江苏省泰州市姜堰区四校联考2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江苏省泰州市姜堰区四校联考2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了 下列方程为一元二次方程的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（6小题，每题3分，共18分）
1. 下列方程为一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足三个条件：（1）是整式方程（2）未知数的最高次数是2；（3）只含有一个未知数．
【详解】解：A、未知数的最高次数为1，不符合题意；
B、含有两个未知数，不符合题意；
C、为整式方程，只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了一元二次方程定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 关于x的方程的两根分别为，，则的值为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即，，即可解答．
【详解】解：关于x的方程的两根分别为，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键．
3. 已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则的半径可能为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由点与圆的位置关系可知，的半径，进而可得出结果．
【详解】解：由点与圆的位置关系可知，的半径
故选D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
4. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是( )
A. 点DB. 点EC. 点FD. 点G
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形三边中垂线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可．
【详解】根据图形可知，直线DG是△ABC的BC边上的中垂线，点D在△ABC的AB边上的中垂线上，
∴点D是△ABC外心．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形外心的定义，注意：三角形三边中垂线相交于一点，这一点是此三角形的外心．
5. 如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质证得，再根据圆周角定理求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
6. 如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取的中点K，连接，根据即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴CF的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键．
二．填空题（10小题，每题3分，共30分）
7. 关于x的一元二次方程有一根为0，则m＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于m的方程，通过解关于m的方程即可求得m的值．
【详解】解：关于x的一元二次方程有一根为0，
满足关于x的一元二次方程，且，
，且m﹣1≠0，
解得：；
故答案是：．
【点睛】考查了一元二次方程的定义及解的概念，解题的关键是注意一元二次方程的二次项系数不为零．
8. 一个扇形的圆心角为，弧长为3πcm，则此扇形的半径是__________cm．
【答案】4
【解析】
【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径．
【详解】解：扇形的弧长为，
解得，，
故答案为：4．
【点睛】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式．
9. 已知一个圆雉的底面圆半径是2，母线长是6，则圆雉侧面积是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长母线长，即可求解．
【详解】解：底面半径是2，
则底面周长，
圆锥的侧面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，牢记圆锥的侧面积计算方法是解题的关键．
10. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第_____象限．
【答案】四
【解析】
【分析】先根据一元二次方程无实数根得到，求出，即可得到一次函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限，
∴一次函数的图象不经过第四象限．
故答案为：四
【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的判别式，一次函数的图象等知识．一元二次方程 的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
熟知一元二次方程根的判别式和一次函数的图象与性质是解题关键．
11. 如图，点在上，，，则______．
【答案】##100度
【解析】
【分析】利用同弧上的圆周角相等将已知与待求的角集中在中即可求解．
【详解】∵点A、B、C、D在上，
∴，（同弧上的圆周角相等）
∵，
∴．
故答案：．
【点睛】本题考查了同弧上的圆周角的性质、三角形内角和等相关知识点，解题的关键是将已知角度与待求角度集中在同一个三角形内．
12. 如图，点是的内心，也是的外心．若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的区别．连接，，根据点是的内心，，可得，再根据点也是的外心，和圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，，
点是的内心，，
，是，的平分线，
，，
，
点也是的外心，
，
则的度数为．
故答案为：
13. 一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是____．
【答案】或
【解析】
【分析】根据条件画出相应的图形，利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接，

∵一条弦把圆分成两部分，如图，
∴弧的度数是，弧的度数是，
∴，
∴，
∴，
故答案为或．
【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
14. 在中，，则外接圆的半径为______．
【答案】4或5
【解析】
【分析】根据题意，结合半圆（直径）所对的圆周角是直角，可得这个三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边长，然后分两种情况：斜边为和斜边为，利用勾股定理，分别进行计算即可．
【详解】解：∵是直角三角形，
∴这个三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边长，
∴当斜边为时，则这个三角形的外接圆的直径是，
∴此时外接圆的半径为4，
当斜边为时，则这个三角形的外接圆的直径是，
∴此时外接圆的半径为5，
综上可得，这个三角形的外接圆的半径为4或5．
故答案为：4或5．
【点睛】本题考查了三角形外接圆、圆周角定理、勾股定理，解本题的关键在根据圆周角定理，得出这个三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边长．
15. 如图，点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若，，则IE的长为__．

