吉林省长春市第八十七中学2024-2025学年上学期九年级第三次月考数学试题（原卷版）-A4

这是一份吉林省长春市第八十七中学2024-2025学年上学期九年级第三次月考数学试题（原卷版）-A4，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分）
1. 若关于的函数是一次函数，则的值为（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
2. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L距离，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，，点D为斜边上的中点，则为（ ）

A. 10B. 3C. 5D. 4
6. 如图，小明在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为1米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）米．
A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）
9. 拋物线的顶点坐标为________．
10. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________．
11. 如图，是的直径，是的弦，若，则________．
12. 已知某大桥桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于___．

13. 如图，的中线、交于点，点是的重心，点在边上，，那么______．
14. 如图，二次函数图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④关于的一元二次方程的另一个根是；⑤的取值范围为．其中结论正确的是________．
三、解答题（共10道小题，共78分）
15. 计算：
（1）
（2）
16 如图，二次函数经过点，．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）利用图象的特点填空：
①当________时，方程；
②不等式的解集为________．
17. 如图，在坐标系中，、、．
（1）经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________；
（2）这个圆的半径为：_______；
（3）直接判断点与的位置关系．点在________．（填“内”、“外”、“上”）
18. 如图，在矩形中，，，点在边上，，垂足为．
（1）求证：；
（2）若，则值为________
19. 图①是一款可调节椅背的沙发椅，它可以减轻使用者的脊椎压力．图②是它的侧面示意图，椅背，将椅背角度从调节到（即，）时，分别过点、作于点，于点，求水平方向增加的距离长．（结果精确到；参考数据：，，，）
20. 如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为5，则的长为________．
21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画出中边上的中线．
（2）在图②中，在边上找到一点，连接，使．
（3）在图③中，在边上找到一点，连接，使．
22. 【问题原型】如图①，在中，弦所对的圆心角，点在优弧上运动（点不与点、重合），连结、．
（1）任点运动过程中，当点在的内部时，的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
（2）若，求弦的最大值．
【问题拓展】如图②，在中，，．若、分别是、的中点，则线段的最大值为________．
23. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段的中点，点H在下方，，，设点P运动的时间为t（秒）．
（1）当点P在边上运动时，
①线段的长为_______．用含t的代数式表示）
②若与重叠部分为轴对称图形，求t的值．
（2）当点H落在边上时，求的长．
（3）取边的中点E，边的中点F，连结，当时，直接写出t的值．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线，点在该抛物线上，其横坐标为．以点为对称中心，作正方形．使轴，且点横坐标为1．
（1）求该抛物线对应的函数关系式．
（2）当点与点重合时，求抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边的最短距离．
（3）当抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而减小或随的增大而增大时，求的取值范围．