江西省南昌市第二十八中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试卷

这是一份江西省南昌市第二十八中学2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列标点符号中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知是方程的一个根，则的值是（ ）
A．1B．2C．D．
3．下列生活中的事件，属于不可能事件的是（ ）
A．3天内将下雨B．打开电视，正在播新闻
C．买一张电影票，座位号是偶数D．明天太阳从西方升起
4．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．如图，半径为的与轴交于点、，则点的横坐标为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．如图，在正方形中，，以B为圆心，为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结DE．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．若正六边形的外接圆半径长为4，则它的边长等于 ．
8．如图，将绕着点B逆时针旋转40°后得到，若，，则的度数为 ．
9．七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．小虹同学利用七巧板拼成的正方形做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，如图所示，那么小球最终停留在阴影区域上的概率是 ．
10．如图，⊙O的直径，半径，E为的中点， ，交⊙O于点D，过点D作于点F．若 P为直径AB上一动点，则的最小值为 ．
11．如图，线段是弦，且，则弦所对的圆周角为 度．
12．已知某航天爱好者社团设计制作了一款小火箭，小火箭点火的时刻记为，在火箭飞行过程中，经仪器追踪测量小火箭与地面的距离h（m）与飞行时间t（s）近似满足函数表达式．关于小火箭的飞行过程有以下推论：
①点火后和点火后小火箭与地面的距离相同；
②点火后火箭落于地面；
③小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为；
④小火箭飞行过程中与地面的最大距离为．
其中正确的推论是 ．
三、解答题
13．解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
14．已知三个顶点的坐标分别为，，，把先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△ABC，且点的对应点为A，点的对应点为B，点的对应点为C．
(1)在坐标系中画出和；
(2)画出关于原点O对称的；
(3)求的面积．
15．已知关于的一元二次方程（为常数）．
(1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根；
(2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根．
16．某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？
17．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点A、B、C在格点上，点D是圆与竖直网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线．

(1)在图1中画出经过A、B、C三点的圆的圆心O；
(2)在图2中，在上作点E使得．
18．为参加学校举办的争创全国文明城市知识竞赛比赛，七（2）班经过投票初选小亮和小明票数并列班级第一，现在他们都想代表本班参赛，经班长与他们协商，决定用纸牌游戏来确定谁去参赛（胜者参赛）．小亮、小明两人都握有分别标记为A、、、的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：A胜，胜，胜，胜A；其他情况均无法分出胜负．
(1)若小亮出“A”牌，则小明获胜的概率为_______．
(2)求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率．
19．如图，已知：ΔABC是的内接三角形，是延长线上的一点，连接，且.
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求弦的长.
20．如图，，都为等腰直角三角形，，点B，C分别在线段，AD上，，将绕点A顺时针旋转角，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，求的度数．
21．如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，∠B=30°．
①求⊙O的半径；
②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
23．已知，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点A在点左侧．点的坐标为．

