山东省烟台市蓬莱区（五四制）2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省烟台市蓬莱区（五四制）2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．
1. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
【详解】解：、，原选项错误，不符合题意；
、，属于因式分解，符合题意；
、，是通过完全平方公式进行运算，不符合题意；
、，原选项错误，不符合题意；
故选：．
2. 计算下列四个算式：①；②；③；④，其结果是分式的是（ ）．
A. ①③B. ①④C. ②④D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的定义，分式的运算，两个整式相除且分母含有未知数的式子为分式，据此进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：，故①是分式；
，故②不是分式；
，故③不是分式；
，故④是分式；
故选：B
3. 在下列分式中，最简分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简分式，根据分子分母没有公因式的分式是最简分式逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．
【详解】解：、，不最简分式，不合题意；
、，不是最简分式，不合题意；
、，不是最简分式，不合题意；
、，是最简分式，符合题意；
故选：D．
4. 下面是昆明市2024年春节8天的空气质量指数（）：
下列说法正确的是（ ）
A. 这8天的空气质量指数的众数是47
B. 这8天的空气质量指数的中位数是49.5
C. 这8天的空气质量指数的平均数是50
D. 这8天的空气质量指数的极差是22
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、极差，掌握定义及其计算公式是解题的关键．根据平均数、中位数、众数、极差的意义分别求出数据的平均数，中位数，众数，极差，再比较即可．
【详解】解：A.这8天的空气质量指数中47出现了3次，次数最多，所以众数为47，
故选项A正确；
B. 从小到大排列这8天的空气质量指数，第4、第5个数据分别是47，47，所以中位数是，
故选项B错误；
C. 这8天的空气质量指数的平均数为：，
故选项C错误；
D. 这8天空气质量指数的极差是，
故选项D错误；
故选：A
5. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列五个字：莱、我、爱、游、蓬．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A. 爱蓬莱B. 我爱游C. 爱我蓬莱D. 我游蓬莱
【答案】C
【解析】
【详解】本题考查了因式分解的应用，综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，即可求解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
解：由，
∵，，，，，分别对应下列五个字：莱、我、爱、游、蓬，
∴呈现的密码信息可能是“爱我蓬莱”，
故选：．
6. 下列约分正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
利用分式的约分定义判断即可．
【详解】解：A、，A选项不符合题意；
B、，B选项符合题意；
C、为最简分式，C选项不符合题意；
D、为最简分式，D选项不符合题意．
故选：B．
7. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值．
【详解】解：，
去分母得到，
∵关于x的分式方程有增根，
∴是方程 的根，
当时，解得：
当时，解得：
故选：A．
8. 已知a，b，c分别是的三边长，若，则是（ ）．
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，根据，可推出，由三角形三边的关系可得，则，即，则是等腰三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c分别是的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故选：A．
9. 已知非零有理数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的约分，先根据求出x、y的关系，然后代入约分即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
10. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍．根据题意列方程为，其中x表示（ ）
A. 快马的速度B. 慢马的速度C. 规定的时间D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，根据各数量之间的关系及所列的方程，找出的含义是解题的关键．由快、慢马速度间的关系，结合所列的方程，可得出表示慢马的速度，表示快马的速度，结合快、慢马所需时间与规定时间之间的关系，可得出表示规定的时间．
【详解】解：快马的速度是慢马的2倍，所列方程为，
表示慢马速度，表示快马的速度；
把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，
表示规定的时间．
故选：C
二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 若分式 有意义，则x应满足的条件为_______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴，
∴，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
12. 知，则代数式的值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，代数式求值，先用含b的式子表示出，进而表示出，再把所求式子中的用含b的式子替换求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 一组数据1，3，5，x的平均数与中位数相同，则x的值是_____________．
【答案】或3或7
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数和平均数，先根据平均数的定义求出平均数，再分当时，当时，当时，三种情况分别求出对应的中位数，再根据平均数和中位数相同建立方程求解即可．
【详解】解：由题意得，这组数据的平均数为，
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
当时，这组数据的中位数为，
∴，
解得；
综上所述，x的值是或3或7．
故答案：或3或7．
14. 若a，b互为倒数，且，则分式 的值为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，根据倒数的定义得到，再根据分式的减法计算法则把所求式子先化简，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵a，b互为倒数，
∴，
∴
，
故答案为：．
