精品解析：安徽省芜湖市无为市多校联考2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

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说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此解答即可．
【详解】解：A、能找到某一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
B、不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
C、不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
D、不能找到某一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
2. 下列诗句所描述的事件中是必然事件的是（ ）
A. 千山鸟飞绝B. 手可摘星辰C. 黄河入海流D. 大漠孤烟直
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了事件发生可能性大小．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、不是必然事件，故本选项不符合题意；
B、不是必然事件，故本选项不符合题意；
C、是必然事件，故本选项符合题意；
D、不是必然事件，故本选项不符合题意；
故选：C
3. 在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作，点M的坐标是，则点M与的位置关系是（ ）
A. 点M在圆内B. 点M在圆外C. 点M在圆上D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案，点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外；假设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：，点在圆内；点在圆上；点在圆外．
【详解】解：∵点M的坐标是，
∴点M与原点O的距离为，
又∵的半径为2，，即，
∴点M与的位置关系是点M在圆内．
故选：A．
4. 如图，在一个圆形转盘中，标有黄、红、绿的三个扇形的圆心角度数分别为、、．让转盘自由转动，转盘停止后指针（若指针落在分界线上，则重新转动转盘）落在红扇形的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了概率公式，用红色区域的面积除以圆的面积得到指针落在黄色区域的概率．
【详解】解：指针落在红色区域的概率．
故选：B．
5. 如图，正六边形内接于，若的边心距，则正六边形的边长是（ ）
A. B. 3C. 6D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆，连接，证明是等边三角形，求出的长即可解决问题．
【详解】解：连接，如图，
∵正六边形内接于，
∴，
∴是等边三角形，
∵是的边心距，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴
解得，，
∴，
故选：A
6. 某校“研学”活动小组在一次户外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是57个，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：依题意得：，
故选：D．
7. 已知的半径是一元二次方程的解，且点O到直线的距离为2，则与直线的位置关系为（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，圆与直线的关系，首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线的距离为d，若，则直线与圆相交；若，,则直线于圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵的半径是一元二次方程的解，
∴，
∵点O到直线的距离为2，
∴，
∴直线与圆相切．
故选：B．
8. 如图，有两副手套（区分左、右手）共四只，除颜色外其余均相同，将它们放置于桌面上，分别用，，，表示，小明先从两只左手手套随机取一只，再从两只右手手套中随机取一只，则恰好匹配成一双相同颜色的手套的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了列树状图或列表法求概率，先列出树状图，共有4种结果，满足条件有2种，即可作答．
【详解】解：依题意，列树状图如下：
共有4种结果，恰好匹配成一双相同颜色的手套有种；
故概率是
故选：C
9. 如图，边长为3的正方形的中心与半径为1的的圆心重合，过点O作，分别交于点E，F，则阴影部分的而积是（）
A. B. C. D. 随点E，F的位置而变化
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，求解不规则图形的面积，熟练的证明是解本题的关键．
如图，过点作于点，于点．证明，可得，，从而可得答案．
【详解】如图，过点作于点，于点．
∵点是正方形的中心，，，
∴，
∵
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
故选：C．
10. 如图，抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与x轴的两个交点分别为，，且，有以下3个结论：①；②；③．则正确的结论有（ ）

A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号．根据二次函数与一元二次方程的关系判断①；根据对称轴为直线，求出，结合可判断②；根据，顶点坐标为可判断③．
【详解】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即．
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴．
∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，故③正确．
综上所述，①②③都正确，
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为，当点C对应点E落在的边上时，旋转角的度数为__________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，分两种情况讨论解题的关键．先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由旋转性质得，再进行计算即可解答．
详解】解：∵，，
∴，
如图：
由旋转得：，
∴，
∴，
∴旋转角的度数为；
故答案为：．
12. 若从甲、乙、丙位老师中随机抽取位担任“双减”政策宣讲志愿者，则抽到甲的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了概率公式，直接根据概率公式求解即可，解题的关键是熟练掌握概率公式的应用．
【详解】解：∵从甲、乙、丙位老师中随机抽取位担任“双减”政策宣讲志愿者，
∴抽到甲的概率是，
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，已知的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当与x轴相切，且圆心P在第二象限内时，圆心P的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，已知函数值求自变量的值，各象限内点的坐标特点．由与x轴相切，可得点P的纵坐标为2，把把代入函数，再结合点P在第二象限即可解答．
【详解】
如图，与x轴相切于点A，则，
∴点P的纵坐标为2，
∵点P在抛物线上，
∴把代入函数，得
，
解得，，
∵点P在第二象限，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
14. 如图，与相切于点P，均为的切线，，，．
（1）的长为__________．
（2）的长为__________．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】（1）由切线长定理可得，证明是等边三角形，则；
（2）如图，连接，作于，则，四边形是正方形，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵均为的切线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：6；
（2）解：如图，连接，作于，
∴，
∵与相切于点P，均为的切线，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质，切线的性质，余弦，垂径定理，正方形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握切线的性质，余弦，垂径定理是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程．
【详解】解：由原方程，得：（x+1）（x﹣2）=0，
解得：x1=2，x2=﹣1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
16. 龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长．
【答案】米
【解析】
【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式求出弧的长度，即可求出整条龙的长度．
【详解】解：∵弧长为（米），
∴整条龙的长是（米）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，正八边形内接于，M是弧上的一点，连接，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关计算，先求出所对圆心角的度数，再根据圆周角定理求解即可
【详解】解：如图，连接OA，OB．
∵正八边形是的内接正八边形，
∴，
∴．
18. 某校组织九年级学生参加安徽省地名知识竞赛．甲、乙、丙、丁四名同学在竞赛中综合得分相同，该校决定从这四名学生中随机选取两名学生参加区级竞赛．
（1）事件“戊同学被选到”是__________事件．（填“随机”、“必然”或“不可能”）
（2）请用列表或画树状图的方法，求恰好选到甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1）不可能 （2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、随机事件．
（1）根据随机事件的定义可得答案．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选到甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
∵从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取戊同学，
∴“戊同学被选到”是不可能事件．
故答案为：不可能．
【小问2详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选到甲、乙两名同学的概率为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的__________，__________．
（2）“摸到白球”的概率的估计值是__________（精确到）．
（3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，大约还有多少个其他颜色的小球？
【答案】（1）；158
（2）
（3）除白球外，还有大约3个其它颜色的小球．
【解析】
【分析】本题考查了频率估计概率．
（1）根据表中的数据，计算得出摸到白球的频率；
（2）由表中数据即可得；
（3）根据摸到白球的频率即可求出摸到白球概率．根据口袋中白球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去白颜色的球数量即可解答．
【小问1详解】
解：，；
故答案为：；158；
【小问2详解】
解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近，
∴摸到白球的概率估计值是；
故答案为：；
【小问3详解】
解：（个）；
答：除白球外，还有大约3个其它颜色的小球．
20. 如图，在等腰直角中，P是斜边上一点（不与点B，C重合），是的外接圆的直径．

