥23v总时，即2x﹣6≥23（x+27），解得x≥18；
当y2≥23v总时，即﹣x+33≥23（x+27），解得x≤9．
∴8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东．
45．（2024•崇明区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=33x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线C1：y=13x2+bx+c经过点B和点C（1，0），顶点为D．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为E，若点P在y轴上，当∠PED＝90°时，求点P的坐标；
（3）将抛物线C1平移，得到抛物线C2．平移后抛物线C1的顶点D落在x轴上的点M处，将△MAB沿直线AB翻折，得到△QAB，如果点Q恰好落在抛物线C2的图象上，求平移后的抛物线C2的表达式．
【解答】解：（1）直线y=33x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
则点A、B的坐标分别为：（﹣33，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：13+b+c=0c=3，
解得：b=-103c=3，
则抛物线的表达式为：y=13x2-103x+3，
由抛物线的表达式知，点D（5，-163）；
（2）由抛物线的表达式知，点E（9，0），D（5，-163），
过点E作y轴的平行线交故点P和x轴的平行线于点N，交过点D和x轴的抛物线于点M，
则PN＝9，EM=163，DM＝4，
∵∠PED＝90°，
∴∠PEM+∠DEM＝90°，
∵∠NPE+∠NEP＝90°，
∴∠NPE＝∠DEM，
∴tan∠NPE＝tan∠DEM，即NEPN=DMEM，
NE9=4163，
解得：NE=274，
即点P（0，274）；
（3）由直线AB的表达式知，∠BAO＝30°，
当将△MAB沿直线AB翻折，得到△QAB时，
∴∠QAM＝60°，
∴AM＝AQ，
∴△AMQ为等边三角形，
设点M（h，0），则AM＝h+33=QM，
∴yQ＝QM•sin60°＝（h+33）×32=12（3h+9），
∴点Q（h-332，3h+92），
∴新抛物线的表达式为：y=13（x﹣h）2，
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：3h+92=13（h-332-h）2，
解得：h＝33，
∴抛物线的表达式为：y=13（x﹣33）2．
46．（2024•静安区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于直线x=52对称，且经过点A（0，3）和点B（3，0），横坐标为4的点C在此抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）联结AB、BC、AC，求tan∠BAC的值；
（3）如果点P在对称轴右方的抛物线上，且∠PAC＝45°，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，请说明∠APQ＝∠BAC，并求点P的坐标．
【解答】（1）解：∵抛物线关于直线x=52对称，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x-52）2+k，把A（0，3）、B（3，0）代入，得：254a+k=314a+k=0，
解得：a=12k=-18，
∴y=12（x-52）2-18=12x2-52x+3，
∴该抛物线的表达式为y=12x2-52x+3；
（2）解：在y=12x2-52x+3中，令x＝4，得y=12×42-52×4+3＝1，
∴C（4，1），
∵A（0，3）、B（3，0），
∴OA＝OB＝3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，AB=2OA＝32，
如图，过点C作CE⊥x轴于E，则∠BEC＝90°，CE＝1，OE＝4，
∴BE＝OE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴BE＝CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝45°，BC=2CE=2，
∴∠ABC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBE＝90°，
∴tan∠BAC=BCAB=232=13；
（3）证明：如图，连接AB，
由（2）知△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°，
∵∠PAC＝45°，
∴∠PAQ+∠BAC＝180°﹣∠BAO﹣∠PAC＝90°，
∵PQ⊥y轴，
∴∠PQA＝90°，
∴∠PAQ+∠APQ＝90°，
∴∠APQ＝∠BAC，
∴tan∠APQ＝tan∠BAC=13，
∴AQPQ=13，
设PQ＝m，则AQ=13m，
∴OQ＝OA+AQ＝3+13m，
∴P（m，3+13m），
∵点P在对称轴右方的抛物线上，
∴3+13m=12m2-52m+3，且m＞52，
