湖南省长沙市岳麓区长郡双语中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省长沙市岳麓区长郡双语中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式，，，，中，分式有（ ）个
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
，的分母中含有字母是分式．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键，分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
2. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. x≠1B. x＞1C. x≠0D. x＜1
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：∵分式在实数范围内有意义，
∴x-1≠0，
解得，x≠1，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
3. 把分式中的x、y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大为原来的2倍
C. 扩大为原来的4倍D. 缩小为原来的一半
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：原式=，
∴分式的值缩小为原来的一半；
故选择：D.
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
4. 下列计算错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题各项考查分式的加法，分式约分化简，根据分式的性质和加法运算法则求解即可．
【详解】A．，正确，不符合题意；
B．，正确，不符合题意；
C．，错误，符合题意；
D．正确，不符合题意．
故选：C．
5. 若分式值为正，则的取值范围是( )
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向．
根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
∵分式的值为正，
∴，
∴，
∴且．
故选：D．
6. 下列分式中，属于最简分式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是最简分式的定义：分子分母没有公因式，正确的掌握最简分式的定义是解题的关键．
根据最简分式的定义即可判断．
详解】解：，故A选项错误；
，故B选项错误；
无法化简，是最简分式，故C选项正确；
，故D选项错误．
故选：C．
7. 解关于的方程（其中为常数）产生增根，则常数的值等于（ ）
A. -2B. 2C. -1D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-5=0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：x-6+x-5=m，
由分式方程有增根，得到x-5=0，即x=5，
把x=5代入整式方程得：m=-1，
故选C．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的求值，先根据已知条件得到，再把代入所求式子中进行约分即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A．
9. 2020年、2021年、2022年某地的森林面积（单位：）分别是a，b，c，2022年与2021年相比，森林面积增长率提高了（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可．
【详解】解：2021年的增长率是：，
2022年的增长率是：，
则2022年与2021年相比，森林面积的增长率提高了：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了列代数式，分式加减运算，正确表示出增长率和掌握分式加减运算法则是解题关键．
10. 若整数使得关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负数，则所有符合条件的整数的和为（ ）
A. 0B. －3C. －5D. －8
【答案】D
【解析】
【分析】先解不等式组中的两个不等式，由不等式组的解集可得 再解分式方程，由分式方程的解为负数可得：＜ 且 结合为整数，从而可得答案．
【详解】解：
由①得：＞，
＜
由②得：

