六年级上册数学培优奥数讲义-第12讲 圆的面积

这是一份六年级上册数学培优奥数讲义-第12讲 圆的面积，共8页。
知识装备
1、圆的面积公式：S＝πr2；
扇形的面积公式：S＝πr2。
2、在与圆有关的面积计算中，经常需要添加辅助线，根据圆的特征进行面积转化，使之变成有利于计算的图形，再计算。
初级挑战1
求下面图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）
思维 ：阴影部分面积＝（ ）的面积－（ ）的面积，半圆直径是8厘米，正方形边长是（ ）厘米。
答案：正方形的面积：8×8=64（cm²）
圆的面积：3.14×（8÷2）²=50.24（cm²）
阴影部分的面积：64-50.24=13.76（cm²）
能力探索1
1、求下面图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）
（1） （2）

答案：（1）大半圆的面积：3.14×[（30+50）÷2]²÷2=2512（cm²）
小半圆的面积：3.14×（30÷2）²÷2=353.25（cm²）
中半圆的面积：3.14×（50÷2）²÷2=981.25（cm²）
阴影部分的面积：2512-353.25-981.25=1177.5（cm²）
（2）大半圆的面积：3.14×（8÷2+2）²÷2=56.52（cm²）
小半圆的面积：3.14×（8÷2）²÷2=25.12（cm²）
阴影部分的面积：56.52-25.12=31.4（cm²）
2、下图是半径为24厘米的扇形，求图中阴影部分的面积。
答案：两个相同的图形拼成一个四分之一扇形。
3.14×24²÷4-24×24÷2=616.32（平方厘米）
616.32÷2=308.16（平方厘米）
初级挑战2
如图，等腰直角三角形直角边长为14厘米，两个半圆的直径是三角形的直角边，求图中阴影部分的面积。
如下图，连接两个半圆的交点与等腰直角三角形的顶点。那么，
S甲＝S乙＝S丙＝S丁，把甲移到乙，丙移到丁，阴影部分的面积就等于等腰直角三角形的面积。

答案：阴影部分的面积：14×14÷2= 98（cm²）
能力探索2
求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
（1） （2）

答案：（1）阴影部分的面积：4×4÷2= 8（cm²）
（2）3.14×4²÷4= 12.56（cm²）
4×4÷2÷2= 4（cm²）
12.56-4= 8.56（cm²）
中级挑战1
如下图，阴影部分的周长是14.28分米，阴影部分的面积是多少平方分米？
思维 ：要求阴影部分的面积，需先知道圆的半径。而半径可根据阴影部分的周长求出，但要注意阴影部分的周长不仅包括圆弧长，还有两条半径，所以可用方程求半径。
答案：半径：14.28÷（2×3.14÷4+2）= 4（cm）
阴影部分的面积：3.14×4²÷4= 12.56（cm²）
能力探索3
下图中，已知半圆的周长是10.28厘米，求阴影部分的面积。
答案：半径：10.28÷（3.14+2）= 2（cm）
阴影部分的面积：3.14×2²÷2 -（2+2）×2÷2
= 6.28 - 4
= 2.28（cm²）
中级挑战2
在图中，阴影部分的面积是100平方厘米，求圆环的面积。
：设大圆半径为R，小圆半径为r，那么阴影部分的面积100平方厘米也可以表示为（ ），而圆环的面积为（ ）。虽然无法直接求出半径R、r，但整体代入也可求出圆环的面积。
答案：阴影部分的面积：R×R-r×r=R²-r²= 100（cm²）
圆环的面积：3.14×R² -3.14×r²
= 3.14×(R² - r²)
= 3.14×100
= 314(cm²)
能力探索4
下图阴影部分的面积是100平方厘米，求圆环的面积。
答案：设大正方形的边长（大圆直径）是2Rcm，
小正方形的边长（小圆直径）是2rcm。
阴影部分的面积：2R×2R-2r×2r=4R²- 4r²= 100（cm²）
圆环的面积：3.14×R² - 3.14×r²
= 3.14×(R² - r²)
= 3.14×100÷4
= 78.5(cm²)
聪明泉
还得倒贴钱
老刘成天说要辞职，理由是：每天早上八点上班，晚上十点下班，工作14个小时，做六休一，经常被老板批，一个月还只拿5000元。
他儿子听了默默地说：“我每天早上六点起床，上学到四点，做作业到10点，一天工作16个小时，经常被老师骂，不仅没钱拿，还得倒贴钱……”
拓展挑战
在正方形ABCD中，AC＝8厘米，求阴影部分的面积。
：AC是正方形的对角线，根据对角线可求出正方形的面积是8×8÷2＝32（平方厘米）。设扇形的半径是r厘米，由于扇形的半径与正方形的边长相等，所以有r2＝32平方厘米，所以阴影部分面积为r2－πr2÷4＝（1－）r2＝0.215×32＝6.88（平方厘米）。
能力探索5
如图所示，图形中正方形的面积都是20平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
（1） （2）

答案：（1）圆的面积：3.14×r²=3.14×20÷4=15.7（cm²）
（2）阴影部分的面积：20-3.14×20÷4
= 20-3.14×5
= 20-15.7
= 4.3（cm²）
课堂小测
1、一根绳子长31.4厘米，用它围成的（ ）图形面积最大。
A、长方形 B、正方形 C、圆
2、从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆。圆的面积和正方形铁皮面积的比是（ ）。
A、2∶π B、π∶2 C、4∶π D、π∶4
答案：C D
3、求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米）
（1） （2）

答案：（1）阴影部分的面积：3.14×4²÷4 - 4×4÷2=4.56（cm²）
（2）大半圆面积：3.14×[（24+12）÷2]²÷2=508.68（cm²）
中半圆面积：3.14×（24÷2）²÷2=226.08（cm²）
小半圆面积：3.14×（12÷2）²÷2=56.52（cm²）
阴影部分面积：508.68-226.08+56.52=339.12（cm²）
4、下图中正方形的面积是80平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
答案：阴影部分的面积：80-3.14×80÷4= 80-3.14×20= 17.2（cm²）
5、下图中，∠AOB＝90°，阴影部分的面积是100平方厘米，圆的面积是多少？
答案：阴影部分的面积：r×r÷2= r²÷2=100（cm²）
圆的面积：3.14×r²= 3.14×100×2= 628（cm²）
课后作业
1、将一个圆剪拼成一个近似的长方形（如下图），已知周长增加了10厘米，求圆的面积。
答案：圆的半径：10÷2=5（cm）
圆的面积：3.14×5²= 78.5（cm²）
2、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
（1） （2）

答案：（1）3.14×8²÷4－3.14×（8÷2）²÷2=25.12（cm²）
（2）阴影部分的面积：2×(2+2)= 8（cm²）
3、如下图，阴影部分的周长是20.13厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
答案：3.14×2r÷4×3+2r=20.13；r=3cm
阴影部分面积：3.14×3²÷4×3=21.195（cm²）