2025高考数学二轮专题复习-概率-专项训练（含答案）

这是一份2025高考数学二轮专题复习-概率-专项训练（含答案），共10页。试卷主要包含了在区间等内容，欢迎下载使用。
1．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立
2．某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（ ）
A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等
3．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
4．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
5．在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．3位男同学与3位女同学随机排成一行，其中两端都不是女同学的概率为（ ）
A．B．C．D．
二．多选题（共1小题）
（多选）7．有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
三．填空题（共3小题）
8．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ．
9．已知花博会有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ．
10．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m﹣n＝ ，E（ξ）＝ ．
四．解答题（共5小题）
11．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
12．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）．
（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；
（Ⅱ）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E（X）≤1时，p＝1，当E（X）＞1时，p＜1；
（Ⅲ）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
13．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2＝．
14．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
15．在核酸检测中，“k合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测，如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束；如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束．
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确．
（Ⅰ）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测．
（ⅰ）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：
（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为．设X是检测的总次数，求X的分布列与数学期望E（X）．
（Ⅱ）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测．设Y是检测的总次数，试判断数学期望E（Y）与（Ⅰ）中E（X）的大小．（结论不要求证明）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），
两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），
P（甲）＝，P（乙）＝，P（丙）＝＝，P（丁）＝＝，
A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），
B：P（甲丁）＝＝P（甲）P（丁），
C：P（乙丙）＝≠P（乙）P（丙），
D：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（丁），
故选：B．
2．【解答】解：因为某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），
所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差σ2越小，则分布越集中，
对于A，σ越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在（9.9，10.1）内的概率越大，故选项A正确；
对于B，测量结果大于10的概率为0.5，故选项B正确；
对于C，由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故选项C正确；
对于D，由于概率分布是集中在10附近的，（9.9，10.2）分布在10附近的区域大于（10，10.3）分布在10附近的区域，
故测量结果落在（9.9，10.2）内的概率大于落在（10，10.3）内的概率，故选项D错误．
故选：D．
3．【解答】解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故选项A正确；
对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故选项B正确；
对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5万元，故选项C错误；
对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.64＞0.5，
故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．
故选：C．
4．【解答】解：5名志愿者选2个1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，
共有＝240种，
故选：C．
5．【解答】解：由题意可得可行域：，可得三角形的面积＝××＝，
1﹣＝．
故选：B．
6．【解答】解：3位男同学与3位女同学随机排成一行，排法总数N＝，
其中两端都不是女同学的排法种数为，
则其中两端都不是女同学的概率为P＝＝．
故选：C．
二．多选题（共1小题）
7．【解答】解：对于A，两组数据的平均数的差为c，故A错误；
对于B，两组样本数据的样本中位数的差是c，故B错误；
对于C，∵标准差D（yi）＝D（xi+c）＝D（xi），
∴两组样本数据的样本标准差相同，故C正确；
对于D，∵yi＝xi+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，
x的极差为xmax﹣xmin，y的极差为（xmax+c）﹣（xmin+c）＝xmax﹣xmin，
∴两组样本数据的样本极差相同，故D正确．
故选：CD．
三．填空题（共3小题）
8．【解答】解：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，
∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+××（1﹣）＝．
故答案为：；．
9．【解答】解：甲选2个去参观，有＝6种，乙选2个去参观，有＝6种，共有6×6＝36种，
若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有＝4种，
然后从剩余3个馆中选2个进行排列，有＝6种，共有4×6＝24种，
则对应概率P＝＝，
故答案为：．
10．【解答】解：由题意，P（ξ＝2）＝，
又一红一黄的概率为，
所以，
解得m＝3，n＝2，故m﹣n＝1；
由题意，ξ的可能取值为0，1，2，
所以P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝，
所以E（ξ）＝0×+1×+2×＝．
故答案为：1；．
四．解答题（共5小题）
11．【解答】解：（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，
则P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，
P（X＝20）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32
P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，
所以X的分布列为：
（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E（X）＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4，
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，
则Y的所有可能取值为0，80，100，
P（Y＝0）＝1﹣0.6＝0.4，
P（Y＝80）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，
P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，
则Y的期望为E（Y）＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6，
因为E（Y）＞E（X），
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．
12．【解答】（Ⅰ）解：由题意，p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，
故E（X）＝0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1＝1；
（Ⅱ）证明：由题意可知，p0+p1+p2+p3＝1，则E（X）＝p1+2p2+3p3，
所以p0+p1x+p2x2+p3x3＝x，变形为p0﹣（1﹣p1）x+p2x2+p3x3＝0，
所以p0+p2x2+p3x3﹣（p0+p2+p3）x＝0，
即p0（1﹣x）+p2x（x﹣1）+p3x（x﹣1）（x+1）＝0，
即（x﹣1）[p3x2+（p2+p3）x﹣p0]＝0，
令f（x）＝p3x2+（p2+p3）x﹣p0，
若p3≠0时，则f（x）的对称轴为，
注意到f（0）＝﹣p0＜0（若p0＝0，则E（X）≤1不成立，当E（X）＝1，却有p＝1），
f（1）＝2p3+p2﹣p0＝p1+2p2+3p3﹣1＝E（X）﹣1，
若p3＝0时，f（1）＝E（X）﹣1，
当E（X）≤1时，f（1）≤0，f（x）＝0的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p＝1，
当E（X）＞1时，f（1）＝p1+2p2+3p3﹣1＞0，f（x）＝0的正实根x0＜1，原方程的最小正实根p＜1，
（Ⅲ）解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
13．【解答】解：（1）由题意可得，甲机床、乙机床生产总数均为200件，
因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；
因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；
（2）根据2×2列联表，可得K2＝
＝≈10.256＞6.635．
所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
14．【解答】解：（1）由题中的数据可得，（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）＝10，
＝（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）＝10.3，
＝[（9.8﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2
+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.7﹣10）2]＝0.036；
＝[（10.1﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.0﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2
+（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2]＝0.04；
（2），，
因为，
所以﹣＞2，
故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
15．【解答】解：（Ⅰ）（ⅰ）若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次；
又两名患者在同一组，需要再检查10次，
因此一共需要检查20次．
（ⅱ）由题意可得：X＝20，30．
P（X＝20）＝，P（X＝30）＝．
可得分布列：
E（X）＝20×+30×＝．
（Ⅱ）由题意可得：Y＝25，30．
P（Y＝25）＝20×＝，P（Y＝30）＝．
可得分布列：
E（Y）＝25×+30×＝＞＝．
E（X）＜E（Y）．
另解：设“10合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为p1，“5合1”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为p2，则p1＞p2，
此时有E（X）＝20p1+30（1﹣p1）＝30﹣10p1；
而E（Y）＝25p2+30（1﹣p2）＝30﹣5p2＞30﹣5p1＞30﹣10p1＝E（X），
∴E（X）＜E（Y）．
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二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
X
0
20
100
P
0.2
0.32
0.48
X
20
30
P


Y
25
30
P