2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之一元一次方程的应用练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之一元一次方程的应用练习，共22页。试卷主要包含了《九章算术》中有一题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023秋•城厢区期末）小云在某月的日历中圈出了相邻的三个日期a，b，c，并求出它们的和为30，则这三个日期在日历中的排布不可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋•旌阳区期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（ ）
A．mB．54mC．65mD．76m
3．（2023秋•铁岭县期末）车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天平均生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套，为求x，可列方程（ ）
A．1200x＝1800（28﹣x）B．2×1200x＝1800（28﹣x）
C．2×1800x＝1200（28﹣x）D．1200x＝2×1800（28﹣x）
4．（2024秋•建湖县期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A．3（13+x）＝27﹣xB．13+x＝3（27﹣x）
C．3（13﹣x）＝27+xD．13﹣x＝3（27+x）
5．（2024秋•海淀区校级期中）甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，若设乙厂的年产值为x万元，下列所列方程中正确的是（ ）
A．5（x+420）＝7450B．5（x﹣420）＝7450
C．5x+420＝7450D．5x﹣420＝7450
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•雁塔区校级期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图①；小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红七拼八凑，拼成了如图②那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为25mm2的小正方形，则每个小长方形的面积为 mm2．
7．（2024秋•苏州期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和﹣5，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 ．
8．（2024秋•同安区期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等．如图的方格中填写了一些数，当x的值为 时，它能构成一个三阶幻方．
9．（2024秋•南岗区校级期中）一本书，第一天读了全书的14，第二天读了全书的25，还有49页没有读，则这本书共有 页．
10．（2024秋•闵行区期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 斗．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•平山县期中）在东西向的马路上有一个巡岗亭A，巡岗员甲从岗亭A出发以20km/h的速度匀速来回巡逻．如果规定向东为正，向西为负．巡逻情况记录如下：（单位：km）
已知巡岗员甲第五次巡逻结束时刚好回到岗亭．
（1）求第四次结束时，巡岗员甲的位置在岗亭A的东边还是西边，相距多远；
（2）直接写出表中第五次巡逻应记为多少千米；
（3）巡岗员甲从出发到第五次巡逻结束用时多长；
（4）巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭A的乙通话，若无线对讲机只能在2千米范围内正常使用，直接写出甲巡逻过程中，甲与乙可以正常通话的时间有多少小时．
12．（2024秋•二道区校级期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+6|+（b﹣12）2＝0．点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，若在点B处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点P在碰到挡板后立即返回，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向左运动，设点P活动的时间为t（秒）（t＞0）．
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数 ．
（2）当点P碰到挡板时，t的值为 ．
（3）当t＝5时，点P表示的有理数为 ；当t＝11时，点P表示的有理数为 ；
（4）试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，求出相等时t的值；若不能，请说明理由．
（5）当点P碰到挡板的同时，挡板从点B以每秒1个单位长度的速度在数轴上向左运动，直接写出点P在整个运动过程中到挡板的距离是它到原点距离的2倍时t的值．
13．（2024秋•北碚区校级期中）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”（如图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．
（1）如图2是一个“和幻方”，则x+y+z＝ ；
（2）如图3是一个“积幻方”，求mn的值；
（3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图4所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若m﹣n＝3，求b﹣a+c﹣d的值．
14．（2024秋•清镇市期中）在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小红和小星的设计方案．
小红说：我的设计方案如图①，其中花园四周小路的宽度相等，若设四周小路的宽度为x m，列出方程可以求解；
