精品解析：安徽省亳州市2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份精品解析：安徽省亳州市2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可求解．
【详解】解：A、是一次函数，故不符合题意；
B、是反比例函数，故不符合题意；
C、是一次函数，故不符合题意；
D、二次函数，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用比例的性质求得，整理求得，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质“两外项的乘积等于两内项的乘积”是解题的关键．
3. 全国爱眼日是每年的6月6日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会导致眼部疾病，其中长期观看电子产品对眼睛的损害会造成不可逆的损伤．下图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换过程是（ ）

A. 折叠B. 位似C. 对称D. 平移
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠、位似、对称、平移的相关概念进行判断即可．
【详解】解：开口向下两个“E”方向相同、形状相似，但位置和大小不同，
而且每组对应点所在直线都经过同一个点，所以属于位似，
故选：B．
【点睛】本题考查位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，解题的关键是注意：平移、旋转、对称、折叠的图形都是全等形，而位似的图形不是全等形．
4. 如图，在中，点D在边AB上，，交于点E，若线段，则线段的长为（ ）

A. 10B. 7.5C. 15D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】由，可证得，然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线的对称轴是直线
C. 方程一个解的范围
D. 抛物线与y轴交于正半轴
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的相关知识对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：由题意得，当时，y随x的增大而减少，则抛物线开口向上，故A不符合题意；
∵当和时，y的值都是，
∴抛物线的对称轴是，故B不符合题意；
∵时，；时，，
∴方程一个解的范围，故C不符合题意；
∵时，，
∴抛物线与y轴交于负半轴，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质．
6. 在与中，有下列条件：①；②；③；④，下列组合不能判断的是（ ）
A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【详解】解：∵①，②，
∴，∴；选项A不符合题意；
①，④，不能判定；选项B符合题意；
②，④，∴；选项C不符合题意；
③；④，∴；选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
7. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∴点A到对称轴的距离为：，
点B到对称轴的距离为：，
点C到对称轴的距离为：，
∵，
∴函数开口向上，离对称轴越远，函数值越大
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时，离对称轴越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小．
8. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段上一点若满足（是和的比例中项），则称点P是的黄金分割点．一般认为一个人如果肚脐以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金分割（黄金比接近），会给人一种特别的美感．如图，某女士身高165cm，下半身长100cm，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为多少厘米．若设高跟鞋的高度大约为多少，则x满足的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】表示出下半身、全身的高度，再根据下半身全身=0.618，求出鞋子的高度．．
【详解】解：设高跟鞋的高度大约为，
由题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程在黄金分割比的应用，掌握分式方程的列出和黄金分割比的式子是本题关键．
9. 不论m为何值，抛物线的顶点总在直线（ ）
A. 直线上B. 直线上C. x轴上D. y轴上
【答案】A
【解析】
【分析】直接求得顶点坐标为，即可判断顶点所在直线．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标是，
∴顶点在直线上．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线的顶点坐标．
10. 如图，已知四边形是矩形，点F在的延长线上，．与相交于点G，与相交于点E，．则下列结论正确的是（ ）
①；②如果，；③；④．

A. ①②B. ①③④C. ③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】利用证明，再证明，推出，得到，在上截取，连接，证明为等腰直角三角形，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，又，
∴，①正确；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，②错误；
在上截取，连接．

由（1）可知：，
又∵，
∴，
∴，．
又∵，
∴，即：
∴为等腰直角三角形．
∴，，④正确；
∴，③正确；
综上，①③④正确．
故选：B．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（共20分）
11. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于、两点，则关于x的不等式的解集是______．

【答案】##
【解析】
【分析】抛物线与直线相交及抛物线在直线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】解：由图可知，当或时，抛物线与直线相交，
当时，抛物线在直线下方，
∴的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用图象法求不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．
12. 已知二次函数，当时，y的取值范围内是______．
【答案】
【解析】
【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当对应的y值，最后求出最大值和最小值即可．
【详解】解：二次函数化为顶点式为，
∵，
∴二次函数有最小值为，此时，
当时，，
∴该函数在的取值范围内，y的取值范围内是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当对应的y值是解此题的关键．
13. 《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：与相交于点，．若点到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______．

【答案】
【解析】
【分析】先证明，再根据相似三角形对应高的比等于相似比得到，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∴
又∵点O到的距离为，点O到的距离为，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟知“相似三角形对应高的比等于相似比”是解题的关键．
14. 如图，矩形内接于，且边落在上，若，，．
（1）若，则______；
（2）若点E是AB边上的动点，设，矩形面积为y，则y与x的函数关系式为______．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】（1）设交于点K，先证明，四边形是矩形，则，再证明，得，于是有，即可求得，得到问题的答案；
（2）同理，用x表示出的长利用矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：（1）如图，设交于点，
∵四边形是矩形，且边落在上，
∴，，
∵于点，
∴，
∴，四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3，
（2）由（1）得，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴矩形面积为．
故答案为：．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，证明并且根据“相似三角形的对应边上的高的比等于相似比”列方程是解题的关键．
三、解答题（共90分）
15. 已知拋物线经过点，，求抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法即可求解．
【详解】解：将，代入得：
，解得：，
抛物线的解析式为：．
【点睛】本题考查了待定系数法，熟练掌握其待定系数法求函数解析是解题的关键．
16. 如图，在网格图中（小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上．