(1)直接写出点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查中心对称图形的定义，理解中心对称图形的定义是解题关键．
若把一个图形绕中心点旋转180°，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形，即可判断．
【详解】
A．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意；
B．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意；
C．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，能和原图形重合，符合题意；
D．若把绕中心点旋转180°，旋转后的图形为，不能和原图形重合，不符合题意．
故选C．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解并掌握一元二次方程的解，代入计算是解题的关键．
根据题意，把x=1代入方程求解即可．
【详解】解：已知是方程的一个根，
∴，
解得，，
故选：A ．
3．D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、3天内将下雨，是随机事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播新闻，是随机事件，不符合题意；
C、买一张电影票，座位号是偶数号，是随机事件，不符合题意；
D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，符合题意；
故选D．
4．B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，读懂图象，找到交点坐标是解答关键．
根据图象可知二次函数和一次函数的图象相交两点来求解．
【详解】解：由图象可知
二次函数与一次函数的图象的交点坐标是和，
所以，．
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂径定理等知识，过点A作与D，连接，根据点B和点C的坐标求出，再根据垂径定理求出，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：过点A作与D，连接,
,半径为5的与y轴交于点，
，
过圆心A，
，
由勾股定理得：
，
点的横坐标为3，
故选择：A．
6．D
【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，根据，进行计算即可得出答案，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
【详解】解：在正方形中，，，
，，，
，
，
故选：D．
7．4
【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长组成一个等边三角形，即可求解．
【详解】正六边形的中心角为，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，如图，
∵正六边形的外接圆半径等于4，
∴正六边形的边长是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，理解正六边形的外接圆半径和正六边形的边长组成一个等边三角形是解题的关键．
8．10°/10度
【分析】由将△ABC绕着点B逆时针旋转40°后得到，可求得=40°，然后由三角形内角和定理，求得∠ABC的度数，继而求得答案．
【详解】解：∵将△ABC绕着点B逆时针旋转40°后得到，
∴=40°，
∵∠A=120°，∠C=30°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-120°-30°=30°，
∴=-∠ABC=40°-30°=10°．
故答案为：10°．
【点睛】此题考查了旋转的性质以及三角形内角和定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键．
9．
【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可解题．
【详解】解：设大正方形的边长为2，则GE=1，E到DC的距离d=
阴影区域的面积为：
大正方形的面积是：
小球最终停留在阴影区域上的概率是：．
故答案为：
【点睛】本题考查几何概率，掌握相关知识熟悉概率公式是解题关键．
10．
【分析】延长CO交⊙O于G，连接GD交AB于P，根据两点之间线段最短可知PC+PD的最小值为GD，由勾股定理分别求得DE、DG即可解答．
【详解】解：延长CO交⊙O于G，连接GD交AB于P，则PC+PD的最小值为GD，
连接OD，
则OD=OG=OC= AB=8，
∵E为OC的中点，
∴OE=OC=4，
∴EG=4+8=12，
∵，
∴在Rt△OED中，DE=，
在Rt△GED中，DG=，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、最短路径问题、圆的有关概念与性质，熟练掌握勾股定理和圆的性质是解答的关键．
11．或150/ 或30
【分析】本题考查圆周角定理，弦所对的圆周角有两种情况，且两种情况的角是互补的关系，根据，得到为等边三角形，可以得到，再通过圆周角的顶点所在的位置进行计算即可；
【详解】解：∵，
∴为等边三角形，
，
当圆周角顶点在优弧上时，根据圆周角定理，弦所对的圆周角为，
当圆周角顶点在劣弧上时，根据圆周角定理，弦所对的圆周角为；
故答案为：##
12．①③④
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行判断即可．
【详解】解：当时，，
当时，，故①正确；
当时，，故点火后火箭没有落于地面，故②错误；
当时，，解得，
小火箭飞行过程中第二次距离地面时，飞行时间为，故③正确；
由，当时，小火箭飞行过程中与地面的最大距离为，故④正确．
故答案为：①③④．
13．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：配方法、公式法、直接开平方法、因式分解法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图-平移变换、中心对称、三角形面积、矩形面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
（1）根据已知条件，分别将，， ，三点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点A，B，C三点的坐标，然后首尾依次相连，即可得；
（2）根据（1）中所得A，B，C三点，找出其关于原点的对称点，，，然后将其首尾依次相连，即可得到；
（3）用矩形面积减去三个三角形面积即可求得的面积．
【详解】（1）解：如图，，三点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，然后将这三点首尾相连，得到如图，即为所求；
（2）如图，A，B，C关于原点的对称点分别为：，，，然后将这三点首尾相连，得到如图，即为所求；
（3）．
15．(1)，另一个根为2
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
（1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根；
（2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明．
【详解】（1）解：把代入方程可得，
解得，
当时，原方程为，
解得，
即方程的另一根为2；
（2），，，
，
不论为何值时，方程总有两个实数根．
16．(1)；
(2)当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元．
【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒），列式，去括号合并同类项，即；
（2）根据总利润等于单件利润乘上销量，列式，运用二次函数的性质进行作答即可．
【详解】（1）解：∵当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒），
∴，
．
（2）解：设每盒售价定为x（元）时，超市销售该糕点的日均毛利润为W（元），
则：
即，
∵
∴开口向下，在时，有最大值，且为，
答：当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—复杂作图，平行四边形的性质，圆周角定理．
（1）利用网格作线段的垂直平分线与的交点即为圆心；
（2）取点，作直线与网格交于点，连接交圆于，点即为所作．
【详解】（1）解：点即为所作，
；
（2）解：如图，点即为所作，
；
∵由网格特点和垂径定理可得：，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．(1)
(2)小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率为
【分析】（1）根据题意，可以得到若小亮出“A”牌，小明获胜的概率；
（2）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可得到一次游戏就能分出胜负的概率．
【详解】（1）解：由题意可得，若小亮出“A”牌，则小明获胜需要亮出“D”，而小明亮出的牌有4种等可能性，故若小亮出“A”牌，则小明获胜的概率为，
故答案为：；
（2）解：树状图如下：

