中考数学二轮复习难点突破训练专题24 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题（2份，原卷版+解析版）

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【题型演练】
一、单选题
1．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE，当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．如图，ABC是边长为2的等边三角形，AD是BC边上的中线，有一动点P由点A出发匀速向点B运动，到点B后停止运动，在运动过程中，当△APD为等腰三角形时，AP的长为（ ）
A．或B．1或C．或D．或1
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点B、点C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当∠BAD＝30°时，BD＝CE；④当△ADE为等腰三角形时，∠EDC＝30°．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当，△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，P点最多有（ ）
A．8个B．10个C．12个D．14个
6．如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．
①在点运动过程中，点始终在射线上；
②在点运动过程中，可能为135°；
③若是的中点，连接，则的最小值为；
④为等腰三角形时，的值为或
以上结论正确是（ ）
A．①③④B．②④C．①②③D．②③④
7．如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，点是轴上的动点，，且为等腰三角形时点的长为（ ）
A．或B．C．或D．
8．如图，在中，，点为线段上一动点不与点，重合，连接，作，交线段于点下列结论：
；
若，则；
当时，则为中点；
当为等腰三角形时，．
其中正确的有个．( )
A．个B．个C．个D．个
9．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12.动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP.线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x.下列说法正确的有几个（ ）
（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；
（2）＝；
（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；
（4）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．
11．如示意图，在△ABC中，AC＝BC，AE⊥BC于点E，过点B作∠ABC的角平分线BF交AE于G，点D是射线BF上的一个动点，且点D在△ABC外部，连接AD．∠C＝2∠ADB，当△ADG为等腰三角形，则∠C的度数为____________
12．如图，已知AGCF，AB⊥CF，垂足为 B，AB=BC=3 ，点 P 是射线AG 上的动点 （点 P 不与点 A 重合），点 Q是线段 CB上的动点，点 D是线段 AB的中点，连接 PD 并延长交BF于点 E，连接PQ，设AP=2t ，CQ=t，当△PQE 是以 PE为腰的等腰三角形时，t的值为_____．
13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___．
三、解答题
14．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
(1)求边的长；
(2)当为直角三角形时，求t的值；
(3)当为等腰三角形时，求t的值．
15．如图，在中，∠C=90°，=5cm，=3cm，动点P从点C出发，沿→的路线运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．
(1)=________cm；
(2)出发0.5秒后，求的周长；
(3)当t为何值时，为等腰三角形？
(4)另有一动点Q，从点C出发，沿向终点A运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当t为何值时，直线把的周长分成相等的两部分？
16．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运劲，设运动的时间为t（秒）．
(1)当t为何值时，以B，Q，D，P为顶点的四边形为平行四边形？
(2)当t为何值时，以B，D，P为顶点的三角形为直角三角形？
(3)当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AB＝20，BC＝15，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒2个单位长度．
(1)当t＝2时，CD＝ ；AD＝ ；
(2)当t为何值时，△CBD是等腰三角形？并说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．
(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
19．已知，在中，，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且，射线OE交射线BA于点D．
(1)如图1，如果，求的值；
(2)联结AO， 如果是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；
(3)当点E在边AC上时， 联结， 求线段OC的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，边、（）的长分别是方程的两个根，是上的一动点（不与、重合）．
(1)填空：_____，______．
(2)若动点满足与相似，求直线的解析式．
(3)若动点满足，且点为射线上一个动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
21．如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结，，，点D是的中点．
(1)___________；点D的坐标为___________；
(2)若点E在线段上，直线DE把矩形面积分成为2：1两部分，求点E坐标；
(3)如图2．点P为线段上一动点（含线段端点），连接；以线段为边，在所在直线的右上方作等边，当动点P从点B运动到点A时，点Q也随之运动，当成为以为底的等腰三角形时，直接写出Q点的横坐标．
22．如图，在直角坐标平面内有点，点分别为线段和射线上的动点，点以2个单位长度/秒的速度自向方向作匀速运动，点以5个单位长度/秒的速度自向方向作匀速运动，交于点．
(1)求证：为定值；
(2)若与相似，求的长；
(3)若是等腰三角形，求的长．
23．如图1，在等腰中，，点E，F分别为的中点，H为线段上一动点（不与点E，F重合），将线段绕点A逆时针方向旋转90°得到，连接．
(1)证明：；
(2)如图2，连接交于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有；
②若，当EH的长度为多少时，为等腰三角形？
特点
等腰三角形的性质并能灵活应用，并能分析动态变化过程。这类问题属于比较难得问题，历年都以中考压轴题的形式出现，在分析的过程中要有分类讨论的思想，再结合图形的动态变化过程。
已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．
在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．
如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况．
解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，
几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？
如果△ABC 的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法．
①如图 1，如果 AB＝AC，直接列方程；
②如图 2，如果 BA＝BC，那么 1/2 AC＝AB cs ∠A ；
③如图 3，如果 CA＝CB，那么 1/2 AB＝AC cs ∠A ．
图 1 图 2 图 3
代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．
如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．
结论
等腰三角形的性质并能灵活应用