安徽省六安市菁英中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省六安市菁英中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每题4分，共40分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A．是一元二次方程，故选项符合题意；
B．，当时，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
D．是分式方程，故选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，在直线上，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3. 将方程化为一般形式后为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先去括号，再移项，合并同类项，把方程互为一般形式即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选C
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握方程是一元二次方程的一般形式是解本题的关键．
4. 已知点，，都在二次函数的图象上，那么、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算自变量为−2、、 对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．
【详解】解：当x＝−2时，a＝−x2＋2x＋3＝−（−2）2＋2×（−2）＋3＝−5；当x＝时，b＝−x2＋2x＋3＝−（）2＋2×＋3＝；当x＝时，c＝−x2＋2x＋3＝−（）2＋2×＋3＝−；
所以a＜c＜b．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
5. 若实数a，b（a≠b）分别满足方程a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，则的值为（ ）．
A. B. C. 或2D. 或2
【答案】A
【解析】
【详解】解：由实数a，b满足条件a2﹣7a+2=0，b2﹣7b+2=0，可把a，b看成是方程x2﹣7 x+2=0的两个根，所以a+b=7，ab=2，所以=== ．
故选A．
6. 已知二次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与坐标轴的交点坐标确定一元二次方程的解即可．
【详解】解：观察函数的图象知：二次函数的图象与x轴交于，对称轴为直线，
所以抛物线与x轴的另一交点坐标为，
∴关于x的方程的解为，，
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，解题的关键是根据对称轴和一个交点坐标求得另一个交点坐标．
7. 某超市销售一种商品，每件成本为元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量（件）与销售单价（元）之间满足函数关系式，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ）
A. 元，元B. 元，元
C. 元，元D. 元，元
【答案】B
【解析】
【分析】设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
【详解】解：设每月总利润为，
依题意得：
，此图象开口向下，又，
当时，有最大值，最大值为元．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的方法是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（ ）

A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点A横坐标为m，则，从而得出，将点坐标代入解析式求解．
【详解】解：把点代入中得，
解得，
∴，
∵点，四边形为正方形，
∴，
设点A横坐标为m，则，
代入得，
解得或（舍去）．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是利用待定系数法求得函数解析式．
9. 抛物线过点，则一元二次方程的解是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线解析式知对称轴，与x轴交于点，设另一交点为，可求得．于是的解是．
【详解】解：抛物线的对称轴为，与x轴交于点，设另一交点为，
∴，得．
于是的解是；
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键．
10. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当P在线段AD上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
二、填空题（每题5分，共20分）
11. 请写出一个开口向下，且经过点（0，－1）的二次函数解析式：__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据开口向下，且过点（0，－1）设解析式求解即可；
【详解】∵二次函数开口向下，
∴，
设二次函数解析式为，
∵过点（0，－1），
∴，
∴二次函数解析式为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解，准确计算是解题的关键．
12. 对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是_____．
【答案】c＜﹣2
【解析】
【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知△＞0且x＝1时y＜0，据此得，解之可得．
【详解】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，
且x1＜1＜x2，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
则，
解得c＜﹣2，
故答案为：c＜﹣2．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．
13. 在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．
（1）此二次函数的对称轴为直线______；
（2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是______；
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数，经过和，是对称点，算出对称轴即可；
（2）根据对称轴为直线，点和在二次函数的图象上，画出函数图象，点关于对称轴的对称点，分析图象，写出的取值范围即可．
【详解】（1）二次函数，
函数经过和，是对称点，
对称轴为直线，
故答案为：
（2）二次函数，
二次项系数为，
函数图象开口向上，
又和在此函数图象上，对称轴为直线，
画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标，
，
点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、），
，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键．
14. 如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=图象有一个交点A(2，m)，AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是_________ .
【答案】y=x-3
【解析】
【详解】【分析】由已知先求出点A、点B的坐标，继而求出y=kx的解析式，再根据直线y=kx平移后经过点B，可设平移后的解析式为y=kx+b，将B点坐标代入求解即可得.
【详解】当x=2时，y==3，∴A(2，3)，B（2，0），
∵y=kx过点 A(2，3)，
∴3=2k，∴k=，
∴y=x，
∵直线y=x平移后经过点B，
∴设平移后的解析式为y=x+b，
则有0=3+b，
解得：b=-3，
∴平移后的解析式为：y=x-3，
故答案为y=x-3.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法，一次函数图象的平移等，求出k的值是解题的关键.
三、解答题（共90分）
15. 已知函数和的图象交于点和点，并且的图象与轴交于点．
（1）求函数和的解析式；
（2）直接写出为何值时，①；②；③．
【答案】（1），
（2）①；②或；③或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）在同一坐标系中画出和的图象，根据图象即可得到答案．
【小问1详解】
解：把点、点、点代入得，
，
解得，
∴；
把点和点代入得，
解得，
∴．
【小问2详解】
如图，在同一坐标系中画出和的图象，