小星说：我的设计方案如图②，其中花园中小路的宽度相等，若设小路的宽度为x m，列出方程可以求解．
请你选择上述其中一种方案，求出相应小路的宽．
15．（2024秋•建湖县期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如表：
例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为2×6+4×（8﹣6）＝20（元）
请根据上表的内容解答下列问题：
（1）若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费 元
（2）若某户居民4月份用水a立方米（其中6＜a≤10），请用含a的代数式表示应收水费 ．
（3）若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为 立方米；
（4）若某户居民5、6两个月共用水18立方米（6月份用水量超过了10立方米），设5月份用水x立方米，请用含x的代数式表示该户居民5、6两个月共交水费多少元？
2024-2025学年上学期初中数学北师大版（2024）七年级期末必刷常考题之一元一次方程的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•城厢区期末）小云在某月的日历中圈出了相邻的三个日期a，b，c，并求出它们的和为30，则这三个日期在日历中的排布不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】数字问题；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解．
【解答】解：A、设最小的数是x，则x+x+1+x+2＝30，x＝9．故本选项不符合题意；
B、设最小的数是x，则x+x+7+x+8＝30，x＝5，故本选项不符合题意；
C、设最小的数是x，则x+x+6+x+7＝30，x=173，故本选项符合题意；
D、设最小的数是x，则x+x+7+x+14＝30，x＝3，本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证．锻炼了学生理解题意能力，关键知道日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．
2．（2023秋•旌阳区期末）如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图（1）与图（2）．若AB＝m，则图（1）与图（2）阴影部分周长的差是（ ）
A．mB．54mC．65mD．76m
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，表示出x、y、m、n之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．
【解答】解：设小长方形的宽为x，长为y，大长方形的宽为n，
由图（1）得4x＝n，
由图（2）得2x+y＝m，y＝3x，
∴5x＝m，
∴x=m5，
图（1）中阴影部分的周长为：2n+2y+(m−y)+(m−y−x)+x=2n+2m=8x+2m=185m，
图（2）中阴影部分的周长为：2(n−3x)+2m=2(4x−3x)+2m=2x+2m=125m，
∴阴影部分的周长之差为：185m−125m=65m．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的加减，列代数式，正确得出各图中阴影部分周长的代数式是解题的关键．
3．（2023秋•铁岭县期末）车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天平均生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套，为求x，可列方程（ ）
A．1200x＝1800（28﹣x）B．2×1200x＝1800（28﹣x）
C．2×1800x＝1200（28﹣x）D．1200x＝2×1800（28﹣x）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【答案】B
【分析】要列方程首先要根据题意找出题中存在的等量关系：每天生产的螺母＝每天生产的螺栓的2倍，从而列出方程．
【解答】解：设x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为28﹣x名．
每天生产螺栓1200x个，生产螺母1800×（28﹣x）；
根据“恰好每天生产的螺栓和螺母按1：2配套”，得出方程：2×1200x＝1800（28﹣x）
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．
4．（2024秋•建湖县期中）某市对市区主干道进行绿化，现有甲、乙两个施工队，甲施工队有13位工人，乙施工队有27位工人，现计划有变，需要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，刚好甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，则根据题意列出方程正确的是（ ）
A．3（13+x）＝27﹣xB．13+x＝3（27﹣x）
C．3（13﹣x）＝27+xD．13﹣x＝3（27+x）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据两队原有人数及借调人数，可得出借调后甲施工队有（13+x）位工人，乙施工队有（27﹣x）位工人，结合借调后甲施工队人数是乙施工队人数的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵要从乙施工队借调x名工人到甲施工队，
∴借调后甲施工队有（13+x）位工人，乙施工队有（27﹣x）位工人．
根据题意得：13+x＝3（27﹣x）．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2024秋•海淀区校级期中）甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，若设乙厂的年产值为x万元，下列所列方程中正确的是（ ）
A．5（x+420）＝7450B．5（x﹣420）＝7450
C．5x+420＝7450D．5x﹣420＝7450
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可得，