则各出一次牌能分出胜负的有8种等可能性，分别为 、、、，、、、，一共有16种等可能性，
故一次游戏就能分出胜负的概率是，
即一次游戏就能分出胜负的概率是．
【点睛】本题考查了概率公式、列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
19．（1）直线与的位置关系是相切，理由见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠AOC，根据三角形内角和定理求出∠OCD，根据切线判定推出即可；
（2）连接OB，求出∠AOB=90°，根据等边三角形的性质和判定求出OA=6，根据勾股定理求出即可．
【详解】
（1）解：直线CD与的位置关系是相切，
理由是：连接，
∵和分别是弧对的圆心角和圆周角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为半径，
∴直线是的切线，
即直线CD与的位置关系是相切.
（2）解：连接，
∵和分别是弧AB对的圆心角和圆周角，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
在中，由勾股定理得：.
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
20．的度数为或或
【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质，由题意可得，，，由直角三角形的性质可得，再分三种情况：当点移动到，点移动到时；当点移动到，点移动到时；当点移动到，点移动到时；分别求解即可．
【详解】解：如图：
∵以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，，都为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，即，
∵，
∴，
当点移动到，点移动到时，；
当点移动到，点移动到时，；
当点移动到，点移动到时，；
综上所述，的度数为或或．
21．圆O的半径为米
【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，设圆O的半径为米，则米，由垂径定理可得米，求出米，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，
，
设圆O的半径为米，则米，
∵，为1.8米，
∴米，
∵高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，
∴米，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴圆O的半径为米．
22．（1）BC与⊙O相切，理由见解析；（2）①⊙O的半径为2．②S阴影=．
【分析】（1）根据题意得：连接OD，先根据角平分线的性质，求得∠BAD＝∠CAD，进而证得OD∥AC，然后证明OD⊥BC即可；
（2）设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得结果．
【详解】解（1）相切．理由如下：
如图，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC．
又∠C＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）①在Rt△ACB和Rt△ODB中，
∵AC＝3，∠B＝30°，
∴AB＝6，OB＝2OD．又OA＝OD＝r，
∴OB＝2r，
∴2r＋r＝6，
解得r＝2，
即⊙O的半径是2；
②由①得OD＝2，则OB＝4，BD＝2，
S阴影＝S△BDO－S扇形ODE＝×2×2－＝2－π．
【点睛】本题考查了切线的判定，含有30°角的直角三角形的性质，扇形的面积等知识点的应用，解题的关键是掌握一定的推理能力．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由点B的坐标为，，且点C在y轴的负半轴上可求出点C的坐标；
(2)已知了B点坐标,易求得的长,进而可将B、C的坐标代入抛物线中,求出待定系数的值,即可得出抛物线的解析式.
(3) 过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，求出直线的解析式为．设点D的坐标为，则点E的坐标为，得到，即可得到，根据二次函数性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，
∴，，
∴点C的坐标为．
（2）将代入，得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（3）过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图所示．

当时，有，
解得：，
∴点A的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，
将、代入，得：
，
解得：，
∴直线的解析式为．
设点D的坐标为，则点E的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为．
答：的面积取最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数求最值，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键.
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
A
D
B
A
D