解得：m=173，
当m=173时，y=12×（173）2-52×173+3=449，
∴点P的坐标为（173，449）．
47．（2024•长宁区二模）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动
设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：
（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式
（不必写出函数定义域）；
（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；
（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.8x，
∴y关于x的函数解析式为y＝0.8x；
（2）若x＜300，则甲商店按原价打八折，乙商店按原价，此时实际付款金额不可能相等，
∴300≤x＜500，
∴0.8x＝x﹣80，
解得x＝400；
（3）当300≤x＜600时，x﹣80＜0.8x，
解得x＜400，
∴300≤x＜400；
当600≤x＜900时，x﹣160＜0.8x，
解得x＜800，
∴600≤x＜800，
综上所述，x的取值范围为300≤x＜400或600≤x＜800．
48．（2024•崇明区二模）如图，正比例函数y=34x的图象与反比例函数y=kx(k≠0，x＞0)的图象相交于点A（a，3），点B为直线OA上位于点A右侧的一点，且OA＝2AB，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，交反比例函数的图象于点C．
（1）求反比例函数y=kx的解析式；
（2）试判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）∵点A（a，3）在正比例函数y=34x的图象上，
∴a＝4，
∴A（4，3），
∵点A（4，3）在反比例函数y=kx的图象上，
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数的解析式为：y=12x；
（2）如图，作AE⊥x轴，垂足为E，
∵AE∥BD，
∴△AOE∽△BOD，
∴AEBD=OAOB，
∵OA＝2AB，
∴AEBD=OAOB=23，
∵AE＝3，
∴BD=92，
将y=92代入正比例函数y=34x得：x＝6，
将x＝6代入反比例函数y=12x得y＝2，
∴B（6，92），C（6，2），
∴BC=92-2=52，AB=(6-4)2+(92-3)2=52，AC=(6-4)2+(3-2)2=5，
∴AB＝BC，
△ABC是等腰三角形．
49．（2024•长宁区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．
①当CF＝DF时，求CD的长；
②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，求点F的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：x=2=-22ac=6，
解得：a=-12c=6，
则抛物线的表达式为：y=-12x2+2x+6；
（2）由抛物线的表达式得，点A（﹣2，0）、C（0，6），
设点F（m，-12m2+2m+6），
由点A（﹣2，0）、F的坐标得，直线AF的表达式为：y=-12（m﹣6）（x+2），
则点D（0，6﹣m），
①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，
则12（6﹣m+6）=-12m2+2m+6，
解得：m＝0（舍去）或5，
则CD＝6﹣（6﹣m）＝m＝5；
②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，
联立上式和AF的表达式得：﹣x+6=-12（m﹣6）（x+2），
解得：x=2m8-m=DM，
由点F的坐标得，AN＝m+2，
∵△ACF的面积是△CDE面积的3倍，
则DE：AF＝1：3
过点D作DM∥x轴，作EM⊥DM，过点F作FN⊥x轴，
则△EMD∽△FNA，
则DE：AF＝DM：AN＝1：3，
则2m8-m=13（m+2），
解得：m＝﹣4（舍去）或4，
即点F（4，6）．
50．（2024•宝山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数y=kx的图象交于点C（2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线l，如果点D在直线l上，且CD＝3，求△ABD的面积．
【解答】解：（1）∵点C（2，m）在直线y＝x+3图象上，
∴m＝2+3＝5，
∴C（2，5），
∵C（2，5）在反比例函数图象上，
∴k＝10，
∴反比例函数解析式为：y=10x．
（2）∵C（2，5），点D在直线l上，CD＝3，l∥x轴，
∴D（5，5）或（﹣1，5），
∵y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（﹣3，0），B（0，3），
①当D点坐标为（﹣1，5）时，
S△ABD＝S梯形OEDA﹣S△DEB﹣S△AOB=12×(1+3)×5-12×1×(5-3)-12×3×3=92，
