备战2025年高考数学二轮复习课件数学思想方法第4讲转化与化归思想

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【思想概述】转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时,思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形,也就是转化到另一种情形使问题得到解决的情况.这种转化是解决问题的有效策略,同时也是获取成功的思维方式.
应用一 特殊与一般的转化
应用二 命题的等价转化
例2(1)(2024北京景山中学模拟)已知斐波那契数列{an}满足:a1=a2=1, an+2=an+1+an(n∈N*),若a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=ak,则k=(　　)A.2 022B.2 023C.59D.60
解析 a1+a3+a5+a7+a9+…+a59=a2+a3+a5+a7+a9+…+a59=a4+a5+a7+a9+…+a59=a6+a7+a9+…+a59=……=a58+a59=a60=ak,所以k=60.故选D.
应用三 函数、方程、不等式之间的转化
例3(1)(2023全国乙,文11)已知x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是(　)
解析 (方法一)令x-y=k,k∈R,则x=k+y,代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4 =0,因为存在满足条件的实数y,则Δ≥0,即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0,
A.a>c>bB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a
令f(x)=x-sin x,则f'(x)=1-cs x≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,即有x>sin x(x>0)成立,
应用四 正难则反的转化
例4(1)(2024安徽合肥模拟)已知圆C:(x-6)2+(y-8)2=1和两点A(-m,0),B(m,0) (m>0),若圆C上至少存在一点P,使得∠APB>90°,则m的取值范围是(　　)A.(9,11)B.(9,+∞)C.[9,+∞)D.(11,+∞)
解析 ☉C:(x-6)2+(y-8)2=1的圆心C(6,8),半径r=1,∵圆C上至少存在一点P,使得∠APB>90°,∴☉C:(x-6)2+(y-8)2=1与☉O:x2+y2=m2(m>1)位置关系为相交,内切或内含,记☉O半径为R,其中R=m,如图所示,则|OC|10,∴m>9.故选B.