15. 已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的条件是分母为，据此可求出的值；根据当时，分式的值为，可求出的值，进而得到关于的方程，解方程求出的值，再求出的值即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵当时分式无意义，
∴，
∴；
∵当时，分式的值为，
∴，
∴；
∴分式为，
∴根据表格可知：，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
故答案为：．
16. 若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
【答案】1或
【解析】
【详解】解：去分母得：x-3a=2a（x-3），
整理得：（1-2a）x=-3a，
当1-2a=0时，方程无解，故a=；
当1-2a≠0时，x==3时，分式方程无解，
则a=1，
∴关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．
故答案为：1或．
三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程）
17. 把下列各式分解因式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可；
（3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
18. 《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式
解：添加两项
原式


请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可；
（2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的加减计算：
（1）先通分，再计算加减法即可；
（2）先把小括号内的式子通分化简，再把另一个分式约分化简，最后计算加法即可．
【小问1详解】
解：原式
；
小问2详解】
解：原式
．
20. 先化简后求值： 其中满a足
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把除法变成乘法，再约分化简，然后求出的值，最后利用整体代入法求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
21. 已知的值为正整数，求整数x的值．
【答案】，或5
【解析】
【分析】此题考查了异分母分式加减法，根据分式的值求参数，先计算异分母分式加减法，根据式子的值为正整数得或2，由此求出x的值．
【详解】解：
∵的值为正整数，
∴或2，
∴或5．
22. 为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分，竞赛成绩如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：表中的________，________，________；
（2）该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？
（3）求九年级被抽取的50名同学竞赛成绩的方差m，并比较八、九年级那个年级成绩更稳定？
【答案】（1）8；8；8
（2）228人 （3）九年级成绩更稳定
【解析】
【分析】（1）根据众数，中位数和平均数的意义求解即可；
（2）用1900乘以满分人数所占的百分比，即可；
（3）先求出方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵九年级得8分的人数14人，人数最多，
∴；
把八年级竞赛成绩按照从低到高的顺序排列处在第25名和第26名的成绩分别为8分，8分，
∴；
八年级平均成绩,
故答案为：8；8；8。
【小问2详解】
解：人，
∴估计满分有228人；
【小问3详解】
解：，
∵，
∴九年级成绩更稳定。
【点睛】本题主要考查了折线统计图，中位数、众数、方差，用样本估计总体，熟练掌握中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
23. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．
（1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；
（2）根据去分母、去括号、移项合并同类项求解即可．
【小问1详解】
两边同乘得：



，
经检验：把代入，
∴是原方程的解．
【小问2详解】
，
两边同乘以去分母，得，
即，
整理得：
解得，
经检验，是分式方程的解，
故分式方程的解为；
24. 中国是世界文明古国之一．数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求《孙子算经》、《周髀算经》两种图书的单价分别为多少元？
（2）国际数学节是为了纪念中国古代数学家祖冲之而设立的节日．为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
【答案】（1）《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元
（2）当购买53本《孙子算经》27本《周髀算经》时，总费用最少
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的是实际应用．
（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出《周髀算经》的单价，再将其代入中，即可求出《孙子算经》的单价；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，利用总费用=单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
【小问2详解】
设购买m本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，
根据题意得：，解得：．
设购买这两种图书共花费w元，则，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵，且m为正整数，
∴当时，w取得最小值，此时．
答：当购买53本《孙子算经》27本《周髀算经》时，总费用最少．
25. 发现：（1）；（2）；（3）…
尝试：直接写出第n个式子____________________________；（用含n的代数式表示）
论证：请证明你在“尝试”中猜想的等式成立；
应用：请利用上述规律解方程：
【答案】尝试：；论证：证明见解析；应用：原方程无解
【解析】
【分析】尝试：根据所给式子可发现规律，得出第n个式子；
论证：证明右边等于左边即可；
应用：运用上述规律解方程即可．
【详解】尝试：∵（1）；（2）；（3）…
∴第n个式子为：，
故答案为：；
论证：右边左边，
∴；
应用：解方程：
∴
∴
∴
∴
∴
经检验：当时，或，
所以，原方程无解
【点睛】本题主要考查了数字规律，分式运算以及解分式方程，正确找出规律是解答本题的关键．
日期
2月10日
2月11日
2月12日
2月13日
2月14日
2月15日
2月16日
2月17日
46
47
47
42
57
50
69
47
x的取值
4
a
16
分式的值
无意义
0
0.1
b
众数
中位数
平均数
方差
八年级竞赛成绩
7
b
c
九年级竞赛成绩
a
8
8
m