陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

这是一份陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则点，之间的距离是（ ）
A.B.C.D.
3.如果把中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ）
A.扩大为原来的3倍B.缩小为原来的C.扩大为原来的9倍D.不变
4.在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
5.用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A.B.C.D.
6.如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（ ）
A.3B.4C.5D.6
7.若关于的方程有增根，则的值是（ ）
A.3B.－3C.5D.－2
8.在菱形中，为对角线的交点，，，则菱形的面积为（ ）
A.120B.45C.60D.30
9.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.且D.且
10.已知：E、F、G、H分别为四边形四边中点，顺次连接EF、FG、GH、HE得到四边形，我们把这种四边形叫做中点四边形，有下列说法：①四边形是平行四边形；②当四边形为平行四边形时，四边形是菱形；③当四边形为矩形时，四边形是菱形；④当时，四边形是矩形；⑤若四边形是正方形，则四边形一定是正方形.其中正确的是（ ）
A.②④⑤B.①④⑤C.①③④D.①③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个正多边形是正________边形.
12.已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是________.
13.已知直线a，b，c在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是________.
14.如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为________.
15.某小微企业今年1月份的利润为100万元，3月份的利润上升到121万元，若1至3月利润的增长率相同，则每月增长的百分率是________.
16.如图，在正方形中，对角线、相交于点.在线段上任取一点（端点除外），连接.将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处，若，则________.
三、解答题：本题共9小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题6分）因式分解：
（1）；
（2）.
18.（本小题9分）解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）.
19.（本小题4分）化简代数式：，再从－2，－1，0，1中取一个合适的数值代入，求出代数式的值.
20.（本小题4分）如图，已知，请你用尺规在边上求作一点，使得.（保留作图痕迹，不写作法）
21.（本小题4分）如图所示，在平行四边形中，，，垂足分别为，.求证：.
22.（本小题4分）如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，.将平移后得到对应的，若的坐标为（－4，5），请写出和的坐标，并画出平移后对应的.
23.（本小题5分）如图，中，，点为边中点，过点作的垂线交于点，在直线上截取，使，连接AE、AF、BF.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，连接，求的长.
24.（本小题6分）某商场进货员预测一种应季恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种恤衫，面市后果然供不应求.商场又用8800元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元.
（1）该商场购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？
25.（本小题10分）（1）【探究发现】如图1，是等边内一点，，，.求的度数.

图1 图2 图3
解：将绕点逆时针旋转到的位置，连接
则是三角形.
又，
为直角三角形
的度数为.
（2）【类比延伸】如图2，在正方形内部有一点，连接PA、PB、PC，若，，，求的长；
（3）【拓展迁移】如图3，在正六边形内部有一点，若，，，请直接写出的度数及正六边形的边长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.原图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.原图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.原图不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.原图是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D.
中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.
本题主要考查了中心对称图形的识别.熟练掌握相关定义是解答本题关键.
2.【答案】C
【解析】解：点，分别是，的中点，
，
故选：C.
根据三角形中位线定理解答即可.
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.
3.【答案】A
【解析】解：由题可知，
，
即分式的值扩大为原来的3倍，
故选：A.
根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可.
本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和
分母都乘以同一个数（或除以同一个不等于0的数），分式的值不变.
4.【答案】D
【解析】解：A、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由，，不能判定这个四边形是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D.
利用平行四边形的判定方法依次判断可求解.
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.
5.【答案】D
【解析】解：，
移项，得，
配方，得，
.
故选：D.
先根据等式的性质移项，再方程两边都加9，即可得出答案.
本题考查了用配方法解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键.
6.【答案】B
【解析】解：绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
.
故选：B.
根据旋转的性质可得，，然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得.
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义.
7.【答案】A
【解析】解：，
两边都乘以，得
关于的方程有增根，
，
.
，
，
故选：A.
先去分母化为整式方程，再根据增根的定义求出的值，然后代入整式方程求解即可.
本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解题的关键.
8.【答案】A
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
菱形的面积.
故选：A.
根据菱形的性质得，然后利用勾股定理求出，再根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可解决问题.
本题考查菱形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质.
9.【答案】A
【解析】解：关于的方程有实数根，
当时，，
，
且，
当时，
此时方程为，满足题意，
故选：A.
根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案.
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型.
10.【答案】C
【解析】解：连接、，
①、F、G、H分别为四边形四边中点，
、FG、GH分别为、、的中位线，
，，，，，
，
，，
四边形是平行四边形，故本小题说法正确；
②当四边形为平行四边形时，四边形不一定是菱形，故本小题说法错误；
③当四边形为矩形时，，
则，
四边形是菱形，故本小题说法正确；
④当时，
，，
，
四边形是矩形，故本小题说法正确；
⑤当，时，，，
四边形是正方形，此时，四边形不一定是正方形，
故本小题说法错误；
故选：C.
连接、，根据三角形中位线定理、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键.
11.【答案】八
【解析】解：设正多边形的边数是，根据题意得，
，
解得，
这个多边形为八边形.
故答案为：八.
根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于，外角和等于，然后列方程求解即可.
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，关键是多边形内角和公式的应用.
12.【答案】－4
【解析】解：设方程的另一个根为，
根据根与系数的关系得，
解得，
即方程的另一个根是－4.
故答案为：－4.
设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解的方程即可.
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，
，
13.【答案】2cm或8cm
【解析】解：