5x+420＝7450，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•雁塔区校级期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图①；小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红七拼八凑，拼成了如图②那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为25mm2的小正方形，则每个小长方形的面积为 375 mm2．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】375．
【分析】设每个小长方形的宽为x mm，则长为53x mm，根据图②中各边之间的关系，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入53x•x中，即可求出每个小长方形的面积．
【解答】解：设每个小长方形的宽为x mm，则长为53x mm，
根据题意得：2x−53x=25，
解得：x＝15，
∴53x•x=53×15×15＝375，
∴每个小长方形的面积为375mm2．
故答案为：375．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（2024秋•苏州期中）数轴上有A、B、C三个动点，其中点A，点B在起始位置所表示的数分别为6和﹣5，点C在A、B两点之间．点A以每秒1个单位长度的速度向左运动；点B以每秒2个单位长度的速度向右运动；点C以每秒3个单位长度的速度先向右运动，当其与点A相遇后立即返回向左运动，与点B相遇后又立即返回向右运动，依此方式在A、B两点之间往返运动；若三个点同时开始运动，当三点恰好相遇同一点时，都停止运动，则相遇点所表示的数为 73 ．
【考点】一元一次方程的应用；数轴．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】73．
【分析】由题意可知，三点的相遇点恰好为点A，B的相遇点，当运动时间为t秒时，点A表示的数为6﹣t，点B表示的数为﹣5+2t，由两点相遇时表示的数相同，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入（6﹣t）中，即可求出结论．
【解答】解：当运动时间为t秒时，点A表示的数为6﹣t，点B表示的数为﹣5+2t，
根据题意得：6﹣t＝﹣5+2t，
解得：t=113，
∴6﹣t＝6−113=73，
∴相遇点所表示的数为73．
故答案为：73．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2024秋•同安区期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等．如图的方格中填写了一些数，当x的值为 ﹣5 时，它能构成一个三阶幻方．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】﹣5．
【分析】根据第三行及第三列三个数之和相等，可求出第三行第一个方格中的数字，结合第二行及对角线上三个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：第三行第一个方格中的数字为3+4﹣11＝﹣4．
根据题意得：x+4＝3+（﹣4），
解得：x＝﹣5，
∴当x的值为﹣5时，它能构成一个三阶幻方．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（2024秋•南岗区校级期中）一本书，第一天读了全书的14，第二天读了全书的25，还有49页没有读，则这本书共有 140 页．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】140．
【分析】设这本书共有x页，根据读了两天后还有49页没有读，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这本书共有x页，
根据题意得：x−14x−25x＝49，
解得：x＝140，
∴这本书共有140页．
故答案为：140．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2024秋•闵行区期中）《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，牛主较羊主多处几何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”，马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿 157 斗．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】157．
【分析】根据“禾苗主人要求赔偿五斗粟”裂缝处求解．
【解答】解：羊主人赔偿x斗，
则x+2x+4x＝5，
解得：x=57，
∴4x﹣x=207−57=157，
故答案为：157．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•平山县期中）在东西向的马路上有一个巡岗亭A，巡岗员甲从岗亭A出发以20km/h的速度匀速来回巡逻．如果规定向东为正，向西为负．巡逻情况记录如下：（单位：km）
已知巡岗员甲第五次巡逻结束时刚好回到岗亭．
（1）求第四次结束时，巡岗员甲的位置在岗亭A的东边还是西边，相距多远；
（2）直接写出表中第五次巡逻应记为多少千米；
（3）巡岗员甲从出发到第五次巡逻结束用时多长；
（4）巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭A的乙通话，若无线对讲机只能在2千米范围内正常使用，直接写出甲巡逻过程中，甲与乙可以正常通话的时间有多少小时．
【考点】一元一次方程的应用；正数和负数；数轴．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）巡岗员甲得位置在岗亭的西边2km处；
（2）2；
（3）0.9（小时）；
（4）0.7小时．
【分析】（1）把前面4次记录相加，根据和的情况判断第4次结束时小张的位置即可；
（2）根据（1）的结论即可得到结果；
（3）①求出所有记录的绝对值的和，再除以20计算即可得解
（4）求出距离的和，再除以20计算即可得解．
【解答】解：（1）依题意，4﹣5+3﹣4＝﹣2km
∴巡岗员甲得位置在岗亭的西边2km处，
（2）解：依题意，﹣2+2＝0
