中考数学二轮复习难点突破训练专题26 相似三角形中由动点引起的分类讨论问题（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．如图，在中，，于点D，下列结论错误的有（ ）个
①图中只有两对相似三角形；②；③若，AD＝8，则CD＝4．
A．1个B．2个C．3个D．0个
【答案】A
【分析】①根据相似三角形判定判断；②利用面积法证明即可；③利用相似三角形的性质求出BD，再利用勾股定理求出CD即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴，
∵，
∴△ACD∽△ABC∽△CBD，故①错误，
∵S△ACB=AC•BC=AB•CD，
∴BC•AC=AB•CD，故②正确，
∵△CBD∽△ABC，
∴，
∴，
∴BD=2或-10（舍弃），
在Rt△CDB中，CD=，故③正确，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．在中，，，点为线段上一点，以为一边构造，，，下列说法正确的个数是（ ）
①图中和相等的角有2个（不含）；②若不添加线段，图中共有5对相似三角形；③；④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理进行证明即可得出答案．
【详解】在中，，，在，，，
，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，故图中和相等的角有2个（不含），①正确；
，
，
，
，故若不添加线段，图中共有5对相似三角形，②正确；
，即，故③正确；
连接CD，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上，说法正确的由①②③④；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝3， BC＝4．点 P 为 AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是（ ）
A．1个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】B
【分析】由于∠PAD＝∠PBC＝90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况
讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出 AP 的长，即可得到 P 点的个数．
【详解】∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴∠PAD＝∠PBC＝90°，
设AP的长为x，则BP长为7﹣x；
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则 AP：BP＝AD：BC， 即 x：（7﹣x）＝3：4，
解得：x＝3
②若△APD∽△BCP，则 AP：BC＝AD：BP， 即 x：4＝3：（7﹣x），
解得：x＝4或3．
∴满足条件的点 P 的个数是 2个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．
4．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】试题分析：由于∠PAD=∠PBC=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．
解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵AD∥BC，
∴∠A=180°﹣∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个，
故选C．
考点：相似三角形的判定；直角梯形．
5．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若PAE与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的数量为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】设，则，分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
设，则，
当时，
，
即，
解得，
当时，
，
即，
解得或6，
∴或2或6，
∴满足条件的点的个数有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，解答时，注意分类讨论思想的灵活运用．
6．如图，在矩形中，点为上一点，且，点为上一动点，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】设AP=x，则BP=8-x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：设AP=x，则BP=8-x，
当△PAE∽△PBC时，，即，
解得，x=，
当△PAE∽△CBP时，，即，
解得，x=2或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．
7．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，
当△PAE∽△PBC时，，即，
解得，，
当△PAE∽△CBP时，，即，
解得，x＝2或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．
二、填空题
8．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AE=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有____个．
【答案】3
【分析】设AP=x，则BP=8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：设AP=x，则BP=8﹣x，
当△PAE∽△PBC时，，即，
解得，x=，
当△PAE∽△CBP时，，即，
解得，x=2或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝7，点P是线段BA上的一个动点，连接PC、PD．若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有______个．
【答案】3
【分析】设AP=x，则BP=，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出AP的长，即可得出结论．
【详解】解：AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠PAD+∠ABC＝180°，
∴∠PAD＝90°，
设AP＝x，则BP＝7﹣x，
分两种情况：
①当时，
即，
解得：x＝；
②当时，
即，
解得：x＝3，或x＝4，
故答案为：3
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、解方程；熟练掌握相似三角形的判定定理，通过分类讨论得出比例式是解决问题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB=8，AE=3，BC=4，点P为AB上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数有________个．
