热点专题 3.2 切线问题综合【11类题型】（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点专题 3-2 切线问题综合
模块一
总览
热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171594554" 【题型1】求在曲线上一点的切线
\l "_Tc171594555" 【题型2】求过某点的切线
\l "_Tc171594556" 【题型3】已知切线斜率求参数
\l "_Tc171594557" 【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值
\l "_Tc171594558" 【题型5】奇偶函数的切线斜率问题
\l "_Tc171594559" 【题型6】切线斜率取值范围问题
\l "_Tc171594560" 【题型7】公切线问题
\l "_Tc171594561" 【题型8】由切线条数求参数范围
\l "_Tc171594562" 【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题
\l "_Tc171594563" 【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题
\l "_Tc171594564" 【题型11】牛顿迭代法
模块二
核心题型·举一反三
【题型1】求在曲线上一点的切线
函数在点处的切线方程为，抓住关键
（2024年高考全国甲卷数学（文））曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．B．C．D．
（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．1D．2
【巩固练习2】（23-24高三·福建宁德·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
【题型2】求过某点的切线
【方法技巧】
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值．
（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
（2022年新高考全国I卷T15）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【巩固练习1】已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 .
【巩固练习3】(2019·江苏卷)在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
【巩固练习4】（23-24高三·广东·期中）过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【题型3】已知切线斜率求参数
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
（2024·湖北武汉·模拟预测）已知曲线在点处的切线的倾斜角为,则的值为 .
（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【巩固练习1】（23-24高三·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（ ）
A．eB．2C．D．
【巩固练习2】（2024·四川·模拟预测）已知，直线与曲线相切，则 ．
【巩固练习3】（23-24高三·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【巩固练习4】（2024·河北沧州·模拟预测）已知直线是曲线和的公切线，则实数a= ．
【题型4】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
（23-24高三·安徽·阶段练习）已知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．5C．6D．
（23-24高三·广东惠州·阶段练习）已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为 ．
【巩固练习1】（23-24高三·河南南阳·阶段练习）点P是曲线上一个动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】（23-24高三·河北石家庄·阶段练习）曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A．B．C．D．1
【巩固练习3】（23-24高三·河南·阶段练习）最优化原理是要求在目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答:若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为 .
【巩固练习4】（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 .
【题型5】奇偶函数的切线斜率问题
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ．
（2024·福建福州·模拟预测）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
（2024·湖北·一模）已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）
A．B．C．D．2
【巩固练习1】已知是奇函数，当时，，则函数的图象在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】（23-24高三·河南洛阳·期末）已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）
A．2B．C．D．
【巩固练习3】（2024·山东济宁·三模）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习4】（2024·海南海口·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．2D．
【巩固练习5】（23-24高三·广东深圳·期中）已知函数与偶函数在交点处的切线相同，则函数在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【题型6】切线斜率取值范围问题
利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.
一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率
点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
（2021·河南洛阳·二模）已知点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 .
【巩固练习1】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】（22-23高三·江苏镇江·阶段练习）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型7】公切线问题
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
公切线问题主要有以下3类题型
（1）求2个函数的公切线
解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解
（2）2个函数存在公切线，求参数范围
解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题
（3）已知两个函数之间公切线条数，求参数范围
解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题
(浙江绍兴二模T15)与曲线和都相切的直线方程为__________.
（2024·广东茂名·一模）曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线与恰有两条公切线，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】（23-24高三·江西吉安·期末）函数与函数公切线的斜率为（ ）
A．B．C．或D．或
【巩固练习2】已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 .
【巩固练习3】已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为___________.
与坐标轴交点分别为，围成的三角形面积为：.
【巩固练习4】已知函数，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为__________．
【巩固练习5】（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ）
A．0或2B．或2C．或0D．0或1
【巩固练习6】(长沙雅礼中学月考（六）)已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是________
【题型8】由切线条数求参数范围
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．
（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 .
（2024届广东省六校高三第一次联考T8）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是________
【巩固练习1】（23-24高三·湖北武汉·阶段练习）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】(2024届·广州中山大学附属中学校考)过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．3
【巩固练习2】（2024·宁夏银川·二模）已知点不在函数的图象上，且过点仅有一条直线与的图象相切，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】（2024·内蒙古·三模）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习4】已知点在直线上运动，若过点恰有三条不同的直线与曲线相切，则点的轨迹长度为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【巩固练习5】若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习6】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习7】（2024高三·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型9】两条切线平行、垂直、重合问题
利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.
（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
（2024·辽宁·二模）已知函数的图象与函数且的图象在公共点处有相同的切线，则 ，切线方程为 .
【巩固练习1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】（23-24高三·辽宁·阶段练习）已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】（2024·河南·三模）已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为 ．
【巩固练习4】（2024·北京朝阳·一模）已知函数.若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为 .
【题型10】与切线有关的参数范围或最值问题
利用导数的几何意义以及利用导数研究函数单调性，从而求出相关式子的取值范围.
（2024·全国·模拟预测）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．－2C．－1D．0
【巩固练习1】（2024·重庆·模拟预测）已知直线与曲线相切于点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线恒在曲线的上方，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】已知直线与函数的图象相切，则的最小值为 ．
【巩固练习3】对给定的实数，总存在两个实数，使直线与曲线相切，则的取值范围为 .
【题型11】牛顿迭代法
数形结合处理
（23-24高三·河南郑州·期中）“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数，，，…，，其中是在处的切线与x轴交点的横坐标，是在处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当足够小时，就可以把的值作为方程的近似解．若，，则方程的近似解 ．

（2024·山东潍坊·三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根就是函数的零点，取初始值的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为 的图象在点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，它们越来越接近．设函数，，用牛顿迭代法得到，则实数（ ）
A．1B．C．D．
【巩固练习1】牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为，一直继续下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ）

A．1.438B．1.417C．1.416D．1.375
【巩固练习2】（2023·湖北咸宁·模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一Newtn-Raphsn methd译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线：，则与轴交点的横坐标为，称是的一次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点大小，则函数的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后3位，参考数据：）
A．2.207B．2.208C．2.205D．2.204
【巩固练习3】（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，在处作图象的切线，切线与x轴的交点横坐标记作，称是r的一次近似值，然后用替代重复上面的过程可得，称是r的二次近似值；一直继续下去，可得到一系列的数在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点r，若使用牛顿法求方程的近似解，可构造函数，则下列说法正确的是（ ）

A．若初始近似值为1，则一次近似值为3
B．
C．对任意，
D．任意，
近5年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2024年甲卷第6题，5分
考察导数的几何意义，切线的相关计算求值求参
（1）求在某处的切线
（2）设切点求过某点的切线以及公切线
（3）利用切线的条数求参数范围
2024年新高考I卷第13题，5分
2023年甲卷第8题，5分
2022年I卷第15题，5分
2021年甲卷第13题，5分
2021年I卷第7题，5分