∴第五次巡逻应记为2km；
（3）|4|+|﹣5|+|3|+|﹣4|+|2|＝18（km），
18÷20＝0.9（小时）；
（4）解：依题意，在2千米范围内的路程为2+3+3+4+2＝14，
14÷20＝0.7（小时），
答：他与小李可以正常通话的时间有0.7小时．
【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加法与除法的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
12．（2024秋•二道区校级期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+6|+（b﹣12）2＝0．点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动，若在点B处放一挡板（挡板厚度忽略不计），点P在碰到挡板后立即返回，以每秒3个单位长度的速度在数轴上向左运动，设点P活动的时间为t（秒）（t＞0）．
（1）点A表示的数为 ﹣6 ，点B表示的数 12 ．
（2）当点P碰到挡板时，t的值为 9 ．
（3）当t＝5时，点P表示的有理数为 4 ；当t＝11时，点P表示的有理数为 6 ；
（4）试探究：点P到挡板的距离与它到原点的距离可能相等吗？若能，求出相等时t的值；若不能，请说明理由．
（5）当点P碰到挡板的同时，挡板从点B以每秒1个单位长度的速度在数轴上向左运动，直接写出点P在整个运动过程中到挡板的距离是它到原点距离的2倍时t的值．
【考点】一元一次方程的应用；数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）﹣6，12；
（2）9；
（3）4，6；
（4）可能，t＝6或t＝11，过程见解析；
（5）t＝5或t＝12或t＝15，过程见解析．
【分析】（1）非负性求出a，b的值即可；
（2）用AB的距离除以点P的速度，即可；
（3）用点A表示的数加上点p运动5秒时的路程，即为点p表示的数，用点B表示的数减去点P返回的路程，表示出点P运动11秒时表示的数；
（4）分点P碰到挡板之前和碰到挡板之后，两种情况，列出方程进行讨论求解即可；
（5）分点P碰到挡板之前和碰到挡板之后，两种情况，列出方程进行讨论求解即可．
【解答】解：（1）依题意，由|a+6|+（b﹣12）2＝0，
∴a+6＝0，b﹣12＝0，∴a＝﹣6，b＝12；
∴点A表示的数为﹣6，点B表示的数为12
；故答案为：﹣6，12；
（2）依题意可得：[12﹣（﹣6）]÷2＝9秒，
∴当点P碰到挡板时，t的值为9，
故答案为：9；
（3）当t＝5时，点p表示的数为：﹣6+2x5＝4，当t＝12时，
由（2）可知点P运动9秒后碰到挡板，
∴点p表示的数为：12﹣3x（11﹣9）＝6，
故答案为：4，6；
（4）能，①当点P碰到挡板之前，点p表示的数为﹣6+2t，
当点p在原点和挡板中间时，满足题意，即：﹣6+2t＝6，
解得：t＝6，
②当点P碰到挡板之后，点p表示的数为：12﹣3（t﹣9）＝39﹣3t，
当点p在原点和挡板中间时，
满足题意，即：39﹣3t＝6，
解得：t＝11，
综上：t＝6或t＝11；
（5）①当点P碰到挡板之前，点p表示的数为﹣6+2t，
由题意得：2|﹣6+2t|＝12﹣（﹣6+2t），
解得：t＝5或t＝﹣3（舍去），
②当点P碰到挡板返回时：点p表示的数为：12﹣3（t﹣9）＝39﹣3t，
挡板表示的数为：12﹣（t﹣9）＝21﹣t，
由题意得：2|39﹣3t|＝21﹣t﹣39+3t，
解得：t＝12或t＝15，
综上：t＝5或t＝12或t＝15．
【点评】本题考查非负性，两点间的距离公式，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
13．（2024秋•北碚区校级期中）材料阅读：传说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图案，这个图案被后人称为“洛书”（如图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”．其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．
（1）如图2是一个“和幻方”，则x+y+z＝ 10 ；
（2）如图3是一个“积幻方”，求mn的值；
（3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图4所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若m﹣n＝3，求b﹣a+c﹣d的值．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）10；
（2）16；
（3）6．
【分析】（1）根据“和幻方”的每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等，可列出关于（x+y），z的一次方程组，解之可得出（x+y）及z的值，再将其代入x+y+z中，即可求出结论；
（2）根据“积幻方”的每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等，可列出关于m，n的一次方程组，解之可得出m，n的值，再将其代入mn中，即可求出结论；
（3）根据“每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”，可用含m，n，x，y的代数式表示出a，b，c，d的值，将其代入b﹣a+c﹣d中，可得出b﹣a+c﹣d＝2（m﹣n），再代入m﹣n＝3，即可求出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：x+y−2=4+1−2①0+z−2=4+1−2②，
由①得：x+y＝5；
由②得：z＝5，
∴x+y+z＝5+5＝10．
故答案为：10；
（2）根据题意得：1×4n=1×(−1)×(−8)①−12×4m=1×(−1)×(−8)②，
由①得：n＝2；
由②得：m＝﹣4，
∴mn＝（﹣4）2＝16；
（3）根据题意得：a+m+x=m+x+n+y①b+x+n=x+n+m+y②c+n+y=n+y+m+x③d+m+y=m+y+x+n④，
由①得：a＝n+y；
由②得：b＝m+y；
由③得：c＝m+x；
由④得：d＝x+n，
∴b﹣a+c﹣d＝m+y﹣（n+y）+（m+x）﹣（x﹣n）＝2（m﹣n），
又∵m﹣n＝3，
∴b﹣a+c﹣d＝2×3＝6．
