浙教版数学七下期末考点复习专题15 因式分解 易错题之解答题（2份，原卷版+解析版）

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1．（2020·利辛县七年级月考）因式分解；
【答案】（a-b）（3x+2y）
【提示】
先把化为： 再利用提公因式的方法分解因式即可．
【详解】
解：

【名师点拨】
本题考查提公因式法分解因式，注意互为相反数的两个因式之间的变形，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2020·陕西西安市·七年级期末）长方形的长为a厘米，宽为b厘米，其中，将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形的面积为；将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形的面积为．
（1）若a，b为正整数，请说明与的差一定是5的倍数；
（2）若，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）50
【提示】
（1）根据题意得到，，将-的结果化为即可得到结论；
（2）根据得到，再根据将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积为，代入求值即可.
【详解】
解：（1），
，
所以，所以与的差一定是5的倍数；
（2）因为，所以，
所以，所以.
因为将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形的面积为（平方厘米）.
【名师点拨】
此题考查了多项式乘法，提公因式法分解因式，列代数式，整式的加减法计算法则，已知式子的值求整式的值，正确理解长方形的长与宽的变化，根据变化的量列整式计算是解题的关键.
3．（2020·咸阳市七年级月考）阅读材料：求的值．
解：设，将等式两边同时乘2，得
2S=将下式减去上式，得
2S-S=，
即S=
请你仿照此法计算下面各题
（1）
（2）（其中n为正整数）
【答案】（1）；（2）．
【提示】
（1）利用例题的方法将原式进行变形进而可以得出答案；
（2）仿照例题的思路进行变形即可．
【详解】
解：（1）设，将等式两边同时乘2，得
将下式减去上式，得
，
即
∴结果为
（2）设，将等式两边同时乘3，得
将下式减去上式，得
，
即，
∴，
∴结果为
【名师点拨】
本题主要考查了有理数的混合运算，提取公因式法分解因式，正确将式子进行变形是解题的关键．
4．（2020·浙江金华市·七年级期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2b﹣ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求a+b的值；
【答案】(1)-84 ;(2) 25; (3)1或-1
【提示】
（1）直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案；
（2）直接利用完全平方公式进而求出答案；
（3）直接利用（2）中所求，结合完全平方公式求出答案．
【详解】
(1)∵a−b=7，ab=−12，
∴a2b﹣ab2=ab(a−b)=−12×7=−84；
(2)∵a−b=7，ab=−12，
∴=49，
∴a2+b2−2ab=49，
∴a2+b2=25；
(3)∵a2+b2=25，
∴=25+2ab=25−24=1，
∴a+b=±1.
【名师点拨】
此题考查因式分解-提公因式法、完全平方公式，解题关键在于掌握因式分解的综合运用.
5．（2021·湖南株洲市·七年级期末）阅读材料：
“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把看成一个整体，．
尝试应用：
（1）把看成一个整体，合并的结果是_________．
（2）已知，求的值．
拓广探索：
（3）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）-2018；（3）6
【提示】
（1）把看做一个整体，合并即可得到结果；
（2）原式前两项提取3变形后，将已知等式代入计算即可求出值；
（3）原式去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：（1）．
（2）∵，
∴
（3）∵，
∴
=a-c+2b-d-2b+c
=a-d
=a-2b+2b-c+c-d
=（a-2b）+（2b-c）+（c-d）
=2-5+9
=6．
【名师点拨】
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2019·浙江杭州市·七年级期末）（1）填空：
① ．
② ．
③ ．
（2）猜想下列各题的结果并验证下列第②个等式：
① ．
② ．
【答案】（1）①6；②18；③54；（2）①；②
【提示】
（1）①对每一项提取公因式3，然后进行计算即可得出答案；
②对每一项提取公因式 ，然后进行计算即可得出答案；
③对每一项提取公因式，然后进行计算即可得出答案；
（2）①对每一项提取公因式，然后进行计算即可得出答案；
②对每一项提取公因式，然后进行计算即可得出答案；
【详解】
（1）①
②
③
（2）猜想下列各题的结果并验证下列第②个等式：
①．
②．
【名师点拨】
本题主要考查提取公因式和规律探索，掌握提取公因式法是解题的关键．
7．（2018·上海市七年级期末）因式分解：
【答案】
【提示】
先分组分解后提取公因式即可.
【详解】
【名师点拨】
本题考查的是分解因式，能正确的进行分组是关键.
8．（2019·张家港市七年级期末）甲同学分解因式 x2＋ax＋m，其结果为(x＋2）(x＋4)，乙同学分解因式x2＋nx＋b，其结果为(x＋1）(x＋9)，在此情形下，请你来分解因式 x2＋ax＋b．
【答案】(x+3)2
【提示】
利用整式的乘法求出a,b的值，再进行因式分解即可.
【详解】
∵(x＋2）(x＋4)= x2＋6x＋8，
∴a=6,
∵(x＋1）(x＋9)= x2＋10x＋9
∴b=9
∴x2＋ax＋b= x2＋6x＋9=(x+3)2.