又由不等式组的解集为，





方程的解为负数，
＜
＜
由



综上：＜且
由为整数，
或或或或或，
则所有符合条件的整数的和为：
故选：
【点睛】本题考查的是由一元一次不等式组的解集求解参数的取值范围，分式方程的负数解问题，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 年月日，华为上市，搭载芯片为国产麒麟，其厚度为，用科学记数法表示______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】用科学记数法表示为．
故答案为：．
12. 请写出一个只含有字母的分式，且当时，此分式的值为，这个分式可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，写出一个当时分子为0，分母不为0且只含有字母x的分式即可．
【详解】解：由题意得，满足题意的分式可以为，
故答案为；（答案不唯一）．
13. 分式方程无解，则的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程无解求参数的值，解题的关键是掌握解分式方程的方法．先把分式方程化为整式方程，求出方程的解，再由分式方程无解分两种情况讨论，即可得到m的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵关于的分式方无解，
∴当时，；
当时，时，
∴，
解得，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
14. 甲、乙两个港口之间的海上行程为s km，一艘轮船以a km/h的航速从甲港顺水航行到达乙港.已知水流速度xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为____________h.
【答案】．
【解析】
【分析】用航行的路程除以逆水航行的速度即可得到时间．
【详解】∵甲港顺水以akm/h的航速航行到乙港，已知水流的速度为xkm/h，
∴逆水航行的速度为（a﹣2x）km/h，
∴返回时的时间为：h．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式的知识，熟练掌握顺水速度、逆水速度、静水速度、水流速度之间的关系是解题的关键．
15. 若，，为常数，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值．
【详解】
，
∵，
∴，
∴，，
解得，，
∴．
故答案为：1．
16. 已知：，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的求值，完全平方公式的应用．解题的关键是将变形为．
首先将变形为，得到，进行求解即可．
【详解】∵
∴
∴
∴，
即：，
∴．
故答案：14．
三、计算题：本大题共1小题，共6分.
17. 先化简，然后从－2，－1， 0， 1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
【答案】，－．
【解析】
【分析】首先对括号内的分式的分母分解因式,把除法转化为乘法,然后进行分式的加法计算即可化简,然后代入使原式有意义的x的值计算即可
【详解】原式=
＝
＝
＝
只能选x＝1，当x＝1时，
原式＝．
【点睛】此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
四、解答题：本题共7小题，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18. 化简：
（1）；
（2）结果中不出现负整数指数幂；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查代数式的计算．
（1）根据分式的乘除法进行计算即可；
（2）负整数指数幂的运算；
（3）异分母分式的加法，先进行通分，再按照同分母分式的加法进行计算；
（4）分式的加减乘除混合运算，要先算括号，再按照运算顺序计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
；
【小问3详解】
原式
；
【小问4详解】
原式
．
19. 解方程：（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2） 无解．
【解析】
【分析】（1）原方程两边同乘x-3后变为一元一次方程，解一元一次方程并检验后可得解；
（2）原方程两边同乘（x+1）（x-1）后变为整式方程，解整式方程并检验后可得解．
【详解】解：（1）原方程两边同乘x-3得：
1-2（x-3）=-3x,
解之得：x=-7，
∵x=-7时，x-3=-10≠0,
∴x=-7是原方程的解；
（2）原方程两边同乘（x+1）（x-1）得：
，
解之得：x=1，
∵x=1时，（x+1）（x-1）=0,
∴x=1是原方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题考查分式方程的求解，熟练掌握分式方程的求解方法并注意一定要检验是解题关键．
20. 计算．
【答案】5
【解析】
【分析】首先计算有理数的乘方，立方根，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减，即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了有理数的乘方，立方根，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
21. 用电脑程序控制小型赛车进行比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差．已知“畅想号”的平均速度为．求“和谐号”的平均速度．
【答案】“和谐号”的平均速度
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键．设“和谐号”的平均速度为，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设“和谐号”平均速度为，
由题意得，，
解得：，
经检验是原方程的解．
答：“和谐号”的平均速度．
22. 春节前夕，某超市用元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用元购进第二批这种箱装饮料.已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多元，且数量是第一批箱数的倍.
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？
【答案】（1）第一批箱装饮料每箱的进价是200元；（2）至少标价元.
【解析】
【分析】（1）设第一批箱装饮料每箱的进价是x元，根据第二批数量是第一批箱数的倍，列方程求解；
（2）设每箱饮料的标价是y元，根据全部售完后总利润率不低于，列出不等式，求解即可．
【详解】解：（1）设第一批箱装饮料每箱的进价是x元，依题意列方程得
解得：
经检验，是所列方程解，
答：第一批箱装饮料每箱的进价是200元.
（2）设每箱饮料的标价是y元，依题意得
解得：
答：至少标价元.
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
23. 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的倍．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队独做天后，再由甲、乙两工程队合作 天用含的代数式表示可完成此项工程；
（3）如果甲工程队施工每天需付施工费万元，乙工程队施工每天需付施工费万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过万元？
【答案】（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要天，天
（2）
（3）甲工程队至少要单独施工天
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的应用：工程问题，一元一次不等式的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．
（1）设乙单独完成此项工程需要天，则甲单独完成需要天，根据题意列出方程求解即可；
（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；
（3）设甲单独做了天，根据题意列出不等式求解即可．
【小问1详解】
设乙单独完成此项工程需要天，则甲单独完成需要天，
，
解得：，
经检验是原方程的解．
，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要天，天；
【小问2详解】
天；
故答案为：；
【小问3详解】
设甲单独做了天，
，
解得：
答：甲工程队至少要单独施工天．
24. 阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，，，，这样的分式就是假分式；
再如：这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式．
如：；，
再如：．
解决下列问题：
（1）分式是 分式填“真”或“假”；
（2）先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程
（3）将假分式化为带分式，当时，试求的最小值．
【答案】（1）真 （2），的值为或或或；
（3）最小值为
【解析】
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意求解即可．
本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．
【小问1详解】
由题意可得，分式是真分式；
故答案为：真；
【小问2详解】
，
的值为整数，且为整数，
的值为或或或，
的值为或或或；
【小问3详解】
，
当时，这两个式子的和有最小值．最小值为，
则的最小值为．