(通用版)中考数学一轮复习精讲精练第3章第4讲 相似三角形（2份，原卷版+解析版）

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知识梳理 夯实基础
知识点1：比例线段及比例性质
比例线段
对于四条线段，，，，如果其中两条线段，的比与另两条线段，的比相等，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
比例性质
①比例的基本性质：；
②反比定理：；
③更比定理：(或)；
④合比定理：；
⑤分比定理：；
⑥合分比定理：；
⑦等比定理：．
比例中项
若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项.
黄金分割
把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即，；一条线段的黄金分割点有两个。
知识点2：平行线分线段成比例
知识点3：相似三角形的性质
相似三角形对应角 ，对应边 。
相似三角形对应线段（边，高，中线，角平分线）的比等于 。
相似三角形周长比等于
相似三角形面积比等于
知识点4：相似三角形的判定
1.判定方法
2.判定三角形相似的思路
常见的相似模型
（1）平行线型
（2）斜交型
（3）一线三等角型
知识点5：相似多边形
定义
两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,边对应成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.
性质
(1)相似多边形的对应角相等,对应边成比例;
(2)相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
直击中考 胜券在握
1．（2021·福建）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．
【详解】
∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,
∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,
∴△DEF的面积是．
故选D．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．
2.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】
解：由题意得： 、、、
A选项中的三角形三边长分别为，1，，与△ABC的三边对应边不成比例关系，不符合题意；
B选项中的三角形三边长分别为，1，，∵，∴对应边成比例，符合题意；
C选项中的三角形三边长分别为，3，，与△ABC的三边对应边不成比例关系，不符合题意；
D选项中的三角形三边长分别为，2，，与△ABC的三边对应边不成比例关系，不符合题意；
故选B．
【点晴】
此题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
3．（2020·贵州省铜仁中考）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（ ）
A．3B．2C．4D．5
【答案】A
【分析】
根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
【详解】
解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，
∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，
∵△FHB∽△EAD，
∴，
即＝2，
解得，EA＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质进行解题．
4．（2021·四川省遂宁中考）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（ ）
A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2
【答案】B
【分析】
由三角形的中位线定理可得DE=BC，DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE=BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE=3，
∴S△ABC=12，
∴四边形BDEC的面积=12-3=9(cm2)，
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
5．如图，已知直线a∥b∥c，若AB＝9，BC＝6，DF＝10，则DE的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质可计算出的长．
【详解】
解：，
，即，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，熟悉相关性质是解题的关键．
6．（2021·绍兴中考）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．
【详解】
解：由题可知，，
∴,
∴，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．
7．（2021·巴中中考）如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2
B．ADE与ABC的面积比为1：3
C．ADE与ABC的周长比为1：2
D．DEBC
【答案】D
【分析】
根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【详解】
解：∵，
∴AD：AB=AE：AC=1：3，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=1：3，故A错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC．故D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
8．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值．
【详解】
解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，各种开本的矩形都相似，
∴（）2=2，
∴=．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．
9．（2020·牡丹江市中考）如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F．若，则线段的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】
证明△AFD∽△EBA，得到，求出AF，即可求出AE，从而可得EF.
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴，
∵DF=6，
∴AF=，
∴，
∴AE=5，
∴EF=AF-AE=8-5=3.
故选B.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法.
10．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
由BE、CD是△ABC的中线， 可得 即，从而可判断①；由DE是△ABC的中位线，可得△DOE∽△COB，从而可判断②；由△ADE∽△ABC与△DOE∽△COB，利用相似三角形的性质可判断③；由△ABC的中线BE与CD交于点O．可得点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中上的高＝△BOC中上的高的倍，且△ABC与△BOC同底（BC），可得，由②和③知，，从而可判断④．
【详解】
解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴ 即，
故①正确；
②∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴△DOE∽△COB，
∴，
故②错误；
③∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵△DOE∽△COB，
，
∴，
故③正确；
④∵△ABC的中线BE与CD交于点O，
∴点O是△ABC的重心，
根据重心性质，BO＝2OE，△ABC中上的高＝3△BOC中上的高，
且△ABC与△BOC同底（BC），
∴，
由②和③知，，，
∴，
∴，
∴．
故④正确．
综上，①③④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．
11．（2021·湖南省湘潭市中考）如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
【答案】
【分析】
根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．
【详解】
解：根据题意，添加条件，
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12．（2021·云南中考）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F，若，则的长是______．
【答案】9
【分析】
根据中位线定理得到DE=AB，DE∥AB，从而证明△DEF∽△ABF，得到，求出EF，可得BE．
【详解】
解：∵点D，E分别为BC和AC中点，
∴DE=AB，DE∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴，
∵BF=6，
∴EF=3，
∴BE=6+3=9，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明△DEF∽△ABF．
13．（2021·山东烟台中考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为____________米．
【答案】3
【分析】
由已知可知CD与AB平行，所以可利用解决．
【详解】
解：（米），
∴AB∥DC．
（米）．
故答案为：3
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．
14．（2021·广西百色中考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．
【答案】
【分析】
先根据AB=AC，∠B=72°求出∠A的度数，再根据CD是∠CAB的角平分线得到∠A=∠ACD，即AD=CD，再根据大角对大边得到AD>BD，最后利用黄金分割公式计算求解即可.
【详解】
解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分线
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC与△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D点为AB的黄金分割点
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角对大边）
∴AD>BD
∵D是AB的黄金分割点，AD>BD
∴
∴
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15．如图所示，在平行四边形中，F为中点，延长至E，使，连结交于点G，则等于_________．
【答案】4：9
【分析】
根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案．
【详解】
解：∵DE:AD=1:3，
设DE=x，AD=3x，
在▱ABCD中，
∴AD=BC=3x，
∵点F为BC的中点，
∴CF=，
∵DE∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴，
故答案为：4：9．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．
16．如图，有－块形状为的斜板余料．已知，，，要把它加工成一个形状为的工件，使在上，，两点分别在，上，且，则的面积为______．
【答案】
【分析】
作交BC于H点，交DE于I点，根据可得，根据可知是 中线，得，利用三角形面积，可得，，则根据，计算可得结果．
【详解】
如图示，作交BC于H点，交DE于I点，
∵
∴
∵，，
∴是中线，
∴，
又∵，
即有，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12
【点睛】
本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
17．如图，在中，，高，正方形一边在上，点，分别在，上，交于点，则的长为___．
【答案】20．
【分析】
设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】
解：设正方形的边长，
四边形是正方形，
，，
，
是的高，
，
四边形是矩形，
，
，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，，
，
，
解得：，
．
故答案为20．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
18．（2021·湖北随州中考）如图，在中，，为的中点，平分交于点，，分别与，交于点，，连接，，则的值为______；若，则的值为______．
【答案】
【分析】
（1）根据条件，证明，从而推断，进一步通过角度等量，证明，代入推断即可.
（2）通过，可知 四点共圆，通过角度转化，证明，代入推断即可.
【详解】
解：（1）∵，为的中点
∴
又∵平分
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
在与中
,
∴