【点评】本题考查了多元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
14．（2024秋•清镇市期中）在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小红和小星的设计方案．
小红说：我的设计方案如图①，其中花园四周小路的宽度相等，若设四周小路的宽度为x m，列出方程可以求解；
小星说：我的设计方案如图②，其中花园中小路的宽度相等，若设小路的宽度为x m，列出方程可以求解．
请你选择上述其中一种方案，求出相应小路的宽．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】图①，四周小路的宽度为2m．
图②，小路的宽度为4m．
【分析】根据花园所占面积为荒地面积的一半列出方程，即可求解．
【解答】解：如果选择①：
设四周小路的宽度为x m，
依题意，得（16﹣2x）（12﹣2x）=12×16×12，
整理，得x2﹣14x+24＝0，
∴（x﹣2）（x﹣12）＝0，
∴x1＝2，x2＝12（不合题意，舍去）
答：四周小路的宽度为2m．
如果选择②：
设小路的宽度为x m，
依题意，得（16﹣x）（12﹣x）=12×16×12，
整理，得x2﹣28x+96＝0，
∴（x﹣4）（x﹣24）＝0，
∴x1＝4，x2＝24（不合题意，舍去）
答：小路的宽度为4m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据面积得到相应的关系式是解决本题的关键．
15．（2024秋•建湖县期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如表：
例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为2×6+4×（8﹣6）＝20（元）
请根据上表的内容解答下列问题：
（1）若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费 16 元
（2）若某户居民4月份用水a立方米（其中6＜a≤10），请用含a的代数式表示应收水费 （﹣12+4a） ．
（3）若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为 14 立方米；
（4）若某户居民5、6两个月共用水18立方米（6月份用水量超过了10立方米），设5月份用水x立方米，请用含x的代数式表示该户居民5、6两个月共交水费多少元？
【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算；列代数式．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）16；
（2）（﹣12+4a）；
（3）14；
（4）（92﹣6x）元或（92﹣8x）元．
【分析】（1）根据用水7立方米，结合水费收费标准表，即可列式作答；
（2）根据6＜a≤10，结合水费收费标准表，即可列式作答；
（3）先算出刚用10立方米的水费，发现交水费60元的用水量大于10立方米，故设该月用水量为b立方米（10＜b），结合水费收费标准表，即可列式作答；
（4）设5月份用水x立方米，则6月份用水（18﹣x）立方米，且9＜x≤18，结合水费收费标准表，即可列式作答．
【解答】解：（1）依题意，6×2+（7﹣6）×4＝12+4＝16（元），
故某户居民2月份用水7立方米，则应收水费16元，
故答案为：16；
（2）依题意，
6×2+（a﹣6）×4＝（﹣12+4a）（元），
故某户居民4月份用水a立方米（其中6＜a≤10），应收水费（﹣12+4a）元，
故答案为：（﹣12+4a）；
（3）依题意，当用水量刚好10立方米，则6×2+（10﹣6）×4＝12+16＝28（元），
∵60＞28，
∴设3月份用水量为b立方米（b＞10），
则6×2+（10﹣6）×4+（b﹣10）×8＝12+16+8b﹣80＝8b﹣52（元），
即8b﹣52＝60，
解得b＝14，
故3月份用水量为14立方米；
故答案为：14；
（4）依题意，设5月份用水x立方米，则6月份用水（18﹣x）立方米，且18﹣x＞10，
当10＜18﹣x＜12，6月份的水费：
6×2+（10﹣6）×4+（18﹣x﹣10）×8＝92﹣8x（元），
此时该户居民5、6两个月共交水费：4x﹣12+﹣8x+92＝（80﹣4x）（元）；
当0≤x≤6时，5月份的水费：2x（元），
当12≤18﹣x≤18，6月份的水费：
6×2+（10﹣6）×4+（18﹣x﹣10）×8＝（92﹣8x）（元），
综上所述，该户居民5、6两个月共交水费：2x﹣8x+92＝（92﹣6x）（元）或（92﹣8x）（元），
【点评】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减应用：正确的列出式子和方程，是解题的关键．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
4．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
5．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
6．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
7．由实际问题抽象出一元一次方程
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程．
（1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程．
（2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程．
8．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．3
x
4
11
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
4
﹣5
3
﹣4
收费标准（注：水费按月份结算）
每月用水量
单价（元/立方米）
不超出6立方米的部分
2
超出6立方米不超出10立方米的部分
4
超出10立方米的部分
8
3
x
4
11
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
4
﹣5
3
﹣4
收费标准（注：水费按月份结算）
每月用水量
单价（元/立方米）
不超出6立方米的部分
2
超出6立方米不超出10立方米的部分
4
超出10立方米的部分
8