【答案】4
【解析】
【分析】由已知条件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F，可得四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF,即可求出IE的长.
【详解】解：
如图：I为△ABC的内心,可得∠BAD=∠CAD,BD=CD,
又∠DIC=∠DAC+∠ACI,∠ICD=∠ICB+∠BCD
其中∠DAC=∠BAD=∠BCD，∠ACI=∠ICB，
∠DIC=∠ICD
ID=CD, ID=BD=DC=5, 可得AI=2CD=10
可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F,
可得IF=FC(垂经定理)，
在RT△IFD中，,
又在△AIC中，AE=EC, IF=FC,
EF为△AIC的中位线，
EF∥AD,即EF∥ID, 且EF==5=ID,
四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF=4,
故答案：4.
【点睛】本题主要考查圆的垂经定理，圆周角定理及平行四边形相关知识，难度较大，需综合运用各知识求解.
16. 如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可。
【详解】解：连接，如下图：

∵，
∴
∴，
又∵点为的中点，
∴，
弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，

由题意可得：，
∴，，
又∵，
∴，
∴
扫过的部分的面积就是，
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提．
三．解答题（10小题，共102分）
17. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程：直接开平方法和因式分解法，本题的关键是利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程来求解．
（1）先方程两边乘以4，得，再根据直接开平方法即可；
（2）将方程右边移项到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【小问1详解】
解：方程可化为，
直接开平方，得，
，；
【小问2详解】
，
，
，
，
或，
，．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）证明：无论m取何值，此方程必有实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两个跟，且，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2），．
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键．
（1）证明即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案．
【小问1详解】
证明：
，
无论取何值，此方程必有实数根；
【小问2详解】
解：，
，
又，，
，
解得：，
19. 如图，在⊙O中，，弦AB与CD相交于点M．
（1）求证：．
（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径．求证：．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题即可；
（2）利用圆周角定理可得，再利用三角形外角性质可得，根据直径所对的圆周角为90°可得，进而根据三角形内角和定理和等量代换可证结论．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∴，
∵AD是⊙O的直径，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系、三角形内角和定理、三角形外角性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为90°，解题的关键是熟练掌握并灵活运用所学相关知识．
20. 如图，是⊙O的直径，是⊙O的一条弦，且于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求⊙O的半径．
【答案】（1）见详解 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形两底角相等即可得到答案；
（2）连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理即可得到答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵与都是弧所对圆周角，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接，
∵，，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是知道同弧所对圆周角相等．
21. 如图，、是的切线，切于点，的周长为12，．求：
（1）求的长；
（2）求的度数．
【答案】（1）6 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是切线长定理，切线长定理提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于的结论，即可求出的长；
（2）根据三角形的内角和求出和的度数和，然后根据切线长定理，得出和的度数和，再根据三角形的内角和求出的度数．
【小问1详解】
，都是圆的切线，
，
同理，，
三角形的周长，
即的长为6；
【小问2详解】
，
，
，
，是圆的切线，
；
同理：，
，
．
22. 如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线判定与性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，先根据圆周角定理得出，再证明，从而得出，即可得证；
（2）连接，先利用圆心角、弧、弦的关系，得出，由圆周角定理得出，证明为等边三角形，再根据图中阴影部分的面积，计算即可得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
为的直径，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
为的切线；
【小问2详解】
解：如图，连接，
，
为的中点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
23. 如图所示的拱桥，用弧表示桥拱．

（1）若弧所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心．（不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若拱桥的跨度（弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，求拱桥的半径．
【答案】（1）见解析 （2）拱桥的半径为米
【解析】
【分析】（1）作的垂直平分线，交于点，即可求解；
（2）根据垂径定理得出，，设拱桥的半径为，在中，勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，作的垂直平分线，交于点，
【小问2详解】
解：如图，

