2025高考数学二轮专题复习-集合（八大题型+模拟精练）-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学二轮专题复习-集合（八大题型+模拟精练）-专项训练【含答案】，共31页。试卷主要包含了下列说法中正确的是，下列命题中正确的是，下列集合中表示同一集合的是，设，集合，则等内容，欢迎下载使用。
目录：
01 集合的概念
02 元素与集合
03 集合中元素的特性
04 集合的方法、求集合（个数）
05 集合的基本关系
06 Venn图
07 集合的基本运算
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
01 集合的概念
1．下列说法中正确的是（ ）
A．与定点A，B等距离的点不能构成集合
B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形
D．高中学生中的游泳能手能构成集合
2．下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①与0非常接近的全体实数能构成集合；
②表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．下列命题中正确的是（ ）
①与表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为或
③方程的所有解的集合可表示为
④集合可以用列举法表示
A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对
4．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．设，集合，则（ ）
A．1B．－1
C．0D．－2
02 元素与集合
6．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·四川成都·三模）设全集，若集合满足，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（ ）
A．4B．5C．7D．10
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知集合，，若中有且仅有两个元素，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
11．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
03 集合中元素的特性
12．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．（2024·陕西榆林·二模）设集合，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
14．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若集合，，则的元素的个数是（ ）
A．1B．2C．D．
15．（23-24高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列的公差为，集合.则（ ）
A．不可能有无数个元素
B．当且仅当时，只有1个元素
C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为
D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0
04 集合的方法、求集合（个数）
16．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
17．（2024·山东聊城·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0}B．{1}C．{－1，1}D．{0,-1，1}
19．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
20．（2023·新疆·一模）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．3B．2C．4D．5
05 集合的基本关系
21．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·全国·模拟预测）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．8B．7C．32D．31
23．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）给出下列关系：①高三（22）班的所有高个子同学可以构成一个集合；②；③，其中正确的个数为（ ）
A．3B．2C．0D．1
24．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
25．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·全国·模拟预测）已知集合，．若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
06 Venn图
27．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
28．（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
29．（2024·江苏·一模）已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
30．（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A．B．C．D．
填空题
07 集合的基本运算
31．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则 .
32．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则 ．
33．（2024·江苏南通·模拟预测）已知集合，，则 .
34．（2024·全国·模拟预测）设集合，若，则实数的值为 ．
解答题
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
35．（2024·北京西城·二模）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．
(1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列．
（ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值；
（ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．
36．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．
(1)若，，写出Y，并求；
(2)若，，求所有的总和；
(3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
一、单选题
1．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·二模）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·青海·二模）已知表示集合A中整数元素的个数，若集合，集合，以下选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（ ）
A．22B．23C．24D．25
二、多选题
9．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（ ）
A．
B．的元素个数为16
C．
D．的子集个数为64
11．（2024·全国·模拟预测）设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（ ）
A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当
B．数阵中第列的数全是1，当且仅当
C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素
D．数阵中所有的个数字之和不超过
三、填空题
12．（2023·河南驻马店·一模）设全集，集合，则 .
13．（2024·河北沧州·一模）已知全集，集合，集合，则 ．
14．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ．
四、解答题
15．（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，.
(1)写出，并求；
(2)判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若2024是数列中的某一项，求及的值.
参考答案与试题解析
目录：
01 集合的概念
02 元素与集合
03 集合中元素的特性
04 集合的方法、求集合（个数）
05 集合的基本关系
06 Venn图
07 集合的基本运算
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
01 集合的概念
1．下列说法中正确的是（ ）
A．与定点A，B等距离的点不能构成集合
B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5
C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形
D．高中学生中的游泳能手能构成集合
【答案】C
【分析】根据集合元素的特征判断可得；
【解析】解：对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；
对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误；
对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确；
对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；
故选：C
2．下列四个命题中，其中真命题的个数为（ ）
①与0非常接近的全体实数能构成集合；
②表示一个集合；
③空集是任何一个集合的真子集；
④任何一个非空集合至少有两个子集．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据集合定义，空集性质以及非空集合子集个数为即可得结果.