【名师点拨】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知整式的乘法法则.
9．（2019·张家港市七年级期末）分解因式
(1)－3m3＋12m
(2)2x2y－8xy＋8y
(3)a4＋3a2－4
【答案】(1) -3m（m+2）（m-2），(2)2y(x-2)2，(3)(a2+4) (a+1) (a-1)
【提示】
（1）提取-3m后，再根据平方差公式因式分解；
（2）先提取2y，再根据完全平方公式因式分解；
（3）先利用十字相乘法因式分解，再用公式法因式分解.
【详解】
(1)－3m3＋12m
=-3m（m2-4）
=-3m（m+2）（m-2）
(2)2x2y－8xy＋8y
=2y(x2-4x+4)
=2y(x-2)2
(3)a4＋3a2－4
=(a2-1) (a2+4)
= (a2+4) (a+1) (a-1)
【名师点拨】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.
10．（2019·安徽安庆市·七年级期末）（1）因式分解：
（2）已知≠，且，，则+的值.
【答案】（1）或;（2）
【提示】
利用因式分解和平方差公式。
【详解】
（1）a2（b-2）+（2-b）
解原式= a2（b-2）-（b-2）
=（b-2）（a2-1）
=（b-2）（a-1）（a+1）
（2）x2-x=10① y2-y=10②，用①-②= x2-x- y2+y=0
即（x2-y2）-（x-y）=0 （x-y）（x+y）-（x-y）=0
左边分解因式，得（x-y）（x+y-1）=0
所以（x-y）=0 （x+y-1）=0
因为x≠y，所以x+y=1
【名师点拨】
掌握因式分解定义，把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。掌握平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2
Part2 与 用乘法公式分解因式 有关的易错题
11．（2021·上海宝山区·七年级期末）数学业余小组在活动中发现：
……
（1）请你在答题卡中写出（补上）上述公式中积为的一行；
（2）请仔细领悟上述公式，并将分解因式：
（3）请将分解因式．
【答案】（1）；（2）；（3）
【提示】
（1）将n=5代入公式中即可求出结论；
（2）根据=，然后利用条件中公式因式分解即可；
（3）将多项式乘再除以，然后根据条件中公式将分子变形，再利用平方差公式和条件公式将分子因式分解，最后约分即可．
【详解】
解：（1）将n=5代入中，得
；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=
=
=．
【名师点拨】
此题考查的是因式分解，根据已知条件中公式因式分解是解题关键．
12．（2021·湖南邵阳市·七年级期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式
提示：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【答案】（1）（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy） （2）（x+b）（x﹣2a﹣b）
【详解】
试题提示：这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．
解：（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，
=（x2+2y2）2﹣4x2y2，
=（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，
=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，
=（x﹣a）2﹣（a+b）2，
=（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），
=（x+b）（x﹣2a﹣b）．
考点：因式分解-运用公式法．
点评：本题考查了添项法因式分解，难度比较大．
13．（2020·浙江杭州市·七年级月考）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：_________．
（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）（m+1）（m-5）；（2）a=2，b=-3，最小值为5；（3）a=4，b=3，最小值为20
【提示】
（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，再运用平方差公式进行分解因式；
（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28转化为（a-b-1）2+（b-3）2+18，然后利用非负数的性质进一步得最小值．
【详解】
解：（1）m2-4m-5
=（m2-4m+4）-9
=（m-2）2-32
=（m-2+3）（m-2-3）
=（m+1）（m-5），
故答案为：（m+1）（m-5）；
（2）a2+b2-4a+6b+18
=（a2-4a+4）+（b2+6b+9）+5
=（a-2）2+（b+3）2+5，
∴当a=2，b=-3时，a2+b2-4a+6b+28有最小值为5；
（3）a2-2ab+2b2-2a-4b+30
=a2+（-2ab-2a）+（b2+2b+1）+（b2-6b+9）+20
=a2-2a（b+1）+（b+1）2+（b-3）2+20
=（a-b-1）2+（b-3）2+20，
当a=4，b=3时，原式取最小值20．
∴当a=4，b=3时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28有最小值20．
【名师点拨】
本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
14．（2020·成都市七年级月考）已知．
（1）求a，b的值．
（2）求代数式的值．
【答案】（1）．（2）．
【提示】
（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）先化简，再代入求值．
【详解】
解：（1），
，
∴，
∴．
（2）
∵，
∴
．
【名师点拨】
本题考查了非负数的性质和整式的化简求值以及因式分解，解题关键是熟练运用整式的运算法则进行化简，代入数值后合理计算．
15．（2020·浙江七年级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正五形，五块是长为，宽为的全等小长方形．且．（以上长度单位：）