②当D点坐标为（5，5）时，
S△ABD＝S△ACD﹣S△BCD=12×3×5-12×3×(5-3)=92．
51．（2024•宝山区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2x+4经过点P（0，4），顶点为A．
（1）求直线PA的表达式；
（2）如果将△POA绕点O逆时针旋转90°，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式；
（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C．如果PC=2AB，求tan∠PBC的值．
【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点A（1a，4-1a），
设直线PA的表达式为：y＝kx+4，
将点A的坐标代入上式得：4-1a=k×1a+4，
解得：k＝﹣1，
即直线PA的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）由旋转的性质得，点Q（1a-4，1a），
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：1a=a（1a-4）2﹣2（1a-4）+4，
解得：a=14（舍去）或-12，
则抛物线的表达式为：y=-12x2﹣2x+4；
（3）由直线PA的表达式知，其和x轴负半轴的夹角为45°，点A（﹣2，6），
设将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移2m个单位，则相当于向左、向上个平移了m个单位，
则平移后的抛物线表达式为：y=-12（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+4+m，
当x＝0时，y=-12（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+4+m=-12m2﹣m+4，即点C的坐标为：（0，-12m2﹣m+4），
则PC=12m2+m+4，
而2AB=2×2m＝2m＝PC=12m2+m+4，
解得：m＝2，
则点C（0，0），即点C、O重合，
由点A的坐标（﹣2，6）得到点B（﹣4，8），
在△PBC中，CP＝4，BC=80，PB＝42，
过点P作PH⊥BC于点H，
则S△PBC=12×PC×|xB|=12BC×PH，
即4×4=80×PH，则PH=1680，
则sin∠PBC=PHPB=168042=110，
则tan∠PBC=13．
52．（2024•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）、B（﹣2，3）两点，与y轴的交点为C点，对称轴为直线l．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）已知以点C为圆心，半径为CB的圆记作圆C，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆C外切，试判断对称轴直线l与圆A的位置关系，请说明理由；
（3）已知点D在y轴的正半轴上，且在点C的上方，如果∠BDC＝∠BAC，请求出点D的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）、B（﹣2，3）两点，
∴a+b+3=04a-2b+3=3，
解得：a=-1b=-2，
∴此抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）答：对称轴直线l与圆A的位置是相离，
根据（1）得，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴l是直线x＝﹣1，
则抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴的交点C点坐标为（0，3），
则CB＝2，
∴圆C的半径是2，
设圆A的半径为r，又圆A与圆C外切，所以r+2＝AC，
又AC=10，所以r=10-2，
∵对称轴l与x轴垂直，设垂足为M，
则AM的长就是圆A到对称轴l的距离，
∵对称轴l是直线x＝﹣1，
∴点M的坐标为（﹣1，0），所以AM＝2，
∵2＞10-2，即AM＞r，
∴对称轴直线l与圆A的位置是相离；
（3）过点C作CH⊥AB，垂足为H，过点B作BG⊥x轴，垂足为G，
则BG＝AG＝3，AB=32，∠GBA＝∠GAB＝45°，
∵C点坐标为（0，3），B点坐标为（﹣2，3），
∴BC⊥y轴，
∴∠CBH＝∠BCH＝45°，CB＝2，
由勾股定理得BH=CH=2，
∴AH=22，
在Rt△AHC中，tan∠BAC=CHAH=12，
在Rt△BCD中，tan∠BDC=BCCD，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴tan∠BDC=CBCD=12，CB＝2，
∴CD＝4，
∴点D的坐标为（0，7）．
53．（2024•静安区二模）某区连续几年的GDP（国民生产总值）情况，如表所示：
