江苏省泰州市海陵区泰州市第二中学附属初中2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省泰州市海陵区泰州市第二中学附属初中2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题，九年级部分学生的分数，过程如下等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（18分）
1. 平面内有两点、，的半径为5，若，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在圆外B. 点在圆上C. 点在圆内D. 无法判断
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系作答即可，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外．
【详解】根据点与圆的位置关系，进行判断即可．
解：∵的半径为5，，且，
∴点P与的位置关系是点P在内，
故选C．
2. 关于的一元二次方程的根的情况，下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 无实数根
【答案】A
【解析】
【分析】先计算根的判别式得到，然后根据一元二次方程根的判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】解：∵
，
∴方程有两个实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
3. 某校为了解同学们某季度参与“青年大学习”的时长，从中随机抽取5位同学，统计他们的学习时长（单位：分钟）分别为：75，80，85，90，▲（被污损）．若该组数据的平均数为82，则这组数据的众数为（ ）
A. 75B. 80C. 85D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数的定义可求出▲的数，再由一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数，即可求解．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
在75，80，85，90，中出现次数最多的数是 ，
众数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了平均数的定义、众数的定义，理解定义是解题的关键．
4. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用长方形的面积等于18和矩形的面积公式列出方程即可．
【详解】解：设原正方形的空地的边长为，则剩余空地的长和宽分别为和，由题意，得：；
故选A．
【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，正确的识图，找准等量关系，是解题的关键．
5. 如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（ ）
A. 大于60°B. 小于60°C. 大于30°D. 小于30°
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：连接OA，OB，AB，BC，如图：
∵AB=OA=OB，即△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠ACB与∠AOB所对的弧都为，
∴∠ACB=∠AOB=30°，
又∠ACB为△SCB的外角，
∴∠ACB＞∠ASB，即∠ASB＜30°．
故选D
6. 如图，点是以为直径的半圆的中点，连接，点是直径上一点，连接，分别过点、点向作垂线，垂足为和，其中，，，，则的长是（ ）

A. 10B. 12．C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延长交于点M，连接，，证明，，四边形是矩形，可得，，求解，证明，，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：延长交于点M，连接，，

∵为直径，
∴，
又∵由得：，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵点A是以为直径的半圆的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推理——直径所对的圆周角是90度， 矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造两个直角三角形，将已知和待求用勾股定理建立等式．
二、填空题（30分）
7. 二次根式有意义，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数非负，解不等式即可完成．
【详解】解：由题意得，，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式被开方数的非负性，不等式的解法．二次根式两个非负：被开方数非负，二次根式本身非负，解题时要注意这两个非负性．
8. 如图，⊙经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性质先求解，，再利用三角形的内角和定理可得，，再求解，从而可得答案.
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴弧的度数为．
故答案为40．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
9. 如图，内接于，，．若，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】先根据三角形的内角和定理求出，连接，再根据圆周角定理得出 ，结合进而可求出圆的半径，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
连接，

则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质和解直角三角形等知识，熟练掌握上述知识、得出三角形是等腰直角三角形是解题关键．
10. 已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为_____．
【答案】18π
【解析】
【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系得到圆锥的底面圆的半径为3，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算.
【详解】解：如图，
∵圆锥的母线与高的夹角，母线长，
∴圆锥的底面圆的半径，
∴这个圆锥的侧面积=.
故答案为：18π.
【点睛】本题考查了圆锥的有关计算、含30度的直角三角形三边的关系、扇形面积公式，解题的关键是明确圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
11. 小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分．
【答案】
【解析】
【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解．
【详解】解：小明的最终比赛成绩为分．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数公式是解题的关键．
12. 对于实数、，定义运算“※”：．例如，．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义表示出，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
13. 如图，ABC是一张周长为17cm三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下AMN，则剪下的三角形的周长为 _____．
【答案】
【解析】
【详解】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．
【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，
∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7(cm)．
故答案为：7cm．
【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，得出AM+AN+MN＝AD+AE是解题关键．
14. 如图，圆O的内接四边形中，，则的度数是______．
【答案】##130度
【解析】
【分析】根据题意得出两段弧所对的圆心角相同，得出，再由圆周角定理及圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：连接，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵圆O内接四边形中，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
15. 如图所示正六边形的面积为6，点是边上一动点（不与、重合），连接、相交于，若四边形的面积记作，四边形的面积记作，则的范围是______．