【答案】3
【分析】设AP的长为x，则BP长为8-x，分△APE∽△BPC与△APE∽△BCP两种情况讨论即可得解．
【详解】解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵ADBC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAE=∠PBC=90°．
AB=8，AE=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x．
若AB边上存在P点，使△PAE与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APE∽△BPC，则AP：BP=AE：BC，即x：（8-x）=3：4，解得x=；
②若△APE∽△BCP，则AP：BC=AE：BP，即x：4=3：（8-x），解得x=2或x=6．
∴满足条件的点P的个数是3个．
故答案是：3．
【点睛】由于∠PAE=∠PBC=90°，故要使△PAE与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APE∽△BPC，②△APE∽△BCP，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长，即可得到P点的个数．
11．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有___对．
【答案】6
【分析】根据相似三角形的判定定理找出相似的三角形即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴；
∴；
∵，，
∴；
∴；
∵，
∴；
综上所述：有6对相似三角形．
故答案为：6
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，找出所有的相似三角形．
三、解答题
12．如图，正方形ABCD，点P为射线DC上的一个动点，点Q为AB的中点，连接PQ，DQ，过点P作PE⊥DQ于点E．
（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；
（2）若AB＝4，以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，试求出DP的长．
【答案】（1）△DPE∽△QDA，证明见解析；（2）DP=2或5
【分析】（1）由∠ADC＝∠DEP＝∠A＝90可证明△ADQ∽△EPD；
（2）若以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，有两种情况，当△ADQ∽△EPQ时，设EQ＝x，则EP＝2x，则DE＝2−x，由△ADQ∽△EPD可得，可求出x的值，则DP可求出；同理当△ADQ∽△EQP时，设EQ＝2a，则EP＝a，可得，可求出a的值，则DP可求．
【详解】（1）△ADQ∽△EPD，证明如下：
∵PE⊥DQ，
∴∠DEP＝∠A＝90，
∵∠ADC＝90，
∴∠ADQ＋∠EDP＝90，∠EDP＋∠DPE＝90，
∴∠ADQ＝∠DPE，
∴△ADQ∽△EPD；
（2）∵AB＝4，点Q为AB的中点，
∴AQ＝BQ＝2，
∴DQ＝，
∵∠PEQ＝∠A＝90，
∴若以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似，有两种情况，
①当△ADQ∽△EPQ时，，
设EQ＝x，则EP＝2x，则DE＝2−x，
由（1）知△ADQ∽△EPD，
∴，
∴，
∴x＝
∴DP＝＝5；
②当△ADQ∽△EQP时，设EQ＝2a，则EP＝a，
同理可得，
∴a＝，
DP＝．
综合以上可得DP长为2或5，使得以点P，E，Q为顶点的三角形与△ADQ相似．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．由教科书知道，相似三角形的定义：如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似；由教科书中实践操作可得基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．

(1)请依据上面定义和事实，完成下列问题：
①已知，如图甲，中，点、分别在、上，且．
问：与相似吗？试证明．
②你得到的结论是：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形________．
(2)依据（1）中②的结论完成下列问题：
已知，如图乙，在和中，，．
①问：与相似吗？试证明．
②你得到的结论是：________________的两个三角形相似．
【答案】(1)①相似；证明见解析；②相似
(2)①相似；证明见解析；②两边对应成比例，夹角相等
【分析】（1）①过点D作DF∥AC，利用三角形相似的定义证明即可；②由①可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似；
（2）①根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明；②由①中可知两边成比例且夹角相等，可以判定三角形相似进而可得答案．
(1)
①相似．
证明如下：如图，过点D作交BC于点F
易得：四边形DECF是平行四边形，即DE=FC
由已知得 ，，
∵DE∥BC
∴
又∵DF∥AC
∴
∴
∴由相似三角形定义得：∽．
② 解：由①可知平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似
故答案为：相似．
(2)
①相似．
证明如下：如图，在AB上取一点D，使，过点D作交AC于点E
∵，，
∴∽
∴，， ，
∵，，
∴
∴
在和中，
∴≌（SAS）
又∵∽
∴ ∽．
②解：由题意知，两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似
故答案为：两边对应成比例，夹角相等．
【点睛】本题考查相似三角形的定义及事实的应用，全等三角形的判定，平行线的性质．理解题意综合运用知识是解决本题的关键．
14．如图，E是平行四边形ABCD的边DA延长线上一点，连结EC交AD于P．
(1)写出图中的三对相似三角形（不添加辅助线）；
(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由．
【答案】(1)△EAP∽△CBP，△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC
(2)△EAP∽△CBP，理由见解析（答案不唯一）
【分析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定，可得到△EAP∽△CBP，△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC；
（2）根据平行线定理可求得，进而可以求证△EAP∽△CBP即可解题．
（1）
△EAP∽△CBP，△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC．
（2）
选△EAP∽△CBP，
理由如下：在▱ABCD中AD//BC，
∴∠EAP＝∠B．
又∵∠APE＝∠BPC，
∴△EAP∽△CBP．
