山东省八校2025届高三上学期第四次联合测评数学试卷

这是一份山东省八校2025届高三上学期第四次联合测评数学试卷，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知平面向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
4．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ）
A．1440种B．1360种
C．1282种D．1128种
6．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展式中的系数为m的选项是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有两个零点
B．当时，
C．的解集是
D．都有
二、多选题
9．函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增
D．函数在区间上的值域为
10．如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）

A．B．平面
C．平面D．三棱锥与三棱锥公共部分的体积为
11．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（ ）
A．始终垂直于轴B．
C．D．
三、填空题
12．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则 .
13．《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则 .
14．设函数，．若函数有两个零点，，则满足条件的最小正整数a的值为 ．
四、解答题
15．已知数列的首项为，且满足
(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
(3)若数列的通项公式为，且对任意的，恒成立，求实数的最小值.
16．在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)判断的形状；
(2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，.
①当时，求线段长的最小值；
②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
参考公式：，.
17．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
18．已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形．
(1)求椭圆方程；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为．
①求的值；
②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值．
19．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)证明时，；
(3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求出的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】根据复数的乘法运算求得正确答案.
【详解】.
故选：B
2．B
【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
3．A
【分析】根据投影向量的定义求解判断．
【详解】由已知，
在方向上的投影向量为，
故选：A．
4．A
【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据对称得求解.
【详解】由题意可得，
由于的图象关于点对称，故，
故,解得，
取，为最小值，
故选：A
5．D
【分析】运用捆绑法，结合分类讨论和排列组合知识计算即可.
【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法：
如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种，
如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种，
若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种．
则不同的安排方案共有(种)．
故选：D．
6．B
【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可.
【详解】由知直线l过定点，
由曲线，两边平方得，
则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），
当直线过点时，直线l与曲线有两个不同的交点，
此时，解得，
当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心到直线的距离，解得，
要使直线与曲线恰有两个交点，
则直线夹在两条直线之间，因此，
即实数k的取值范围为.
故选：B.
7．C
【分析】根据选的砝码个数可以分为一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况可求得，再分析求解各个选项中的系数，即可求解.
【详解】一个砝码有9一种情况，方法有种；
两个砝码有，，，几种情况，方法有种；
三个砝码有，，，，，几种情况，方法有种；
四个砝码有，，，几种情况，方法有种；
五个砝码有一种情况，方法有种，
所以总计方法总数种.
对A，系数可为单独组成，其他为常数，则有种，系数为；
由两项与或与或与或与组成，系数为；
由三项、与或、与组成，系数为；
所以选项系数为7，故不符合，所以A错误；
对B，的系数可为10个因式中选个带的，剩下个因式选常数项组成，
所以的系数为，故B错误；
对C，
，
系数为单独组成，其他为常数，则有种，系数为，
由两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为，
系数为与组成，其他为常数，，系数为，
系数为与组成，其他为常数， ，系数为，
系数为与组成，其他为常数， ，系数为，
同理由三项组成，，，，，几种情况，其他项为常数，则系数为，
同理由四项组成，，，几种情况，其他为常数，则系数，
同理由五项组成，其他项为常数，则系数为，
综上系数为，故C正确；
对D，
，
系数直接由一项组成，其他是常数项，可有种情况，系数为4，
由两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为，
系数还有两项与或与或与这几种情况组成，其他为常数；还有三项组成、四项组成、五项组成等等，所以系数大于m，故D错误.
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是先由题意分一个砝码，两个砝码，三个砝码，四个砝码，五个砝码五种情况求出m的值，其次类比求m值的思路结合二项式定理分析各选项中的的系数即可得解.
8．C
【分析】利用函数的奇偶性即可求解时函数的解析式，即可判断；分情况令即可求解函数的零点判断；令求出解集即可判断；分情况对函数求导，判断函数的单调区间即可求得函数的最值，用最大值减最小值即可判断.
【详解】设，则，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以f−x=−fx，，，
所以，即，
所以函数的解析式为，故不正确；
当时，令，解得，
当时，令，解得，
所以函数有三个零点，故不正确；
当时，令，解得，
当时，令，解得，
所以的解集为，故正确；
当时，，
所以当时，f′x0，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
当时，，
所以当时，f′x>0，函数单调递增，
当时，f′x0，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
∴fx的增区间为，减区间为
（2）令，则，
当时，，当x>1时，，
故在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
当x=1时，，
， 即，
原不等式等价于，
即，
为上的减函数，，，
只需证明，即，
令，则，
当时，，当时，，
，
，.
原不等式成立．
（3）由（2）知，即，
故当时，，满足要求，
当时，令，
，，
在内必有零点，设为，则，
，，
，则，与题意不符，
综上，实数的取值范围是.
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
A
D
B
C
C
ABC
ABD
题号
11









答案
ABC