【解析】①与0非常接近的全体实数不确定，所以不能构成集合，错误；
②，正确；
③空集是任何非空集合的真子集，错误；
④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为，正确.
故选：C
3．下列命题中正确的是（ ）
①与表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为或
③方程的所有解的集合可表示为
④集合可以用列举法表示
A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对
【答案】C
【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．
【解析】解：对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确；
对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.
综上可得只有②正确.
故选：C.
4．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据集合的定义，依次分析选项即得.
【解析】对于A，两个集合都为点集，与是不同点，故M、N为不同集合，故A错误；
对于B，M是点集，N是数集，故M、N为不同集合，故B错误；
对于C，M是数集，N是点集，故M、N为不同集合，故C错误；
对于D，，，故M、N为同一集合，故D正确.
故选：D.
5．设，集合，则（ ）
A．1B．－1
C．0D．－2
【答案】C
【分析】根据集合相等即可得出答案.
【解析】因为，，所以.经检验满足题意
故选：C
【点睛】本题主要考查了由集合相等求参数的值，属于基础题.
02 元素与集合
6．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把集合A用列举法表示出来，利用元素和集合是属于或不属于的关系，就能判断选项.
【解析】
故选：B
7．（2024·四川成都·三模）设全集，若集合满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系及补集的定义判断即得.
【解析】全集，由，知，则，A错误，B正确；
不能判断，也不能判断，CD错误.
故选：B
8．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合，，则中元素的最大值为（ ）
A．4B．5C．7D．10
【答案】C
【分析】根据B中元素的特征，只需满足即可得解.
【解析】由题意，
.
故选：C
9．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助元素与集合的关系计算即可得.
【解析】由题意可得，解得.
故选：A.
10．（23-24高三下·重庆大足·阶段练习）已知集合，，若中有且仅有两个元素，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合中元素，代入集合即可.
【解析】因为中有且仅有两个元素，
则，，
所以，解得，且.
故选：D.
11．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据真子集的定义可得集合A中有4个元素，得解.
【解析】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以.
故选：A．
03 集合中元素的特性
12．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.
【解析】依题意，，若，解得（时不满足集合的互异性，舍去），
若，解得（时不满足集合的互异性，舍去），
综上所述，或.
故选：B
13．（2024·陕西榆林·二模）设集合，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】
先求出集合，再求交集即可.
【解析】
依题意可得，
则，则中元素的个数为.
故选：B.
14．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若集合，，则的元素的个数是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】结合解不等式以及对数函数的单调性，求得集合，根据集合的交集运算，即可得答案.
【解析】由题意得，
，
故，即的元素的个数是1个，
故选：A
15．（23-24高三上·北京大兴·期末）设无穷等差数列的公差为，集合.则（ ）
A．不可能有无数个元素
B．当且仅当时，只有1个元素
C．当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为
D．当时，最多有个元素，且这个元素的和为0
【答案】D
【分析】对于，选项，可取特殊数列验证即可；对于可假设成立，结合图象推出与已知矛盾；对于，结合正弦函数的周期，即可判断.
【解析】选项，取，则，由，因为是无穷等差数列，正弦函数是周期为的函数，所以在每个周期上的值不相同，故错误；
选项，取，即，则，只有一个元素，故错误；
选项，假设只有2个元素，，这2个元素的乘积为，如图可知当等于或时，显然不是等差数列，与已知矛盾，故错误；
选项，当时,
，
，
，
，
，
，，所以最多有个元素，
又因为正弦函数的周期为，数列的公差为，
所以把周期平均分成份，所以个元素的和为0，故正确.
故选:.
【点睛】方法点睛：本题考查等差数列与正弦函数性质相结合，采用特例法，数形结合的方法判断.