【答案】
【解析】
【分析】由，设，正六边形的边长为，再根据正六边形的性质分别求出即可．
【详解】解：连接，如图所示：

由正六边形的对称性可知：
∴是全等的等边三角形，
∴四边形是菱形
同理，
∵
∴
∵点是边上的动点，设，正六边形的边长为，
∴，则，
∴，
∴，
当，的最大值为2，当时，的最小值为0，
∵点是边上一动点（不与、重合），
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查了正六边形的性质．将所求面积与正六边形的面积建立联系是解题关键．
16. 如图，已知的直径，为上一点（不与、重合），连接、．弦平分，交于点，过点作于点（点在下方），交于点，连接，若，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】如图，根据圆周角定理得到，则，再证明，，再由，，，可得得：， 可得，证明，可得．
【详解】解：如图，连接，

的直径，
，
弦平分，
，
，
，
，，
∵，，，
∴，
解得：，（此时在上方，舍去），
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理的应用，一元二次方程的解法，等腰直角三角形的判定与性质等．
三、解答题
17. 解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）先移项，分解因式把方程化为，再解两个一次方程即可；
（2）把方程化为，再解两个一次方程即可；
【小问1详解】
解：，
∴，
∴，即，
∴或，
解得：，；
【小问2详解】
，
∴，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是关键．
18. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算零次幂，负整数指数幂，立方根，再合并即可；
（2）把除法化为乘法运算，再约分即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
【点睛】本题考查的是零次幂与负整数指数幂的含义，立方根的运算，分式的除法运算，熟记相关的运算法则是解本题的关键．
19. 为深入学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“学习二十大，永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了八、九年级部分学生的分数，过程如下：
收集数据：从该校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中九年级的分数如下：81 83 84 85 86 87 87 88 89 90 92 92 93 95 95 95 99 99 100 100
整理、分析数据如下表：
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）样本数据中，八年级甲同学和九年级乙同学的分数都为90分，哪位同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前？哪个年级分数较整齐？（说明理由）
（3）如果八年级共有400人参赛，求该年级分数不低于95分的学生约有多少人．
【答案】（1）6；91；95
（2）甲同学的成绩排序更靠前；九年级的分数较整齐
（3）160人
【解析】
【分析】（1）根据八、九年级学生中各随机抽取20名学生的分数可得，第10，11名学生的成绩为90分，92分，即可求出b的值，95分出现了3次，次数最多，可得c的值；
（2）根据九年级的中位数是91分，八年级的中位数是89分，可得90分大于八年级成绩的中位数，而小于九年级成绩的中位数，进而可得结论；整齐程度根据方差进行评价即可作出判断；
（3）用八年级不低于95分的比例乘以总人数即可．
【小问1详解】
∵八、九年级学生中各随机抽取20名学生的分数，
∴，
九年级学生的成绩从低到高排列，第10，11名学生的成绩为90分，92分，
∴（分），
九年级成绩的95分出现了3次，次数最多，
∴，
故答案为：，，；
【小问2详解】
八年级学生分数的中位数为89，甲同学的成绩在中位数之前，名次靠前；九年级的学生分数的中位数为91，乙同学的成绩在中位数以后，名次靠后，故甲同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前；九年级学生分数的方差小于八年级学生分数的方差，故九年级的分数较整齐．
【小问3详解】
400名八年级学生分数不低于95分的学生约有（人）．
【点睛】本题考查频数分布表、用样本估计总体、方差、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
20. 某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？
【答案】（1）该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；（2）至少再增加2个销售点．
【解析】
【分析】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可进行求解；
（2）设至少再增加y个销售点，根据题意列出不等式即可求解.
【详解】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量月平均增长率为x，
根据题意得，，
解得：，（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）3.6×（1+20%）=4.32万（kg），
4.32÷0.32=13.5（个），即六月份应至少14个，
3.6÷0.32=11.25（个），即五月份销售点应为12个
则需增加14-12=2（个），
故至少再增加2个销售点．
【点睛】此题主要考查一元二次方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系.
21. 如图，的弦、的延长线相交于点，且，