① ②
如图①，与之间的距离为；
如图②，与之间的距离为.
与之间的距离为2cm或8cm，
故答案为：2cm或8cm.
分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解.
本题考查平行线之间的距离，关键是要分两种情况讨论.
14.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
，，
.
四边形是矩形，
.
四边形为矩形.
.
要求的最小值就是要求的最小值.
点从点沿着往点移动，
当时，取最小值.
在中，
，，，
.
，
.
的长度最小为：.
故答案为：.
连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解.
本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用.
15.【答案】
【解析】解：设每月增长的百分率是，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
即每月增长的百分率是10%，
故答案为：.
设每月增长的百分率是，根据企业3月份的利润＝企业1月份的利润×（1＋每月增长的百分率）2，列出一
元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
16.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作，，垂足分别为、，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是正方形，
，
由旋转的性质可得，
，
，
，
，
，
，
，
如图所示，过点作交延长线与，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：.
过点作，，垂足分别为、，先证明四边形是正方形，得到，再证明得到，进而推出，过点作交延长线与，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，即可得到.
本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
17.【答案】解：（1）
；
（2）
.
【解析】（1）用完全平方公式分解因式即可；
（2）首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出答案.
此题主要考查了提取公因式法与公式法综合，正确应用公式是解题关键.
18.【答案】解：（1），
，
，
或，
，；
（2），
，，，
，
，
，；
（3），
，
，
，
，
经检验是分式方程的解.
【解析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用公式法解方程；
（3）去分母转化为整式方程.解整式方程可得结论.
本题考查解一元二次方程－因式分解法，公式法，解分式方程等知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的加法.
19.【答案】解：
，
，，
，0；
当时，
原式.
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可.本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则掌握.
20.【答案】解：如图所示：点即为所求.
【解析】连接和交于点，再过点作垂直交于点，根据平行四边形的性质，可得，进而可得，，所以可得，可得点，使.
本题考查了作图－复杂作图、平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质.
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
.
【解析】先由平行四边形的性质得到相关边与角度的关系，再由三角形全等的判定与性质即可得证.本题考查平行四边形性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形性质、三角形全等的判定与性质等知识是解决问题的关键.
22.【答案】解：如图，，即为所求.，.
【解析】利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可.
本题考查作图－平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质.
23.【答案】（1）证明：是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图，
由（1）得：四边形是菱形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
是的中点，，
.
【解析】（1）先证四边形是平行四边形，再由，得出四边形是菱形；
（2）由菱形的性质得，再由勾股定理求出，推出，进而由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案.
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关键.
24.【答案】解：（1）设该商场购进第一批恤衫每件的进价是元，则购进第二批恤衫每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
.
答：该商场购进第一批恤衫每件的进价是40元，第二批恤衫每件的进价是44元；
（2）该商场购进第一批恤衫的数量是（件）；
该商场购进第二批恤衫的数量是（件）.
设每件恤衫的标价是元，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为72.
答：每件恤衫的标价至少是72元.
【解析】（1）设该商场购进第一批恤衫每件的进价是元，则购进第二批恤衫每件的进价是元，利用数量总价单价，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即该商场购进第一批恤衫每件的进价），再将其代入中，即可求出该商场购进第二批恤衫每件的进价；
（2）利用数量总价单价，可求出该商场购进第一、二批恤衫的数量，设每件恤衫的标价是元，利用总利润＝销售单价×销售数量－进货总价，结合两批恤衫全部售完后利润率不低于62%（不考虑其他因素），可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.
25.【答案】等边
【解析】解：（1）将绕点逆时针旋转到的位置，连接，则是等边三角形，
，，
又，，
，
是直角三角形，
即，
，
故答案为：等边，；
（2）如图，把绕点顺时针旋转得到，
，，
旋转角是，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，
由勾股定理得，，
的长为6；
（3）六边形是正六边形，
，，
如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，
，，，
；
如图所示，过点作于，
则，
，
又，，
，
是直角三角形，
即，
；
如图所示，过点作交延长线与，
则，
，
，
，，
，
正六边形的边长为.
（1）根据旋转的性质，得到是等边三角形，勾股定理逆定理，得到为直角三角形，进一步求解即可；
（2）把绕点顺时针旋转得到，旋转的性质，推出是等腰直角三角形，求出，再利用勾股定理进行求解即可；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，求出；如图所示，过点作于，则，证明是直角三角形，即，即可得到；如图所示，过点作交延长线与，则，则，可得，进而得到，，则根据勾股定理求出，即正六边形的边长.
本题是四边形综合题，考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，正方形的性质等等，解题的关键是通过旋转，构造直角三角形.