设为的中点，交于点，
∵，
∴，，
设拱桥的半径为，在中，，，
∵，
∴
解得：
∴拱桥的半径为米．
【点睛】本题考查了确定圆心的位置，垂径定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
24. 在一空旷场地上设计一个落地为长方形的小屋，边长边长，拴住小狗的绳子长，其中一端固定在点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，设小狗活动的区域面积为．（结果保留π）
（1）如图1，若，求此时S的值．
（2）如图2，现考虑在图1中的矩形小屋的右侧以为边拓展一个正三角形区域，使之变成一个落地为五边形的小屋，其他条件不变．在（1）的条件下，求此时S的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查扇形的面积，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．
（1）小狗活动的区域面积为以为圆心、10为半径的圆，以为圆心、6为半径的圆和以为圆心、4为半径的圆的面积和，据此列式求解可得；
（2）根据扇形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗可以活动的区域如图所示：
由图可知，小狗活动区域面积为以为圆心、10为半径的圆，以为圆心、6为半径的圆和以为圆心、4为半径的圆的面积和，
；
【小问2详解】
如图2，
由图可知，小狗活动的区域面积为以为圆心、10为半径的圆，以为圆心、6为半径、圆心角为的扇形，以为圆心、4为半径的圆的面积和，
，则，
．
25. 浦江桃形李是地方名果，是浦江县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
（1）任务1：求桃形李产量的年平均增长率．
（2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的桃形李，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高．
（3）任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计）

【答案】（1）；
（2）；
（3）；
【解析】
【分析】（1）设桃形李产量的年平均增长率为，则2021年的产量为千克，2022年的产量为千克，由2022年的产量解方程即可；
（2）由图1可得裁掉正方形的边长即为图2长方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可；
（3）设底面正六边形为，底面正六边形的边长为，纸盒的高为，连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点、，根据正六边形的性质求得为的直角三角形，可得其两直角边的长度；结合等边三角形的判定和性质再求得左右两侧小三角形的高，然后根据长方形纸板的长和宽建立方程求解即可；
【小问1详解】
解：设桃形李产量的年平均增长率为，由题意得：
，
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴桃形李产量的年平均增长率为；
【小问2详解】
解：设裁掉正方形的边长为，由题意得：
，
，
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴此时纸盒的高为；
【小问3详解】
解：如图设底面正六边形为，

连接、、，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点、，
设底面正六边形的边长为，纸盒的高为，
∵正六边形的每条边相等，每个内角都为，
∴为等腰三角形，，
∴，
由正六边形的性质可得平分，
∴，
∴，
∴直角三角形中，，
同理可得直角三角形中，
∵，，
∴，
∵左侧小三角形顶点的角度=，
∴左侧小三角形为边长的等边三角形，
根据图形的上下对称可得与长方形纸板的左右两边垂直，
∴为等边三角形的高，
∴，
同理可得，
为矩形，则，
∵，
∴
联立式可得，
∴纸盒的高为；
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键．
26. 如图，在中，已知，于，点、分别从、两点同时出发，其中点沿向终点运动，速度为；点沿、向终点运动，速度为，设它们运动的时间为．
（1）求为何值时，；
（2）设的面积为，当时，求与的函数关系式；
（3）当时，求证：点O始终为线段的中点；
（4）探索在整个运动过程中，以为直径的圆与的位置关系，请直接写出相应位置关系的x的取值范围．
【答案】（1）
（2）；
（3）见解析 （4）见解析
【解析】
【分析】（1）若使，则根据路程速度时间表示出和的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
（2）首先画出符合题意的图形，再根据路程速度时间表示出，的长，根据等边三角形的三线合一求得的长，根据30度的直角三角形的性质求得边上的高，再根据面积公式进行求解；
（3）根据三角形的面积公式，要证明平分的面积，只需证明是的中点．根据题意可以证明，则，再根据平行线等分线段定理即可证明；
（4）根据（1）中求得的值即可分情况进行讨论．
【小问1详解】
当在上时，显然不垂直于，
当在上时，由题意得，，，；
，
；
若，则有，
，
，
；
【小问2详解】
如图，当时，在上，在上，过点作于；
，，
；
，，
，
，
；
【小问3详解】
当时，在中，，；
，
，
，
；
，，
，
，
，
平分的面积，
是的中线，
点O始终为线段的中点；
【小问4详解】
显然，不存在的值，使得以为直径的圆与相离，
由（1）可知，当时，以为直径的圆与相切；
当点在上时，，解得，
故当或时，以为直径的圆与相切，
当或或时，以为直径的圆与相交．
信息及素材
素材一
在专业种植技术人员的正确指导下，果农对桃形李的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年桃形李平均每株产量是35千克，2022年达到了50.4千克，每年的增长率是相同的．
素材二
一般采用的是长方体包装盒．
素材三
果农们通过问卷调查发现，顾客也很愿意购买美观漂亮的其它设计的包装纸盒．