《新高考数学大二轮复习课件》思想方法 第4讲 转化与化归思想

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第4讲　转化与化归思想
思想概述　转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案.
方法一　特殊与一般的转化
A.x2＋y2＝9 B.x2＋y2＝7C.x2＋y2＝5 D.x2＋y2＝4
思路分析　求蒙日圆方程→求蒙日圆半径→找圆上任一点即可求半径→取特殊点→求两切线的交点，即为蒙日圆上一点
又过A，B的切线互相垂直，
所以椭圆C的蒙日圆方程为x2＋y2＝7.
根据题意每个椭圆的“蒙日圆”都是固定的，所以取特殊点，利用过特殊点的互相垂直的切线的交点也在蒙日圆上即可求半径，体现了特殊到一般的思想.
思路分析　假设ABCD为矩形，建系→写出坐标→数量积运算
解析　假设ABCD为矩形，如图建系，则A(0,0)，M(12,6)，N(8,8)，
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果.对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案.
例2　(1)由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是A.(－∞，1) B.(－∞，2)C.1 D.2
将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化.
方法二　命题的等价转化
思路分析　命题：存在x∈R，使e|x－1|－m≤0是假命题→任意x∈R，e|x－1|－m>0是真命题→m解析　由命题“存在x∈R，使e|x－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，e|x－1|－m>0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
思路分析　求P－ABC的体积→补成长方体→求长方体除P－ABC之外的三棱锥体积
解析　因为三棱锥P－ABC的三组对边两两相等，所以可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC.
易知三棱锥P－ABC的各棱分别是此长方体的面对角线.不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，
根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.
函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y＝f(x)的图象性质可以确定方程f(x)＝0，不等式f(x)>0和f(x)<0的解集.
方法三　函数、方程、不等式之间的转化
思路分析　∀x1，∃x2，f(x1)＝g(x2)→f(x)的值域是g(x)值域的子集→f(x)，g(x)的值域
解析　若对∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈[1,3]，使f(x1)＝g(x2)成立，则g(x)在x∈[1,3]上的值域范围比f(x)在x∈(0，＋∞)的值域范围大.
x∈(2，＋∞)，f′(x)<0，则f(x)单调递减，
所以x∈[1,3]，g′(x)≥0，则g(x)单调递增，
要使g(x)在x∈[1,3]上的值域范围比f(x)在x∈(0，＋∞)的值域范围大，
令g′(x)>0，解得01.∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g(x)极大值＝g(1)＝－2.
思路分析　g(x)的极值→ln x证明　由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－2，即ln x－(x＋1)≤－2⇒ln x≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)，令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)(t>－1).
借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.