04 集合的方法、求集合（个数）
16．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【解析】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C
17．（2024·山东聊城·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由交集的定义求解.
【解析】集合，则.
故选：D
18．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0}B．{1}C．{－1，1}D．{0,-1，1}
【答案】D
【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合.
【解析】因为集合的元素之和为1，
所以一元二次方程有等根时，可得，即，
当方程有两不相等实根时，，即，
综上，实数a 所有取值的集合为.
故选：D
19．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知集合，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合的定义可得集合.
【解析】因为集合，，则.
故选：A.
20．（2023·新疆·一模）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．3B．2C．4D．5
【答案】A
【分析】将的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合，即可得集合的元素个数.
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故，共三个元素.
故选：A.
05 集合的基本关系
21．（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合空集的定义，即可判断各选项的正误.
【解析】，，，.
故选：D.
22．（2024·全国·模拟预测）设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．8B．7C．32D．31
【答案】B
【分析】根据不等式的解法，求得集合，结合集合真子集的求法，即可求解.
【解析】由不等式，解得，
因为，所以，
所以集合M的真子集个数为.
故选：B．
23．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）给出下列关系：①高三（22）班的所有高个子同学可以构成一个集合；②；③，其中正确的个数为（ ）
A．3B．2C．0D．1
【答案】D
【分析】利用集合的意义判断①；元素与集合、集合与集合的关系判断②③.
【解析】对于①，高个子同学的身高没有界定，即研究的对象不确定，①错误；
对于②，，②正确；
对于③，集合的元素是有序数对，而的元素是两个单实数，③错误，
所以正确命题的个数为1.
故选：D
24．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】根据题意，结合正弦函数的性质，分别依次代入，确定的取值，结合交集的运算和子集的个数的计算方法，即可求解.
【解析】根据题意，将依次代入，
可得，
所以只有时，满足不等式，
所以，则集合的子集个数为.
故选：B.
25．（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.
【解析】集合，，又，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
26．（2024·全国·模拟预测）已知集合，．若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性求集合A，由题意可知，即可得结果.
【解析】由题意可得，
因为，则，所以．
故选：D．
06 Venn图
27．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据Venn图可知图中阴影部分表示的集合为，结合交集与补集运算的概念与运算即可求解.
【解析】由题意，图中阴影部分表示的集合为，
因为，所以，
又，所以题图中阴影部分表示的集合为.
故选：B．
28．（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解.
【解析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，
因为，，，
所以，则.
故选：A．
29．（2024·江苏·一模）已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可.
【解析】
观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为.
故选：A
30．（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
直接根据阴影部分的位置得答案.
【解析】图中阴影部分不在集合中，在集合中，
故阴影部分所表示的集合是.
故选：C.
二、填空题
31．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则 .
【答案】
【分析】根据题意解一元二次不等式可求得集合，再利用交集运算可得答案.
【解析】由题知，
或，
于是.
故答案为：
32．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则 ．
【答案】
【分析】根据根号下大于等于0得到集合，再根据指数函数值域得到集合，再结合集合交并补运算即可.
【解析】由题意可得或，
，所以，所以．
故答案为：.
33．（2024·江苏南通·模拟预测）已知集合，，则 .
【答案】
【分析】求出集合中元素范围，然后求交集即可.
【解析】，
，
则.
故答案为：
34．（2024·全国·模拟预测）设集合，若，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，分别求得和，再结合，列出方程，即可求解.
【解析】由不等式，解得，所以，
又由，可得，所以，所以，
因为，所以，解得．
故答案为：.
解答题
08 高考压轴新考法——新定义集合综合
35．（2024·北京西城·二模）已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．
(1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列．
（ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值；
（ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．
【答案】(1)的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数；理由见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）根据定义得出时，共有个子列，结合性质的内容即可判断；
（2）（ⅰ）根据是的项子列，也是的项子列，可得，又有个项子列，即可求出结果；
（ⅱ）设的首项为，末项为，记，则可得对任意，都有，故共有种不同的情况，又，所以分为奇数或者偶数两种情况进行分析即可.