由图象可得①当时，；②当或时，；③当或时，．
【点睛】此题考查二次函数和一次函数交点问题，还考查了待定系数法、图象法解不等式等知识，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．
16. 已知二次函数的图象过点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）判断点是否在抛物线上；
【答案】（1）；（2）不在抛物线上
【解析】
【分析】（1）把点（-2，-1）代入二次函数的解析式，待定系数法求函数解析式；
（2）把点（-1， ）代入函数解析式，看是否满足方程成立即可得到结论.
【详解】（1）∵二次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴这个二次函数的解析式为；
（2）把点代入函数解析式，
，
∴点不在抛物线上；
【点睛】本题考查了求二次函数的表达式，二次函数图象上点的坐标特征，正确的求得解析式是解题的关键．
17. 已知抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）求线段AB的长．
【答案】（1）直线；
（2）
【解析】
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式即可得到抛物线对称轴；
（2）令，求出A、B两点坐标即可求出AB的长．
【小问1详解】
解：将抛物线化为顶点式，则，
抛物线对称轴为直线；
【小问2详解】
解：令，则，
整理得：，
解得：，，
、两点的坐标为和，
．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
18. 在平面直角坐标系中，已知点，在二次函数的图象上．
（1）当时，求的值；
（2）在（1）的条件下，当时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点，代入可得，，结合，再建立方程求解即可；
（2）由可得函数最小值，再分别计算，时的函数值，从而可得答案.
【小问1详解】
解：将点，代入，
得，，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴当时，最小值，
当时，，
当时，，
∴当时，的取值范围为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的利用图象性质求解函数值的取值范围是解本题的关键.
19. 如图，抛物线图象与轴交于点和点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）点坐标为
（3）存在，点的坐标为
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）易得抛物线的对称轴为，又可求出．连接与对称轴的交点即为所求点．利用待定系数法即可求出直线的解析式，令，则，即点坐标为；
（3）设是第二象限的抛物线上一点，过点作轴交直线于点，则点的坐标为，从而可求出，再根据，结合二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线的图象经过点和点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：，
∴抛物线的对称轴为，
令，
解得：，，
∴．
∵点与点关于直线对称，
∴连接与对称轴的交点即为所求点．

设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
当时，，
∴点坐标为；
【小问3详解】
存在．
设是第二象限的抛物线上一点，
过点作轴交直线于点，

∴点的坐标为，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，此时，
∴．
综上，在第二象限的抛物线上，存在一点，使得的面积最大，且点的坐标为．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
20. 某超市购进一批时令水果，成本为10 元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m(元/千克)与时间x(天)之间的函数关系式为（且为整数），且其日销售量y (千克)与时间x(天)之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W(元)与x(天)之间的函数关系式；
（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？
【答案】（1）（且为整数）； （2）第22或23天，最大利润为903元；
【解析】
【分析】（1）由题意设销售数量把代入函数解析式，可得再利用总利润等于销售数量千克乘以每千克水果的利润元，从而可得答案；
（2）利用（1）中的二次函数解析式，结合且为整数，利用二次函数的性质求解最大值即可．
【详解】解：（1）由题意设销售数量
把代入函数解析式；

解得：


（且为整数）；
（2），
抛物线的对称轴为：
＜ 且为整数，
当或时，取得最大值，
最大值为：元．
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的应用，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质求解最大利润是解题的关键．
21. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
（1）求一次函数表达式和反比例函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）求的面积．
【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为：
（2）不等式的解集为：或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求得解析式即可；
（2）根据函数图象的性质，结合图象即可求得不等式的解集；
（3）首先求得C点坐标，再利用坐标即可求得．
【小问1详解】
解：将代入，得m=3，
∴反比例函数解析式为：，
将代入，得，
∴B点坐标为，
将A、B两点坐标代入，得：，
解得：，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
由图象可知，当一次函数图象在反比例函数下方时，，
∴不等式的解集为：或；
【小问3详解】
当y=0时，，
解得：，
∴C（，0），
∴，
∴的面积为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、三角形面积等问题，以及与函数图象有关的不等式问题，重点在于掌握对应的基本性质，并进行准确求参．
22. 小明在一次打篮球时，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明所站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球出手时在O点正上方1m处的点P.已知篮球运动时的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=-x2+x+c.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）球在运动的过程中离地面的最大高度；
（3）小亮手举过头顶，跳起后的最大高度为BC=2.5m，若小亮要在篮球下落过程中接到球，求小亮离小明的最短距离OB.
【答案】(1)y与x的函数表达式为y=-x2+x+1；(2)篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3m；(3)小亮离小明的最短距离为6m.
【解析】
【详解】分析：(1)由点P的坐标求函数的解析式；(2)求(1)中函数解析式的最大值；(3)把y＝2.5代入(1)中的函数解析式求解.
详解：(1)∵OP＝1，
∴当x＝0时，y＝1，代入y＝x2＋x＋c，解得c＝1，
∴y与x的函数表达式为y＝－x2＋x＋1.
(2)y＝－x2＋x＋1
＝x2－8x)＋1
＝(x－4)2＋3，
当x＝4时，y有最大值3
故篮球在运动的过程中离地面的最大高度为3m；
(3)令y＝2.5，则有－(x－4)2＋3＝2.5，
解得x1＝2，x2＝6，
根据题意可知x1＝2不合题意，应舍去，
故小亮离小明的最短距离为6m.
点睛：本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解横轴和纵轴的实际意义，横轴表示得篮球在运动过程中小明的距离，纵轴表示篮球在运动过程中的高度.
23. 如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．解答下列问题：（注意：取，）

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；
（2）求足球第二次飞出到落地时，该抛物线的表达式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知，，，顶点坐标，设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为，将代入得，，解得，进而可得抛物线的表达式；
（2）当时，，解得：，（不合题意，舍去），即，由题意，设第二次落地的抛物线的顶点坐标为，设第二次落地的抛物线为，当时，，计算求出满足要求的值，进而可得抛物线的表达式．
【小问1详解】
解：由题意知，，，顶点坐标，
设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为，
将代入得，，
解得，
∴，
∴足球开始飞出到第一次落地时，抛物线表达式为；
【小问2详解】
解：当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
由题意，设第二次落地的抛物线的顶点坐标为，设第二次落地的抛物线为，
当时，，
解得，（不合题意，舍去），
∴，
∴足球第二次飞出到落地时，抛物线的表达式为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．