（1）观察图形，可以发现代数式可以因式分解为________．
（2）若每块小长方块的面积为，四个正方形的面积和为．
①试求图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和；
②求的值．
【答案】（1）（2m+n）（m+2n）；（2）①66cm；②41
【提示】
（1）根据图中的面积关系，两个大正方形、两个小正方形和5个长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此可解；
（2）①根据题意可得mn，2m2+2n2，从而可得从而m2+n2，进而可求得m+n，结合图形可得答案．
②根据m2+n2以及mn的值，结合完全平方公式计算即可．
【详解】
解：（1）观察图形，发现代数式：
2m2+5mn+2n2表示大长方形的面积，
则2m2+5mn+2n2=（2m+n）（m+2n）；
故答案为：（2m+n）（m+2n）；
（2）①若每块小矩形的面积为20cm2，四个正方形的面积和为162cm2，
则mn=20cm2，2m2+2n2=162cm2，
∴m2+n2=81，
∴（m+n）2=81+20×2=121，
∴m+n=11，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n=6（m+n）=66（cm）；
②（m-n）2= m2+n2-2mn=81-2×20=41．
【名师点拨】
本题考查了因式分解在几何图形问题中的应用，数形结合，并熟练掌握相关计算法则，是解题的关键．
16．（2020·浙江杭州市·七年级期末）发现与探索：
（1）根据小明的解答将下列各式因式分解
小明的解答：
①
②
③
（2）根据小丽的思考解决下列问题：
小丽的思考：代数式无论取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4．
①说明：代数式的最小值为．
②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值．
【答案】（1）①（a-10）（a-2）；②（a-8）（a-2）；③（a-5b）（a-b）；（2）①见解析；②28
【提示】
（1）仿照小明的解答过程、利用完全平方公式、平方差公式计算；
（2）仿照小丽的思考过程，利用完全平方公式、平方差公式计算、偶次方的非负性解答．
【详解】
解：（1）①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-42
=（a-10）（a-2）；
②（a-1）2-8（a-1）+7
=（a-1）2-8（a-1）+16-16+7
=（a-5）2-32
=（a-8）（a-2）；
③a2-6ab+5b2
=a2-6ab+9b2-9b2+5b2
=（a-3b）2-4b2
=（a-5b）（a-b）；
（2）①a2-12a+20
=a2-12a+36-36+20
=（a-6）2-16，
无论a取何值（a-6）2都大于等于0，再加上-16，
则代数式（a-6）2-16大于等于-16，
则a2-12a+20的最小值为-16；
②无论a取何值-（a+1）2都小于等于0，再加上8，
则代数式-（a+1）2+8小于等于8，
则-（a+1）2+8的最大值为8，
-a2+12a-8．
=-（a2-12a+8）
=-（a2-12a+36-36+8）
=-（a-6）2+36-8
=-（a-6）2+28
无论a取何值-（a-6）2都小于等于0，再加上28，
则代数式-（a-6）2+28小于等于28，
则-a2+12a-8的最大值为28．
【名师点拨】
本题考查的是因式分解的应用、偶次方的非负性，掌握完全平方公式、平方差公式、偶次方的非负性是解题的关键．
17．（2020·贵州铜仁市·七年级期末）在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如，当时，，，，则密码018162或180162等．对于多项式，取，用上述方法产生密码是什么？
【答案】101030或103010或301010．
【提示】
根据密码产生原则：先对多项式进行因式分解，后代入求值，最后适当排序组合生成密码．
【详解】
解：
∵，
∴，
∴密码为101030或103010或301010．
【名师点拨】
本题考查了多项式的因式分解，熟练运用提取公因式法，公式法分解因式是解题的关键．
18．（2020·浙江杭州市·七年级期末）下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
= y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2－4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C；（2）不彻底，（x-2)4 ；（3） (x-1)4
【提示】
（1）观察多项式结构发现利用了完全平方公式；
（2）观察发现分解不彻底，最后一步括号里还能利用完全平方公式分解；
（3）类比例题中的方法将原式分解即可．
【详解】
解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式，
故选：C；
（2）∵x2－4x+4=（x-2)2 ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4 ，
故答案为：不彻底，（x-2)4 ；
（3）设x2－2x=y，则:
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=( x2－2x+1)2
=(x﹣1)4．
【名师点拨】
本题考查利用换元法和公式法进行因式分解，熟记完全平方公式，熟练掌握因式分解的各种方法是解答的关键．
19．（2020·河北邯郸市·七年级期末）请利用因式分解说明能被100整除．
【答案】见解析
【提示】
提公因式法进行计算提示．
【详解】
解：
其中有一个因数为100，
所以能被100整除．
【名师点拨】
本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法是关键．
20．（2020·张家界市七年级期末）先阅读材料：
分解因式：．
解：令，
则
所以．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式：_______；
（2）分解因式：；
【答案】（1）；（2）．
【提示】
（1）仿照题目中给出的例子，令，采用整体思想分解因式即可；
（2）仿照题目中给出的例子，令，采用整体思想分解因式即可．
【详解】
（1）令，
∴

；
（2）令，
∴

．
【名师点拨】
本题主要考查因式分解，掌握整体的思想及完全平方公式是解题的关键．