2025高考数学二轮专题复习-高考中三角函数综合问题的热点题型-专项训练【含解析】

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1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝eq \r(39)，b＝2，A＝120°.
(1)求sin B的值；
(2)求c的值；
(3)求sin(B－C)的值．
2．在①C＝2B；②△ABC的面积为eq \f(\r(7),4)；③sin(B＋C)＝eq \f(\r(3),3)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，b＝2，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．已知△ABC为锐角三角形，且cs A＋sin B＝eq \r(3)(sin A＋cs B)．
(1)若C＝eq \f(π,3)，求A；
(2)已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5(sin A＋sin C)b＝12asin C．
(1)若a＝2b－c，求cs B的值．
(2)是否存在△ABC，满足B为直角？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，请说明理由．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为eq \r(3)，D为BC的中点，且AD＝1.
(1)若∠ADC＝eq \f(π,3)，求tan B；
(2)若b2＋c2＝8，求b，c.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(b－c)(sin B－sin C)＝asin A－bsin C．
(1)求角A的大小；
(2)求sin B＋sin C的取值范围．
3．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知eq \f(ccs B＋bcs C2＋bc,b2＋c2)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若点D在边BC上，AD平分∠BAC，AD＝2，且b＝2c，求a.
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2csin B＝(2a－c)tan C，角C的内角平分线与边AB交于点E.
(1)求角B的大小；
(2)记△BCE，△ACE的面积分别为S1，S2，在①c＝2，b＝eq \r(3)，②S△ABC＝eq \f(3\r(3),4)，b＝eq \r(7)，A>C这两个条件中任选一个作为已知，求eq \f(S1,S2)的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．[解析] (1)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(\r(39),sin 120°)＝eq \f(2,sin B)，
解得sin B＝eq \f(\r(13),13).
(2)解法一(余弦定理)：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A．
即39＝4＋c2－4ccs 120°，
整理得c2＋2c－35＝0，
解得c＝5或c＝－7(舍去)．
所以c＝5.
解法二(射影定理)：第1步：根据同角三角函数的基本关系，求出cs B
因为A＝120°，所以B，C均为锐角，
所以cs B＝eq \r(1－sin2B)＝eq \f(2\r(39),13).
第2步：利用三角形的射影定理求c
由射影定理得，c＝acs B＋bcs A＝eq \r(39)×eq \f(2\r(39),13)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝6－1＝5.
(3)由正弦定理eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B)，可得sin C＝eq \f(5\r(13),26)，
又B，C均为锐角，所以cs C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \f(3\r(39),26)，cs B＝eq \r(1－sin2B)＝eq \f(2\r(39),13)，(若第(2)问采用解法二，则cs B可直接用)
所以sin(B－C)＝sin Bcs C－cs Bsin C＝eq \f(\r(13),13)×eq \f(3\r(39),26)－eq \f(2\r(39),13)×eq \f(5\r(13),26)＝－eq \f(7\r(3),26).
2．[解析] 若选①，则A＝π－3B，且A