山东省八校2025届高三上学期第四次联合测评数学试卷

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注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】.
故选：B
2．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
3．已知平面向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由已知，
在方向上的投影向量为，
故选：A．
4．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得，
由于的图象关于点对称，故，
故,解得，
取，为最小值，
故选：A
5．2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有（ ）
A．1440种B．1360种
C．1282种D．1128种
【答案】D
【详解】采取对丙和甲进行捆绑的方法：
如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：种，
如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：种，
若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：种．
则不同的安排方案共有(种)．
故选：D．
6．若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由知直线l过定点，
由曲线，两边平方得，
则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），
当直线过点时，直线l与曲线有两个不同的交点，
此时，解得，
当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心到直线的距离，解得，
要使直线与曲线恰有两个交点，
则直线夹在两条直线之间，因此，
即实数k的取值范围为.
故选：B.
7．从重量分别为1，2，3，4，…，10克的砝码（每种砝码各2个）中选出若干个，使其重量恰为9克的方法总数为m，下列各式的展式中的系数为m的选项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】一个砝码有9一种情况，方法有种；
两个砝码有，，，几种情况，方法有种；
三个砝码有，，，，，几种情况，方法有种；
四个砝码有，，，几种情况，方法有种；
五个砝码有一种情况，方法有种，
所以总计方法总数种.
对A，系数可为单独组成，其他为常数，则有种，系数为；
由两项与或与或与或与组成，系数为；
由三项、与或、与组成，系数为；
所以选项系数为7，故不符合，所以A错误；
对B，的系数可为10个因式中选个带的，剩下个因式选常数项组成，
所以的系数为，故B错误；
对C，
，
系数为单独组成，其他为常数，则有种，系数为，
由两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为，
系数为与组成，其他为常数，，系数为，
系数为与组成，其他为常数， ，系数为，
系数为与组成，其他为常数， ，系数为，
同理由三项组成，，，，，几种情况，其他项为常数，则系数为，
同理由四项组成，，，几种情况，其他为常数，则系数，
同理由五项组成，其他项为常数，则系数为，
综上系数为，故C正确；
对D，
，
系数直接由一项组成，其他是常数项，可有种情况，系数为4，
由两项组成，系数为与组成，其他为常数，，系数为，
系数还有两项与或与或与这几种情况组成，其他为常数；还有三项组成、四项组成、五项组成等等，所以系数大于m，故D错误.
故选：C
8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有两个零点
B．当时，
C．的解集是
D．都有
【答案】C
【详解】设，则，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以f-x=-fx，，，
所以，即，
所以函数的解析式为fx=exx+2,x0，故不正确；
当时，令，解得，
当时，令，解得，
所以函数有三个零点，故不正确；
当时，令，解得，
当时，令，解得，
所以的解集为，故正确；
当时，，
所以当时，f'x0，函数单调递增，
当时，f'x0,b>0的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于点，两点，和的内心分别为，，则（ ）
A．始终垂直于轴B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】由双曲线的离心率为2，得半焦距，
对于A，记的内切圆在边，，上的切点分别为，
则，，
令点，则，解得，而轴，则点的横坐标为，
同理点的横坐标为，因此始终垂直于轴，A正确；
对于B，由分别平分，得，
因此，B正确；
对于CD，设直线的倾斜角为，则，（为坐标原点），
在中，，
双曲线的渐近线为，其倾斜角分别为和
由直线与双曲线的右支交于两点，得直线与双曲线的两条渐近线在轴右侧部分都相交，
因此，即，从而，C正确，D错误.
故选：ABC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则 .
【答案】
【详解】记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件，
则，，，
由，故，
则，则，
故，
而，即，故，
则.
故答案为：
13．《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 已知长度为的线段PQ，取PQ的中点，以为边作等边三角形（如图1），该等边三角形的面积为，再取的中点，以为边作等边三角形（如图2），图2中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则 .
