江西省南昌市红谷滩区京师实验学校2023-2024学年八年级下册第一次月考数学试题（含解析）

这是一份江西省南昌市红谷滩区京师实验学校2023-2024学年八年级下册第一次月考数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
1．式子有意义的条件是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．直角三角形的两边长m，n满足，则第三边长是（ ）
A．5B．5或C．4或D．4
4．如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，与的平分线相交于点O，且分别交于点E，F.为的中线.已知，，则的周长为（ ）

A．B．C．D．
6．如图，D为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点G，过D作于E，交的延长线于F，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
7．计算的结果是 .
8．定义新运算“”的运算法则为：，则= ．
9．在平面直角坐标系内有一点，点与点关于原点中心对称，则 ．
10．如图，将沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则 ．
11．如图，在矩形中，，点E是边的中点，点F是线段上任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角，为斜边，连接，则周长最小值为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为 ．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．计算：
(1)；
(2)．
14．先化简，再求值：，其中．
15．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段、的端点在小正方形的顶点上．
(1)在图中画一个以、为腰的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上；
(2)在图中画一个以的边的四边形，四边形的面积为12，且四边形为轴对称图形．
16．为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．求出该空地的面积．
17．如图，四边形中，，，对角线相交于点，若，的周长与的周长相差，求四边形的周长．
三、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，，）

(1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
(2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？
19．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，点为中点，连接、．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的度数．
20．如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．请你阅读下列材料，并完成相应的任务．
我们已经知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，例如：
．
(1)模仿材料中的计算方法，化简______；
(2)求解：；
(3)为正整数，且，求的值．
22．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问：
(1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由．
(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？
六、（本大题共12分）
23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为
（1）在中，若，，求的值．
（2）如图2，在中，，，求，的值．
（3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长．
参考答案与解析
1．D
【分析】此题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零和二次根式有意义被开方数为非负数即可求解，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【解答】∵有意义，
∴，
∴，
故选：．
2．C
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【解答】解：、，故该选项错误，不合题意；
、，故该选项错误，不合题意；
、，故该选项正确，符合题意；
、，故该选项错误，不合题意；
故选：．
3．B
【分析】利用非负数的性质求出m，n，再分两种情况根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
①为斜角边时，则第三边长为：；
②为直角边时，则第三边长为：；
综上所述，第三边长为5或．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理，非负数的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标，注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
【解答】∵四边形是平行四边形，
∴，
∵的顶点的坐标分别是，
∴，
∴顶点D的坐标为．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据，平分，平分，得，根据是的中线，得，根据平分，，得，根据平分，，得，即可求得，即可求的周长．
【解答】解：平行四边形，
，
，
平分，平分，
，
，
是的中线，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
的周长为，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查的重点是直角三角形全等的证明，线段的垂直平分线和角平分线的运用．①在直角三角形中，利用可以证明；②根据，可以得到对应边相等，然后证明；③在直角三角形中，利用勾股定理，推导出；④利用余角和补角之间的关系，可以得出和之间的关系；⑤在直角三角形中斜边大于直角边，可以推导出．
【解答】解：①平分，，，
，
在和中，
，
，
，
又垂直平分交于点，
，
在和中，
，
，故结论①符合题意；
②，
，
，，
，故结论②符合题意；
③垂直平分，
，，
又，，
，故结论③符合题意；
④，
，
，
，故结论④不符合题意；
⑤，
，
，，，
，
，
在直角中，是斜边，是直角边，
，
，故结论⑤符合题意．
故选：D．
7．
【分析】本题主要考查了二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减法则．根据二次根式的加减法则计算即可．
【解答】解：，
原式，
，
故答案为：．
8．6
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】=，
=.
故答案为6.
【点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．6
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得点Q的坐标；然后利用勾股定理求得线段的长度即可．
【解答】解：∵点，点Q与点P关于原点中心对称，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了勾股定理、关于原点对称的点的坐标等知识点，关键掌握点的坐标的变化规律是解答本题的关键．
10．
【分析】根据平行四边形的对边平行可知，利用平行线的性质还可求出；结合折叠的性质求出的度数，再在中利用三角形的内角和定理求出的度数．
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
根据折叠的性质可知，
∵，
∴．
∵在中，，，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查的是平行四边形的性质和折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键．
11．
【分析】过点G作于点H，根据矩形的性质得出，再由全等三角形的判定和性质确定，过点G作直线，根据题意得出点G在直线l上运动，作点D关于直线l的对称点T，连接，根据勾股定理及三角形三边关系求解即可．
【解答】解：如图，过点G作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点G作直线，
∵， ，
∴点G在直线l上运动，
作点D关于直线l的对称点T，连接，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∴周长最小值为，
故答案为：．
【点拨】题目主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
12．或10．
【分析】由矩形的性质得到DC=AB=5，∠A=90°，AD=BC=6，根据已知条件得到AM=BN，推出四边形ABNM的矩形，得到∠NMA=∠NMD=90°，MN=AB=5，根据折叠的性质得到DC′=DC=5，C′E=CE，根据勾股定理得到C′M=，根据矩形的判定和性质得到CN=DM=4，∠CNM=90°，再由勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6，
∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2，
∴AM＝BN，
∵AM∥BN，
∴四边形ABNM的矩形，
∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5，
∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，
∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE，
∵AM＝2，
∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4，
如图1，
在Rt△C′MD中，C′M＝，
∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°，
NE＝CN﹣CE＝4﹣CE，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（4﹣CE）2+22＝CE2，
解得：CE＝．
如图2，
在Rt△C′MD中，C′M＝，
∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8，
∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°，
NE＝CE﹣CN＝CE﹣4，
在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2，
∴（CE﹣4）2+82＝CE2，
解答：CE＝10，
故答案为或10．
【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；
（2）先利用平方差公式进行乘法运算，同时进行除法运算后化简，进而得出答案；
【解答】（1）解：
；
（2）解：
．
14．
【分析】原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入进行二次根式化简．
【解答】解：原式=