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）证，则即可求证；
（2）连接，作，证，进而可证，即可求证．
【小问1详解】
证明：∵
∴
∴
即：
【小问2详解】
证明：连接，作

∵,
∴
即
【点睛】本题考查了圆中“弧、弦、角”的关系、全等三角形综合．熟记相关结论进行几何推理即可．
22. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【答案】（1），
（2）每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件列出代数式即可解答；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答；
（3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，再根据根与系数的关系即可解答．
【小问1详解】
解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要让利于顾客，
∴．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
【小问3详解】
解：商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
23. 已知为的直径，C为上一点，D为的延长线上一点，连接．过点C作于点E，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为2，且点A为的中点，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据等边三角形的判定和性质得到，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：在中，点A为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握切线的判定定理是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒影点”．
（1）若点在上，它的倒影点在上，试求和的系式；
（2）直线上有两点，（、不重合），它们的倒影点，均在反比例函数的图象上，点的横坐标为，点的横坐标为，试求和的关系式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，根据新定义得到，进而得到，然后等量代换即可得到；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征得出点A，B的坐标，再根据新定义得到点，的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出，整理后可得和的关系式．
【小问1详解】
解：∵点在上，
∴，
由题意得，点的“倒影点”为，
∵它的倒影点在上，
∴，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由题意得：，，
由“倒影点”的定义得：，，
∵点，均在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
整理得：，
∵、不重合，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键．
25. 欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．

（1）为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程；
已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．
求证：______．
证明：
（2）如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；

（3）在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过证明三角形全等即可得到，从而证明切线．
（2）证明，结合，可得，从而可得答案；
（3）如图，由，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，证明，可得，可得．
【小问1详解】
已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
求证：是小圆O的切线
证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是小圆O的切线．
【小问2详解】
由（1）得：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图，∵，，都为小圆O切线，记与小圆O的切点为H，
∴，，

∵，，，
∴，，
∴，
而，
∴
∴．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线是解本题的关键．
26. 如图，矩形（）与矩形全等，点，，在同一条直线上，的顶点在线段上移动．

（1）如图1，用直尺和圆规在上求作点，使是直角；
（2）若，，在上是否一定存在点，使得，且是直角，若存在直接写出的长，若不存在，请说明理由；
（3）设，，试通过计算说明（1）中的点一定有两个；
（4）过、、三点作交于另一点，连接、，若，求的值．
【答案】（1）详见解析

（2）存在，，详见解析
（3）详见解析
（4）,详见解析
【解析】
【分析】（1）由的顶点P在线段上移动，且为直角，得点P也在以为直径的的圆上运动；所以以为直径作与的交点即为所求；
（2）利用，根据全等三角形的性质得出，进而求出的值，即可得出答案；
（3）要判断直角顶点的个数，只要判定以为直径的圆与线段的位置关系即可，相交时有2个点，相切时有1个，外离时有0个，不会出现更多的点；
（4）连，作，先证，再证，进而可得线段之间的比值关系．
【小问1详解】
∵点在一条直线上，的顶点P在线段上移动，为直角，
∴点P在以为直径的的圆上运动，
∴点P就是与的交点，
如图所示，即为所求；
．
【小问2详解】
在上存在点P使，且为直角，此时，理由如下：
∵点在一条直线上，的顶点P在线段上移动，为直角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故在存在点P使，且为直角，此时．
【小问3详解】

连接，延长交DE于Q，
如图在中，
根据勾股定理可得：
；
过的中点M作于点N，则是梯形的中位线，
则；
以为直径的圆，半径是，，
而只有是等号才成立，因而，
即圆与直线相交，则直角顶点P的位置有两个．
【小问4详解】

设，连，作于N，
由已知得，，
∴，
∴,
∴,
∴为等腰直角三角形，过的圆的圆心为的中点，
∴，
∴是梯形的中位线，
∴，
∵ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
分数x
八年级人数
4
6
2
8
九年级人数
3
a
4
7
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
91
89
97
40．9
九年级
91
b
c
33．2