【解析】（1）当时，共有个子列，
其中具有性质的子列有个，
故不具有性质的子列有个，
所以的具有性质的子列个数大于不具有性质的子列个数．
（2）（ⅰ）若是的项子列，
则也是的项子列．
所以．
因为给定正整数，有个项子列，
所以所有的算术平均值为．
（ⅱ）设的首项为，末项为，记．
若存在，使，则与没有公共项，与已知矛盾．
所以，对任意，都有．
因为对于，，，
所以共有种不同的情况．
因为互不相同，
所以对于不同的子列，与中至多一个等式成立．
所以．
当是奇数时，取，，
共有个满足条件的子列．
当是偶数时，取，，
共有个满足条件的子列．
综上，为奇数时，的最大值为；为偶数时，的最大值为．
【点睛】方法点睛：（1）阅读理解能力考查；（2）分类讨论思想；（3）数列和集合概念的理解.
36．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记．
(1)若，，写出Y，并求；
(2)若，，求所有的总和；
(3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解.
【解析】（1）由题意知，，
所以．
（2）对1，，5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为，此时在映射f下，；
不含1的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为，此时在映射f下，；
不含5的B的个数为，此时在映射f下，；
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含的B的个数为，此时在映射f下，，；
不含的B的个数为，此时在映射f下，，；
所以所有y中的总个数和的总个数均为20．
综上，所有的总和为．
（3）对于给定的，考虑在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个，
所以在映射f下变为；
不含的子集B共个，在映射f下变为；
所以在映射f下得到的所有的和为．
同理，在映射f下得到的所有（）的和．
所以所有的总和为．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点.
一、单选题
1．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
3．（2024·全国·二模）已知集合，集合，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
7．（2024·青海·二模）已知表示集合A中整数元素的个数，若集合，集合，以下选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
8．（2023·全国·模拟预测）已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（ ）
A．22B．23C．24D．25
【答案】C
二、多选题
9．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
10．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（ ）
A．
B．的元素个数为16
C．
D．的子集个数为64
【答案】BCD
11．（2024·全国·模拟预测）设，，，为集合的个不同子集，为了表示这些子集，作行列的数阵，规定第行第列的数为．则下列说法中正确的是（ ）
A．数阵中第一列的数全是0，当且仅当
B．数阵中第列的数全是1，当且仅当
C．数阵中第行的数字和表明集合含有几个元素
D．数阵中所有的个数字之和不超过
【答案】ABD
三、填空题
12．（2023·河南驻马店·一模）设全集，集合，则 .
【答案】
13．（2024·河北沧州·一模）已知全集，集合，集合，则 ．
【答案】
14．（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ．
【答案】
四、解答题
15．（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，.
(1)写出，并求；
(2)判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
(3)若2024是数列中的某一项，求及的值.
【答案】(1)，；
(2)88是数列的第30项；
(3)，，
【分析】当时，此时，由集合新定义中的规则代入计算即可；
根据集合新定义，由，再列举出比它小的项即可；
方法一：由可得，再列举出比它小的项分别有以下7种情况，再求和；方法二：由可得，求得集合中的元素个数和最大的一个，可得，再求和可得.
【解析】（1）因为，此时，
，
.
（2）当时，，
是数列中的项，
比它小的项分别有个，
有个，
有个，
所以比88小的项共有个，故88是数列的第30项.
（3）是数列中的项，故，
则当时，，
方法一：比它小的项分别有以下7种情况：
①个数字任取7个得个，
②，得个，
③，得个，
④，得个，
⑤，得个，
⑥，得个，
⑦，得个，
所以比2024小的项共有个，
其中
故2024是数列的第329项，即.
方法二：共有元素个，
最大的是，其次为，
所以2024是数列的第项，即.
在总共项中，含有的项共有个，同理都各有个，所以，则.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于解读集合的定义计算，并联想到和辅助思考.