我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：A（1，10.0）、B（2，11.0）、C（3，12.4）、D（4，13.5）．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析．
（1）根据点A、B的坐标，可得直线AB的表达式为y＝x+9．请根据点A、C坐标，求出直线AC的表达式；
（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．
（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）
例如：分析直线AB，即f（x）＝x+9上的点，可知f（1）＝10，f（2）＝11，f（3）＝12，f（4）＝13，求得偏离方差SAB2=14[(10-10)2+(11-11)2+(12.4-12)2+(13.5-13)2]＝0.1025．
请依据以上方式，求出关于直线AC的偏离方差值：SAC2= 0.0125 ；
问题：你认为在选用直线AB与直线AC进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？
请写出所选直线的表达式： y＝1.2x+8.8 ；
根据此函数模型，预估该区第五年的GDP约为 14.8 百亿元．
【解答】解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b，
根据题意k+b=103k+b=12.4，
解得k=1.2b=8.8，
∴直线AC的表达式为y＝1.2x+8.8；
（2）分析直线AC，即g（x）＝1.2x+8.8，
∴g（1）＝1.2×1+8.8＝10，
g（2）＝1.2×2+8.8＝11.2，
g（3）1.2×3+8.8＝12.4，
g（4）＝1.2×4+8.8＝13.6，
∴偏离方差SAC2=14[(10-10)2+(11-11.2)2+(12.4-12.4)2+(13.5-13.6)2]=0.0125，
∵0.0125＜0.1025，
∴直线AC更合适，
当x＝5时，g（5）＝1.2×5+8.8＝14.8，
故答案为：0.0125，y＝1.2x+8.8，14.8．
54．（2024•青浦区二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元．
（1）求y与x的函数解析式（不需要写定义域）；
（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
【解答】解：（1）租用甲种型号的客车x辆，则租用乙种型号的客车（7﹣x）辆；
∴y＝1500x+1200（7﹣x）＝300x+8400；
（2）∵租车总费用不超过10200元，师生共有275人，
∴300x+8400≤1020045x+33(7-x)≥275，
解得323≤x≤6，
∵x为整数，
∴x可取4，5，6，
∴一共有3种租车方案；
（3）在y＝300x+8400中，y随x的增大而增大，又x可取4，5，6，
∴当x＝4时，y取最小值，最小值为300×4+8400＝9600（元），
∴租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元．
55．（2024•虹口区二模）如图，一次函数图象在反比例函数图象相交于点A（m，2）和点B（2，﹣4），与y轴交于点C．点D（﹣1，n）在反比例函数图象上，过点D作x轴的垂线交一次函数图象于点E．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△CDE的面积．
【解答】解：（1）∵点A（m，2）和点B（2，﹣4）点D（﹣1，n）在反比例函数y=kx图象上，
∴2m＝﹣8＝﹣n，
∴m＝﹣4，n＝8，k＝﹣8，
∴A（﹣4，2），B（2，﹣4），D（﹣1，8），
反比例函数解析式为：y=-8x，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，将点AB坐标代入得：
-4m+n=22m+n=-4，解得m=-1n=-2，
∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣2．
（2）当x＝﹣1时，y＝1﹣2＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣2，
∴E（﹣1，﹣1），C（0，﹣2）
∴S△CDE=12×ED×xE=12×(8+1)×1=92．
56．（2024•奉贤区二模）如图，已知一次函数图象y＝2x﹣3与反比例函数图象y=kx交于点A（2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）已知点M在点A右侧的反比例函数图象上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，如果S△AMN=14，求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数图象y＝2x﹣3与反比例函数图象y=kx交于点A（2，m）．
∴m＝2×2﹣3＝1，A（2，1），
∴k＝2，
∴反比例函数解析式为：y=2x；
（2）如图，设M（m，2m），则N（m，0），
∴S△AMN=12×2m×(m-2)=14，
解得：m=83．
∴M（83，34）．
