(通用版)中考数学一轮复习精讲精练第3章第5讲 特殊三角形（2份，原卷版+解析版）

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知识梳理 夯实基础
知识点1：等腰三角形的性质与判定
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
知识点2：等边三角形的性质与判定
1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°，面积（为等边三角形的边长）
3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
知识点3：线段垂直平分线
1.定义
垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
2.性质
线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等
3.判定
到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
知识点4：直角三角形
1.定义
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
2.性质
（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3.判定
（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
知识点5：勾股定理及逆定理
1. 勾股定理：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
直击中考 胜券在握
1．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（ ）
A．40°B．70°C．100°D．40°或100°
2．若等边三角形的一条高为，则其边长为( )
A．2B．1C．3D．4
3．（2021·新疆中考）如图，在Rt中，，，，于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2021·青海省中考）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A．8B．6或8C．7D．7或8
5．（2020·宁波中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．4
6．（2021·嘉兴中考）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A．B．C．D．4
7．（2021·枣庄中考）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（ ）
A．B．3C．3D．3
8．（2021·江苏无锡中考）在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P是三边垂直平分线的交点B．点P是三条内角平分线的交点
C．点P是三条高的交点D．点P是三条中线的交点
9．（2021·临沂中考）如图，点，都在格点上，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·湖北二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的边上的高，则的长为（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·内蒙古模拟）如图，在中，，是的中点，过点作的平行线，交于点E，作的垂线交于点，若，且的面积为1，则的长为（ ）
A．B．5C．D．10
12．（2020·泸州中考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若CD＝3，BD＝5，则BE的长为 ___．
14．（2021·江苏盐城中考）如图，在Rt中，为斜边上的中线，若，则________．
15．（2021·苏州中考）如图．在中，，．若，则______．
16．（2021·湖南娄底中考）如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．
17．（2020·苏州中考）如图，在中，已知，，垂足为，．若是的中点，则_________．
18．如图在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若AC＝，DB＝4，则AD的长为_____．
19．（2021·青海西宁中考）如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是________．
20．（2021·江西中考）如图，在边长为的正六边形中，连接，，其中点，分别为和上的动点，若以，，为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．
21．（2021·四川广安中考）如图，将三角形纸片折叠，使点、都与点重合，折痕分别为、.已知，，，则的长为_______．
22．（2021·四川凉山中考）如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________．
23．（2021·四川达州中考）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．问在直线BC上是否存在点P，使△CDP是以CD为一腰的等腰三角形． ___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，请直接写出相应的∠CPD的度数；如果不存在，请说明理由．___
25．（2021·江西中考）如图，在中，，，平分交于点，于点，求证：．
26．（2021·福建省中考）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上．
（1）求证：；
（2）求证：．
27．（2021·四川模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．
（2）求证：FB＝FE．
28．（2021·湖南长沙中考）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长和面积．
29．（2020·凉山中考）如图，点，分别是等边三角形的边，上的动点（端点除外），点，以相同的速度，同时从点，出发．
（1）如图1，连接，，．求证：≌；
（2）如图1，当点，分别在，边上运动时，设与相交于点，则的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点，分别在，的延长线上运动时，直线与的延长线相交于点，的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
30．（2020·牡丹江中考）在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：

（1）当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点M．）
（2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若，则___________．