当时，原式
15．(1)见解答
(2)见解答
【分析】本题主要考查勾股定理与网格问题、等腰直角三角形、轴对称图形等知识，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质及勾股定理的运用．
（1）根据等腰直角三角形的性质及网格的特点，即可作图；
（2）结合题意，在网格中作出矩形，利用勾股定理计算出矩形的长和宽，即可获得答案．
【解答】（1）解：如下图，即为所求；
（2）如图，四边形即为所求．
∵，，
∴．
16．这块四边形空地的面积是96平方米
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据勾股定理，可以得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到的形状，然后即可得到四边形的面积．
【解答】解：连接，
∵，
∴（米），
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，，
∴四边形ABCD的面积是：（平方米），
即这块四边形空地的面积是96平方米．
17．或
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，先证明四边形为平行四边形，根据周长差求出的长，即可求出四边形的周长
【解答】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵的周长与的周长相差，
∴，或，
∴，或，
∴四边形的周长为或．
18．(1)秒
(2)秒
【分析】（1）根据题意可先求得，根据代入计算即可求解；
（2）先根据高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），求出该玩具最低的下落高度，再由代入求解即可．
【解答】（1）解：∵小明家住20层，每层的高度近似为3m，
∴，
∴，
∴该物品落地的时间为；
（2）该玩具最低的下落高度为，
∴．
∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．
【点拨】本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
19．(1)是等腰直角三角形
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定；
（1）根据矩形的性质以及角平分线的定义，得出，，进而即可判断是等腰直角三角形；
（2）先证明，进而证明得出，，即可得出结论．
【解答】（1）解：是等腰直角三角形；理由如下：
四边形是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，，
，
，
又，
是等腰直角三角形；
（2）四边形是矩形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
又，
．
20．(1)见解析
(2)36度
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据垂直的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论．
（2）根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接，
是边上的高线，
，
是边上的中线，
，
，
，
点为的中点，
．
（2）解：连接，
则，
点为的中点，
，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
∵
，
，
．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化，完全平方公式的变形求值：
（1）仿照题意进行求解即可；
（2）先证明，再把所求式子裂项，最后化简即可得到答案；
（3）先求出，进而得到，则可推出；求出，，得到，即可求出．
【解答】（1）解：
，
故答案为：．
（2）解：，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．(1)会受到这次台风的影响
(2)12小时
(3)级
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握勾股定理成为解题的关键．
（1）过点A作于点D，利用角所对边是斜边一半，求得，然后与200比较即可解答；
（2）以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，再运用勾股定理计算弦长，然后根据行程问题解答即可；
（3） 先求出距台风中心最近距离，计算风力级别．
【解答】（1）解：A城市会受到这次台风的影响，理由如下：
如图1，过点A作于点D，
在中，千米，
∴千米，
∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为：（千米），
∵160千米千米，
∴A城市会受到这次台风的影响．
（2）解：如图2，以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，
∴台风影响该市持续的路程为：，
∴台风影响该市的持续时间（小时）．
（3）解：∵千米，
∴（级），
∴（级），
∴该城市受到这次台风最大风力为级．
23．(1)AC=9；(2)ABAC=-72,BABC=216；(3)BC=2,AB=10.
【分析】(1)在Rt中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=,再用新定义即可得出结论;
②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
【解答】解：(1)已知如图:AO为BC上的中线,
在Rt中,
AO2-OC2=AC2
因为
所以AO2-OC2=81
所以AC2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC的中点D,连接AO,
∵AB=AC,
∴AO⊥BC,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=30°,
在Rt△AOB中,AB=12,∠ABC=30°,
∴AO=6,OB==,
∴ABAC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72,
②取AC的中点D,连接BD,
∴AD=CD=AC=6,过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E,
在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,
∴∠ABE=30°,
∵AB=12,
∴AE=6,BE=,
∴DE=AD+AE=12,
在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD=
∴BABC=BD2﹣CD2=216;
(3)作BD⊥CD,
因为,,
所以BD=2,
因为,是边上的中线,
所以AO2-OC2=-64,
所以OC2-AO2=64,
因为AC2=82=64,
所以OC2-AO2= AC2
所以∠OAC=90°
所以OA=
所以OC=
所以BC=2OC=2,
在Rt△BCD中,
CD=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=
【点拨】题目主要考查勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.