（2∵
∴ 四点共圆，如下图：
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】
本题考查三角形的相似，三角形的全等以及圆的相关知识点，根据图形找见相关的等量关系是解题的关键．
19．（2021·玉林中考）如图，在中，在上，，．

（1）求证：∽；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】
（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，然后问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20．如图，在△ADC中，点B是边DC上的一点，∠DAB=∠C，．若△ADC的面积为18cm，求△ABC的面积．

【答案】10
【解析】
试题分析：根据相似三角形的判定定理得到△ADC∽△BAD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到结论．
试题解析：∵∠DAB=∠C，∠D=∠D， ∴△ADC∽△BAD，
∴ ，
∵△ADC的面积为18cm2 ，
∴△BDA的面积为8cm2 ，
∴△ABC的面积=△ADC的面积﹣△BDA的面积=10cm2
21．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）11.
【解析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．
（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．
【解答】（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，
∵，∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴，
又∵，∴，
∴1．
22．如图，在ABC与DEC中，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=6，BC=3，CD=5，CE=2.5，连接AD，BE．
（1）求证：ACD∽BCE；
（2）若∠BCE=45°，求ACD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明；
（2）过点作交于点，由得，是等腰直角三角形，即可求出，由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】
（1），
，
，
，，，，
，
；
（2）
如图，过点作交于点，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
解得：，
．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质与三角形的面积，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
23．（2021·湖北省黄冈中考）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）9．
【分析】
（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）根据相似三角形的性质即可得．
【详解】
证明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
，，
，
解得或（不符题意，舍去），
则的长为9．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
24．（2020·浙江省杭州中考）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①BE＝4；②45
【分析】
（1）由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论；
（2）①由平行线的性质得出＝＝，即可得出结果；
②先求出＝，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴＝，
解得：BE＝4；
②∵＝，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质．
25．（2021·上海中考）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．
（1）当点E在边上时，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）或
【分析】
（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得；
②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值．
（2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可．
②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可．
【详解】
（1）①由，得．
由，得．
因为是斜边上的中线，所以．所以．
所以．
所以．
②若，那么在中，由．可得．
作于H．设，那么．
在中，，所以．
所以．
所以．
（2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，
所以四边形是平行四边形．
又因为，所以四边形是矩形，
设，已知，所以．
已知，所以．
在和中，根据，列方程．
解得，或（ 舍去负值）．
②如图6，当点E在上时，设，已知，所以．
设，已知，那么．
一方面，由，得，所以，所以，
另一方面，由是公共角，得．
所以，所以．
等量代换，得．由，得．
将代入，整理，得．
解得，或（舍去负值）．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．
26．（2021·安徽中考）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：；
（2）如图2，若，，，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）
【分析】
（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得；
（2）证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值．
【详解】
（1）证明：，
；
，
，，
，
，，
，，
，，
四边形AFCD是平行四边形
在与中．
，
（2），
，
在中，，
，
，
又，，
，
在与中．
，
；
；
，
；
，
；
，
，
或（舍）；
（3）延长BM、ED交于点G．
与均为等腰三角形，，
，
，
设，，，
则，，
，
，
；
在与中，
，
；
．
；
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍），，
．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键．
定理或基本事实
1.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。
当，且时，有。
2.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
当时，有，
推论
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所得的对应线段成比例。
当时，有,等。
语言叙述
图示
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
当DE∥BC时, △ADE∽△ABC.
分别相等的两个三角形相似。
两边对应成比例且 相等的两个三角形相似。
三边 的两个三角形相似。
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.