【答案】/
【详解】由题可得，，
从第2个等边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角形面积的，
故每个正三角形的面积可构成一个以为首项，为公比的等比数列，
则.
故答案为：.
14．设函数，．若函数有两个零点，，则满足条件的最小正整数a的值为 ．
【答案】
【详解】，
当时，对恒成立，Fx在单调递增，故不存在两个零点，
当时，若，则，所以函数Fx在上单调递减．
若，则，函数Fx在上单调递增，
要使函数有两个零点，则Fx的最小值，
即．
因为，所以，令，
显然在0,+∞上为增函数，且，，
所以存在，．
当时，；当时，．所以满足条件的最小正整数．
又当时，，所以时，有两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数a的值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题13分）
已知数列的首项为，且满足
(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求.
(3)若数列的通项公式为，且对任意的，恒成立，求实数的最小值.
【答案】(1)证明见详解；
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，故，
所以，即，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
可得，所以.
（2）由（1）可知：，
所以.
（3）因为，，
即，可得，
令，解得，
且，可得，即，
可得，所以实数的最小值.
16.（本小题15分）
在中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)判断的形状；
(2)已知，，，点、是边上的两个动点（、不重合，且点靠近，点靠近）.记，.
①当时，求线段长的最小值；
②是否存在常数和，对于所有满足题意的、，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
参考公式：，.
【答案】(1)直角三角形或等腰三角形
(2)①；②成立，，
【详解】（1）在中，因为，且，
所以，
即，，
所以或者.
当时，所以，为直角三角形；
当时，所以，为等腰三角形.
综上所述，为直角三角形或等腰三角形.
（2）①因为，所以，又，，所以，.
如图，设，，
方法一：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因为，所以，
故当，即时，.
方法二：在中，由正弦定理，得，所以.
在中，由正弦定理，得，
所以
.
因为，所以，
故当，即时，.
方法三：在中，由正弦定理，得，
所以.
在中，由正弦定理，得，
所以.
所以
，
因为，所以，
故当，即时，.
②假设存在常数，，对于所有满足题意的，，
都有成立，
则存在常数，，对于所有满足题意的，，利用参考公式，有
.
由题意，是定值，所以，是定值，
对于所有满足题意的，成立，故有，
因为，从而，
即，，所以.
故，.
17.（本小题15分）
如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在满足题意的点，此时
【详解】（1）由题意知，，建立如图空间直角坐标系，
则，
所以，
得，所以.
（2），
得，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，所以，
所以，
即AB与平面所成角的正弦值为.
（3）假设存在满足题意的点，设（），
由（1）（2）知，
所以，得，解得，
即，所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，又平面的一个法向量为，
故，
整理得，由，得.
即当点为的中点时，平面与平面所成角的余弦值为，
此时，即.
18.（本小题17分）
已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形．
(1)求椭圆方程；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为．
①求的值；
②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值．
【答案】(1)
(2)①；② 或1
【详解】（1）由题意，从而，，
所以椭圆方程为.
（2）
①由消得（*），
由，得，
此时方程（*）可化为：，
解得：（由条件可知：k，m异号），
设Px0,y0，则，，
即，所以，
因为，所以可设直线，
由消得，
当时，方程有两个不相等的实根，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
因为A，C两点关于原点对称，所以，所以，，
所以．
②设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则，
于是，
由①可知：，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，
则还需，即，
由①可知：，所以．
又Bx2,y2，，
所以，
由可得：，
又，所以，即，
当时，；
当时，．
19.（本小题17分）
已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明时，；
(3)若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)增区间为，减区间为
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1），
当时，；当时，，
的增区间为，减区间为.
（2）令，，
当时，；当时，，
当时，即，
原不等式等价于，
为上的减函数，，
只需证明即，
令，
当时，，当时，，
原不等式成立.
（3）当时，由（2）知又，
，
原不等式在上恒成立.
当时，令.
，
在内必有零点，设为，则，，
，
，而，
综上所述实数的取值范围是.