（1）以点O为位似中心，将扩大为原来的2倍，得到，点B的对应点在第一象限；
（2）的内部一点M的坐标为，写出点在中的对应点的坐标；
（3）直接写出的面积是多少．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）8
【解析】
【分析】（1）根据位似图形的定义作图即可；
（2）根据位似图形的定义可得横纵坐标都变为原来的2倍且符号相反，即可求解
（3）直接根据三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
解：根据“以点O为位似中心，将扩大为原来的2倍，得到，点B的对应点在第一象限”可知，横纵坐标都变为原来的2倍且符号相反，
∴；
【小问3详解】
解：的面积：．
【点睛】本题考查作位似图形以及位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．
17. 在封闭的电路中，当电压一定时，电流与电阻之间成反比例关系，满足关系式，已知在一封闭电路中，当电压时，回答下列问题：

（1）直接写出电路中的电流与电阻之间的函数关系式；
（2）画出该函数的大致图象．
【答案】（1）；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数的性质即可解决问题．
（2）列表，描点、连线，画出函数图象即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
【小问2详解】
解：列表，
描点、连线，图象如图，
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解反比例函数的定义，灵活运用所学知识解决问题．
18. 如图，在平行四边形中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，求：
（1）写出图中所有的相似三角形（全等除外）；
（2）选择其中的一对相似三角形进行证明．
【答案】（1）相似三角形有5对；①；②；③；④；⑤；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解；
（2）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．
【小问1详解】
解：在平行四边形中，，
所以，①，
，
所以，②，③，
所以④，⑤，
故图中相似三角形有5对；①；②；③；④；⑤；
【小问2详解】
证明：∵，
∴；
∵，
∴；；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意与都与相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．
19. 观察如下四个图形，并根据图中规律回答相关问题．

在图1中，D是中边的二等分点，图2中D、E是边的三等分点，图3中D、E、F是边的四等分点……图4中D、E、F、G是边的n等分点，过各等分点的线段分别与底边平行．设的面积为，过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为：，、……，由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得：
①当D是边的二等分点：；
②当D、E是边的三等分点：；
③当D、E、F是边的四等分点：
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第④个等式：______．
（2）请你猜想出的结果（用含n的式子表示），并验证你的猜想．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）仿照上式即可写出；
（2）先仿照上式写出，根据面积比为相似比的平方证明即可．
【小问1详解】
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：结论：，
如图4中D、E、F、G是边的n等分点，过各等分点的线段分别与底边平行，
则各三角形的相似比为：，
面积比为：，
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
20. 已知二次函数．
（1）若抛物线与y轴交于，求m的值及抛物线在x轴上截得的线段长；
（2）对于任意实数m，请判断该二次函数图像与x轴有没有交点，并说明理由．
【答案】20. ，在x轴上截得的线段长是
21. 有交点，见解析
【解析】
【分析】（1）将点代入解析式求出m的值并得到抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴交点即可得到抛物线在x轴上截得的线段长；
（2）求出判别式即可判断．
【小问1详解】
解：∵抛物线与y轴交于，
∴，
∴
∴抛物线为，
当时，，
解得或，
∴抛物线在x轴上截得的线段长为；
【小问2详解】
，
∵，
∴
∴该二次函数图像与x轴有交点．
【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴交点，判断二次函数与x轴交点个数，正确掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
21. 如图，在的边长为1的小正方形网格中，的三个顶点都在格点上．

（1）直接写出的形状______；
（2）若垂足为D，证明：；
（3）拓展应用：在A时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．（直接写出结果）
【答案】（1）直角三角形
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求得，的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解；
（2）证明，即可证明；
（3）利用（2）的结论即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，，，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
【小问2详解】
证明：由（1）知是直角三角形，且，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由题意得，，米，米，
由（2）得，
∴，
∴米，
∴树的高度为米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
22. 如图，四边形是矩形，顶点A，C分别在x轴和y轴上，，，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E．

（1）直接写出点D的坐标；
（2）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（3）点F是边上一点，若，试说明线段与线段的关系．
【答案】（1）点D的坐标为；
（2）反比例函数的表达式为，点的坐标；
（3），．
【解析】
【分析】（1）先求得点B的坐标，再利用D点为的中点得到点D的坐标；
（2）利用待定系数法确定反比例函数解析式为，接着利用E点的纵坐标为6得到点的坐标；
（3）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出，然后利用勾股定理，从而作出判断．
【小问1详解】
解：∵，，
∴点B的坐标为，
∵D点为的中点，
∴点D的坐标为；
小问2详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵点E在上，则E点的纵坐标为6，
∴E点的横坐标为，
∴点的坐标；
【小问3详解】
解：设与交于点G，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，即，
∴，即．，
∴，即．
【点睛】本题考查了相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．
23. 如图，正方形边长为10，是直角三角形，，点E是边的动点，点F在边上，当点E在线段上移动时（点E不与A、D重合），设，的面积为y．

（1）当点E在线段上移动时，与的关系会不会发生变化？ 请简要说明理由；
（2）用含有x的代数式表示y；
（3）当点E运动到什么位置时，的面积有最值？最值是多少？
【答案】（1）当点E在线段上移动时不会发生变化；
（2）；
（3）点E运动到的中点时，的面积有最小值，最小值为．
【解析】
【分析】（1）利用等角的余角相等证得，证明，即可得解；
（2）由相似三角形的性质求得，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当点E在线段上移动时不会发生变化；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
【小问3详解】
解：∵，，开口向下，
∴当，的面积有最小值，最小值为．
答：点E运动到的中点时，的面积有最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
x
…
0
1
2
…
y
…
7
…
x
2
3
4
5
y
5
2