（1）求的度数．
（2）若的直径为2，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了贺周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识：
（1）只要证明，即可解决问题；
（2）连接，证明，推出，利用勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
∵，，
∴，
∴．
∵PE是的直径，
∴，
∴．
【小问2详解】
连接，

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
六、（本题满分12分）
21. 如图，为半圆O的直径，C是半圆O上一点，D是的中点，过点D作直线，直线l，垂足为F，的延长线交直线l于点E．
（1）求证：直线l是的切线．
（2）若的半径为1，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接，根据弧与弦之间的关系得到，则垂直平分线，进而证明直线，由此即可证明结论；
（2）如图，过点D作，垂足为M，由直径所对的圆周角是直角得到，进而证明，进一步推出，则由角平分线的性质得到，同理可得，再证明，进而证明，得到，即可推出．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接．
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴点O和点D都在线段的垂直平分线上，即垂直平分线，
∴．
又∵直线，
∴直线，
∵是的半径，
∴直线l是的切线．
【小问2详解】
解：如图，过点D作，垂足为M，
由（1）得，
∵为半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
同理可得，
∵D是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定与性质，平行线的判定，圆周角定理，角平分线的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在中，，D在斜边上，且为中点下方一动点，将边绕点A顺时针旋转得到，连接，延长交于点F，连接．
图1 图2
（1）如图1，__________°；若，则点C到所在直线的距离为__________．
（2）如图2，当时．
①直接写出与之间的数量关系；
②求证：．
【答案】（1）60；
（2）①；②见解析
【解析】
【分析】（1）先证明等边三角形，得可得再证明四点共圆，根据同弧所对圆周角相等可得结论；作于点，求出即可；
（2）①设垂足为，分别求出，得出，由替换可得结论；②证明，再根据证明即可．
【小问1详解】
∵
∴是等边三角形，
∴
∵
∴
∵和在的同侧，
∴四点共圆，
∴
此时，
作于点，
又
∴
∴
即：点C到所在直线的距离为；
故答案为：60；
【小问2详解】
①设垂足为，
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
②证明：∵绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
又∵且，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵且，
∴．
在与中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，四点共圆，与直角三角形有关的计算，30度角所对直角边等于你身边的一半，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴．
（2）是抛物线上一动点，点与点P关于直线对称，函数与自变量x的部分对应值如下表：
请直接写出p，q值，并在如图所示的平面直角坐标系中用平滑的曲线依次连接表中各点得到的图象．

（3）若抛物线关于直线对称的抛物线为L，当时，抛物线L上最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之和为15，请求出m的值．
【答案】（1），
（2），，图见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）根据抛物线的对称性可得函数的图象的对称轴为直线，可求出p，再利用待定系数法求出函数的解析式，即可求解；
（3）根据题意可得抛物线L的解析式为．从而得到当时，的最大值为，的最小值为，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线．
【小问2详解】
解：∵函数的图象过点，
∴函数的图象的对称轴为直线，
∵函数的图象过点，
∴，
设函数的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴函数的解析式为，
当时，；
的图象如下图所示．
【小问3详解】
解：∵，
∴由题意得：抛物线L的解析式为．
当时，的最大值为，的最小值为，
∴，解得．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
78
123
b
402
644
801
摸到白球的频率
a
0.82
0.79
0.804
0.805
0.801
x
…
0
1
2
3
…
…
p
q
2
…