江西省南昌市红谷滩实验学校2024-2025学年上学期10月阶段性学习质量检测九年级数学试卷（解析版）-A4

这是一份江西省南昌市红谷滩实验学校2024-2025学年上学期10月阶段性学习质量检测九年级数学试卷（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 一次函数必过以下点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数图像上点坐标特征，熟练掌握一次函数图像上点坐标特征是解题关键．
将点坐标代入函数解析式进行验证即可．
【详解】解：A．当时，则，即经过点，故本项不符合题意；
B．当时，则，即经过点1,0，故本项符合题意；
C．当时，则，即经过点，故本项不符合题意；
D．当时，则，即经过点，故本项不符合题意．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的概念：只有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程，形如的方程是一元二次方程，形逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、 ，不是整式方程，故此选项错误；
B、变形后为，最高次数为1，故此选项错误；
C、，符合一元二次方程的定义，此选项正确；
D、，当时，此方程才是一元二次方程，故此选项错误．
故选：C．
3. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ）
A. B. 2024C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查配方法，一移，二配，三变形，将方程配方后，求出的值，进而求出的值即可．
【详解】解：，
，
∴，
∴，
∴；
故选C．
4. 某商品原价为元，经连续两次降价后售价为元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设平均每次降价的百分率为 x，那么第一次降价后的售价是原来的，那么第二次降价后的售价是原来的，根据题意列出方程即可．
【详解】解：根据题意可得两次降价后售价为，
方程为：，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为：．
5. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣3，0），B（1，0），C（﹣5，y1），D（﹣2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A. y1＞y2B. y1=y2C. y1＜y2D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据A（-3，0）、B（1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C、D两点与对称轴的远近，判断y1与y2的大小关系．
【详解】∵抛物线过A（-3，0）、B（1，0）两点，
∴抛物线的对称轴为x==-1，
∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，
即y1＜y2．
故选C．
【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．
6. 定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论错误的是（ ）
A. 如果，那么这两个方程一定都有两个不相等的实数根
B. 如果是的倒方程的解，则
C. 如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解
D. 如果是一元二次方程的根，则也是倒方程的根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解，根据判别式判断一元二次方程的解是解题的关键．根据一元二次方程的解，根的判别式逐项分析判断即可．
【详解】解：A、对于方程和，
其根的判别式均为，
∵，
∴，
又∵，
∴的取值不确定，故无法确定这两个方程一定都有两个不相等的实数根，选项A不正确，符合题意；
B、是一元二次方程的倒方程，
将代入，解得，故选项B正确，不符合题意；
C、∵一元二次方程无解，
∴，它的倒方程的根的判别式也为，
∴它的倒方程也无解，故选项C正确，不符合题意；
D、若是一元二次方程的根，
则有，
∴，
即也是倒方程的根，
故选项D正确，不符合题意．
故选：A．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
7. 二次函数y=+2的顶点坐标为_________．
【答案】（1，2）.
【解析】
【详解】试题分析：由二次函数的解析式可求得答案．∵y=（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2）.
故答案为（1，2）．
考点：二次函数的性质．
8. 写出一个开口向上，经过点（1，0）的二次函数____．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数开口向上，所写出的二次函数a＞0且函数经过（1，0）即可．
【详解】解：二次函数 开口向上，且经过（1，0）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是利用二次函数图象开口方向和二次函数图象上点的坐标特征．
9. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E边的中点，连接．若，，则长为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出的长，利用斜边上的中线即可得解．
【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，
∴，，
∴，
∴，
∵点E边的中点，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，斜边上的中线．熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，是解题的关键．
10. 一元二次方程的两根为，则的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值是解题的关键．
由题意知，，，则，，然后代入求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：3．
11. 如图，已知一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象经过点，则关于的不等式组的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．利用函数图象，写出在轴上方且函数的函数值小于函数的函数值对应的自变量的范围即可．
【详解】解：当时，；
当时，，
所以不等式组的解集为．
故答案为：：．
12. 已知关于的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根．则的值为__________．
【答案】或1或
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义、因式分解法解方程等知识，求出方程的两个解是解题的关键．先利用因式分解法解方程，得到，，再分别将，代入，求出的值即可．
【详解】解：将整理可得 ，
分解因式，得，
解得，，
当时，，
解得；
当时，，
解得或，
所以的值为或1或．
故答案为：或1或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．

（1）你添加的条件是_________（填序号）；
（2）添加条件后，请证明为矩形．
【答案】（1）答案不唯一，①或②
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；
（2）通过证明可得，然后结合平行线的性质求得，从而得出为矩形．
【小问1详解】
解：①或②
【小问2详解】
添加条件①，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为矩形；
添加条件②，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形
【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题关键．
14. 用你喜欢的方法解下列方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
∴或，
解得，．
【小问2详解】
解：，
，
，
，
∴或，
解得，．
15. 王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
解：移项，得． 第一步
二次项系数化为1，得． 第二步
配方，得． 第三步
因此． 第四步
由此得或． 第五步
解得． 第六步
（1）王明的解题过程从第______步开始出现了错误；
（2）请利用配方法正确地解方程．
【答案】（1）二 （2）
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤；
（2）由配方法解一元二次方程即可得到答案；
【小问1详解】
解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2，
故答案为：二；
【小问2详解】
．
移项，得：，
二次项系数化为1，得：，
配方，得：，
因此，
由此得：或，
解得：．
16. 已知关于一次函数．
（1）若该函数的图象与轴的交点在轴下方，求的取值范围；
（2）若该函数的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围．
【答案】（1）且
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的定义：
（1）对于一次函数y=kx+bk≠0，若其图象与轴的交点在轴下方，那么b小于0，据此列出不等式求解即可；
（2）对于一次函数y=kx+bk≠0，若其函数图象经过第一、二、三象限，那么，据此列出不等式求解即可。
【小问1详解】
解：一次函数图象与轴的交点在轴下方，
解得且，
即的取值范围为且．
【小问2详解】
解：一次函数图象经过第一、二、三象限，
解得，
即的取值范围为．
17. 已知k为实数，关于x的方程为x2﹣2（k+1）x+k2=0．
（1）请判断x=﹣1是否可为此方程的根，说明理由．
（2）设方程的两实根为x1，x2，当2x1+2x2+1=x1x2时，试求k的值．
【答案】（1）x=﹣1不是此方程的根；（2）k=5．
【解析】
【分析】(1) 当x=-1时, 方程左边==≠0, 右边=0≠左边, 得出x=-1不是此方程的根;
(2)由根与系数的关系得:,, 由已知得出方程, 解方程即可.