57．（2024•金山区二模）已知：抛物线y＝x2+bx+c经过点A（3，0）、B（0，﹣3），顶点为P．
（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧．
①若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；
②若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且△BDQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
【解答】解：（1）由题意得：9+3b+c=0c=-3，
∴b=-2c=-3，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标是（1，﹣4）；
（2）①设直线AB的解析式是y＝mx+n，
则3m+n=0n=-3，解得：m=1n=-3，
∴直线AB的解析式是y＝x﹣3，
设Q点的坐标是（t，t﹣3），其中t＞0，此时抛物线的解析式是y＝（x﹣t）2+t﹣3，
∵点B平移后得到的点C在x轴上，
∴抛物线向上平移了3个单位，
∴t﹣3＝﹣1，即t＝2，
∴此时抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；
②抛物线y＝（x﹣t）2+t﹣3与y轴的交点是D（0，t2+t﹣3），
如果∠BDQ＝90°，即DQ⊥y轴不合题意，
如果∠BQD＝90°，
∵∠AOB＝90°，AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠QBD＝∠BDQ＝45°，
∴QB＝QD，
作QE⊥y轴于点E，则BE＝DE，
∴QE=12BD，
∵QE＝t，BD＝t2+t，
∴t=12（t2+t），
解得：t＝0（不合题意，舍去）或1，
∴t＝1，
则此时抛物线的解析式是y＝（x﹣1）2+1﹣3＝x2﹣2x﹣1．
58．（2024•松江区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0）、点B（0，2），抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过点A，且顶点C在线段AB上（与点A、B不重合）．
（1）求b、c的值；
（2）将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，顶点落在点P处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点D，联结PD，交x轴于点E．
①如果 m＝2，求△ODP 的面积；
②如果 EC＝EP，求m的值．
【解答】解：（1）设AB所在直线的表达式为：y＝kx+m，
将点A和点B的坐标代入表达式可得：
0=2k+m2=m，
解得：k＝﹣1，m＝2，
∴AB的表达式为：y＝﹣x+2，
将点A的坐标代入抛物线解析式得：0＝﹣4+2b+c，
∴c＝4﹣2b，
将抛物线解析式改写成顶点式：y＝﹣x2+bx+4﹣2b＝﹣（x-b2）2+4﹣2b+b24，
∴点C（b2，4﹣2b+b24）在直线AB上，
∴4﹣2b+b24=-b2+2，
解得：b＝2或4，
当b＝4时，顶点C和A重合，不符合题意；
∴b＝2，c＝0；
（2）①由（1）知，C（1，1），抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x，
∴P（3，1），对称轴直线为：x＝1，
∴平移后的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+2（x﹣2）＝﹣x2+6x﹣8，
当x＝1时，y＝﹣1+6﹣8＝﹣3，
∴D（1，﹣3），
设PD所在直线的表达式为：y＝tx+s，
将点P和点D的坐标代入表达式得：
1=3t+s-3=t+s
解得：t＝2，s＝﹣5，
∴PD的表达式为：y＝2x﹣5，
∴E（52，0），
∴S△ODP=12×52×1+12×52×3＝5；
②由平移的性质可知，P（m+1，1），
∵EC＝EP，
∴E在CP的垂直平分线上，
∴E（m2+1，0），
设PD所在直线的表达式为：y＝tx+s，
代入P，E的坐标得：1=t(m+1)+s0=t(m2+1)+s，
解得：t=2m，s＝﹣1-2m，
∴PD的表达式为：y=2mx﹣1-2m，
∴D（1，﹣1），
由顶点坐标可得平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+1，
将D点代入平移后的抛物线得：﹣1＝﹣m2+1，
解得：m=±2，
∵m＞0，
∴m=2．
59．（2024•徐汇区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）已知点M（0，m），联结BC，过点M作MG⊥BC，垂足为G，点D是x轴上的动点，分别联结GD、MD，以GD、MD为边作平行四边形GDMN．
①当m=32时，且▱GDMN的顶点N正好落在y轴上，求点D的坐标；
②当m≥0时，且点D在运动过程中存在唯一的位置，使得▱GDMN是矩形，求m的值．
【解答】解：（1）由题意，得：a﹣4a+4＝0，
解得：a=43，
∴抛物线的表达式为y=43x2-163x+4；
则抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴点B（3，0）；
（2）①由题意，得C（0，4）、M（0，32），
则CM=52，
∵四边形GDMN是平行四边形，
∴DG∥MN，
又点N在y轴上，
∴NM⊥OD，
∴GD⊥OD，
在Rt△OBC中，BC=BO2+CO2=5，
则cs∠OCB=OCBC=45，则sin∠OCB=35，
在Rt△CGM中，cs∠MCG=CGCM，
则CG＝CM•cs∠MCG=52×45=2，
过点G作GH⊥CO，垂足为H，
在Rt△CGH中，GH＝CG•sin∠HCG＝2×35=65，
则OD＝GH=65，
故点D（65，0）；
②当m≥0时，根据m不同取值分三种情况讨论：
当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；
当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，
此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件，
则OH＝PD＝PM，
∵MG＝MC•sin∠OCB=35（4﹣m）＝2PM，
由①知∠CMG＝∠OBC，则sin∠CMG＝sin∠OBC，
则MH＝PM•sin∠OCB=950（4﹣m），
而OH＝MH+OM＝MH+m，
由PM＝OH得：950（4﹣m）+m=310（4﹣m），
解得：m=37；
当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在，
综上，符合题意的m的值为0或37．
60．（2024•奉贤区二模）如图，在直角坐标平面xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，顶点为P，点A坐标为（﹣1，0）．
（1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点P的坐标（用a的代数式表示）；
（2）将抛物线向下平移后经过点（0，1），顶点P平移至P′．如果锐角∠CP′P的正切值为12，求a的值；
（3）设抛物线对称轴与x轴交于点D，射线PC与x轴交于点E，如果∠EDC＝∠BPE，求此抛物线的表达式．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝c，
∴c＞0，
将点A坐标代入抛物线解析式得：0＝a+2a+c，
∴a=-13c＜0，
∴抛物线开口向下，
将c＝﹣3a代入抛物线解析式：y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴对称轴直线为：x＝1，
令x＝1，则y＝﹣4a，
∴P（1，﹣4a），
（2）由（1）知，C（0，﹣3a），
∴﹣3a＞1，
∴a＜-13，
平移距离为：﹣3a﹣1，
∴P′（1，1﹣a），
点C，P，P′位置如图，作CD⊥PP′于D，
∴CD＝1，DP′＝﹣3a﹣（1﹣a）＝﹣2a﹣1，
∴﹣2a﹣1＝2，
∴a=-32；
（3）如图：
令y＝0，解得：x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
设PC所在直线的解析式为：y＝kx+b，
可得：-3a=b-4a=k+b，
∴k＝﹣a，b＝﹣3a，
∴E（﹣3，0），
∴DE＝4，BE＝6，OE＝3，
DC＝∠BPE，∠PEB＝∠CED，
∴△CDE∽△BPE，
∴ECDE=BEPE，
∴EC•EP＝DE•BE＝24，
∵OC∥DP，
∴ECEP=OCDP=-3a-4a=34，
∴EC•EP=43EC2＝24，
∴EC2＝18，
在Rt△COE中，EC2＝OE2+OC2＝9+9a2，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+3．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/27 17:08:45；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982时间x
8时
11时
14时
17时
20时
y1自西向东交通量（辆/分钟）
10
16
22
28
34
y2自东向西交通量（辆/分钟）
25
22
19
16
13
商店
优惠方式
甲
所购商品按原价打八折
乙
所购商品按原价每满300元减80元
年份
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
GDP（百亿元）
10.0
11.0
12.4
13.5
■
型号
载客量（人/辆）
租金（元/辆）
甲
45
1500
乙
33
1200
时间x
8时
11时
14时
17时
20时
y1自西向东交通量（辆/分钟）
10
16
22
28
34
y2自东向西交通量（辆/分钟）
25
22
19
16
13
商店
优惠方式
甲
所购商品按原价打八折
乙
所购商品按原价每满300元减80元
年份
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
GDP（百亿元）
10.0
11.0
12.4
13.5
■
型号
载客量（人/辆）
租金（元/辆）
甲
45
1500
乙
33
1200