【详解】解：（1）x=﹣1不是此方程的解；理由如下：
当x=﹣1时，方程左边=1+2（k+1）+k2=（k+1）2+2≠0，右边=0≠左边，
∴x=﹣1不是此方程的根；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2（k+1），x1x2=k2，
∵2x1+2x2+1=x1x2，
∴4（k+1）+1=k2，
解得：k=﹣1（方程无实根，舍去），或k=5，
∴k=5．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系.
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接．
（1）若，求证：四边形是矩形；
（2）在（1）的条件下，当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）的长是
【解析】
【分析】本题考查矩形判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等．
（1）根据题意得，继而得，即可得到本题答案；
（2）利用矩形性质可知，再判定，利用勾股定理即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长是．
19. 古今中外，曾经有许多数学家研究过一元二次方程的几何解法，如数学家欧几里得的著作《几何原本》中给出了形如（）的方程的图解法：如图，以和b为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．请你利用求根公式验证该图的解法．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理，利用求根公式求出方程的解，勾股定理求出的长，进而求出的长，即可得出结论．
【详解】解：解方程
移项得，
，
∴，
在中，，，，
由勾股定理可得，，
∴的长就是所求方程的正根．
20. 已知二次函数．
（1）求二次函数图像的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；
（3）当时，结合函数图像，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围．
【小问1详解】
∵，
∴该二次函数图象顶点坐标为；
【小问2详解】
列表：
描点，连线，如图：
；
【小问3详解】
由图象可知，当时，．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图形上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 随着南昌成为新晋“网红”旅游城市，滕王阁已成为必去的经典景点，其纪念品很受游客喜爱，每个纪念币的进价为10元，某商家经过市场调查发现，每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式及x的取值范围；
（2）若商家每天销售这种纪念币获利192元，则销售单价为多少元？
【答案】（1）
（2）18元或22元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式和解一元二次方程是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）直接利用（1）中所求，表示出总利润，进而解方程，即可得出答案．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为（），由所给函数图象可知：，
解得，
当时，即，
解得，
∴，
故y与x的函数关系式为．
【小问2详解】
解：根据题意得：
，
解得：，
答：销售单价应18元或22元．
22. 【综合与实践】
【实践任务】研究小组利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据．
【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量（克）随时间（分钟）变化的数据（），并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示：
场景A 场景B
（1）任务一：求出函数表达式
经过描点构造函数模型来模拟两种场景下y随x变化的函数关系，发现场景A的图象是抛物线的一部分，场景的图像是直线的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式；
（2）任务二：探究该化学试剂的挥发情况
查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）场景A：，场景B：
（2）场景A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，正确求得函数解析式是解答关键．
（1）利用待定系数法求两个函数解析式即可；
（2）求得时的x值即可求解．
【小问1详解】
解：对于场景A：将、代入中，
得，解得，
∴场景A 对应的函数解析式为；
场景B：将、代入中，
得，解得，
∴场景B对应的函数解析式为；
【小问2详解】
解：场景A：当时，由得，（舍去），
场景B：当时，由得，
∵，
∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
六、（本大题共12分）
23. 如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为．
（1）求点G的坐标，并求直线的解析式；
（2）若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围；
（3）设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）；
（3）存在，点P的坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）由图形折叠的性质可得的长度，从而可求的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入点G的坐标，可得直线解析式；
（2）根据一次函数的性质，可得直线l的解析式为，结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围；
（3）依据等腰三角形的性质，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可．
【小问1详解】
解：由折叠的性质可知，，
由勾股定理得，
∴点G的坐标为，
设直线的解析式为，
将代入，得，
∴直线的解析式为．
【小问2详解】
解：∵直线l：平行于直线，
∴，即直线l的解析式为，
当直线l经过点时，
解得，，
当直线l经过点时，
解得，，
∴直线l与长方形有公共点时．
【小问3详解】
解：存在，点P的坐标为或或或，理由如下：
①当时，
若点P在原点左侧，点P的坐标为，
若点P在原点右侧，点P的坐标为；
②当时，
，
，
点P的坐标为；
③当时，
可得，
在中，，即，
解得，，点P的坐标为，
综上所述，以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标为或或或．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
0
3
…
销售单价x/元
…
12
13
14
…
每天销售数量y/件
…
36
34
32
…