同理，利用“两角法”证得△AEP∽△DEC，△BCP∽△DEC．
【点睛】本题考查了相似三角形的证明，平行四边形的性质，利用相似三角形的判定是解题的关键．
15．某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC中，其中AB=AC，如图Ⅰ，进行了如下操作．
第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E、F，如图Ⅱ；
第二步，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD；
第三步，以D为圆心，DA的长为半径画弧，交射线AE于点G；
(1)填空：写出∠CAD与∠GAD的大小关系为 ；AD与BC的位置关系为 ；
(2)当AB=AC=6，BC=2时，连接DG，求出的值；
(3)如图Ⅲ，根据以上条件，点P为AB的中点，点M为射线AD上的一个动点，连接PM，PC当∠CPM=∠B时，求AM的长．
【答案】(1)，
(2)3
(3)9
【分析】（1）根据题目的尺规作图可得平分，由此即可得到；根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质、角的和差可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得出结论；
（2）先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质即可得；
（3）以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，设，则，，由（2）可得，再根据三角形的外角性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定可得，最后根据相似三角形的性质可得的值，由此即可得出答案．
（1）解：由尺规作图步骤可知，平分，∴；∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：，．
（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．
（3）解：如图，以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，
由（2）可得,，设，则，∵点为的中点，∴，，∵，∴，又，∴，∴，∴，即，解得，∴．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，
（1）不添加其它字母，写出图中所有的相似三角形，并选择一对进行证明；
（2）设BD＝x，CE＝y，求出y与x的函数关系式，并利用关系式求出线段AE长度的取值范围；
（3）当△DCE为直角三角形时，BD的长为 ．
【答案】（1）△BAD∽△CDE，△ADE∽△ACD，证明见解析；（2）；（3）4或
【分析】（1）由AB=AC，可得∠B=∠C，再由∠ADE=∠B，∠B+∠BAD=∠ADC，∠ADC=∠ADE+∠CDE，可得∠BAD=∠CDE，即可证明△BAD∽△CDE；由∠B=∠ADE=∠C，可推出∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠AED=∠C+∠CDE，即可证明△ADE∽△ACD；
（2）由△BAD∽△CDE，可得，再由BD＝x，CE＝y，BC=8，得到，即，则，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）分当∠DEC=90°，当∠CDE=90°时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，∠B+∠BAD=∠ADC，∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△BAD∽△CDE；
∵∠B=∠ADE=∠C，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠AED=∠C+∠CDE，
∴△ADE∽△ACD；
（2）∵△BAD∽△CDE，
∴，
∴，
∵BD＝x，CE＝y，BC=8，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，AE有最小值，最小值为，
∴；
（3）如图所示，当∠DEC=90°，
∵△BAD∽△CDE，
∴∠BDA=∠CED=90°，即AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴；
如图示，当∠CDE=90°时，过点A作AH⊥BC于H，
∴∠AHC=∠EDC=90°，，
∴，
∵∠ADE=∠C=∠B，∠C+∠CAH=90°，∠ADE+∠ADH=90°，
∴∠ADH=∠CAH，
∴△AHC∽△DHA，
∴，
∴，
∴，
∴综上所述，当△DCE为直角三角形时，BD的长为4或，
故答案为：4或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的应用，勾股定理，三角形外角的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．
17．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝3，CD＝8，BD＝10，一动点P从点B向右D运动，问当点P离点B多远时，△PAB与△PCD是相似三角形？
【答案】6或4或
【分析】求出∠B=∠D=90°，根据相似三角形的判定得出当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，代入求出即可．
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当时，△PAB△CPD，或时，△PAB△PCD，
∵AB=3，CD=8，BD=10，
∴或，
∴BP=6或4或，
即PB=6或4或时，△PAB与△PCD是相似三角形．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，注意有两种情况，用的知识点是：当两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
18．如图①，在△ABC中，AC＝BC，点D是线段AB上一动点，∠EDF绕点D旋转，在旋转过程中始终保持∠A＝∠EDF，射线DE与边AC交于点M，射线DE与边BC交于点N，连接MN．
（1）找出图中的一对相似三角形，并证明你的结论；
（2）如图②，在上述条件下，当点D运动到AB的中点时，求证：在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值．
【答案】（1）△ADM∽△BND，理由见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据相似三角形的判定解答即可；
（2）作DG⊥MN，DH⊥AM，利用相似三角形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）△ADM∽△BND，理由如下：
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠A+∠AMD=∠EDF+∠BDN，
∵∠A=∠EDF，
∴∠AMD=∠BDN，
∴△ADM∽△BND；
（2）证明：作DG⊥MN于G，DH⊥AM于H，如图②，
由（1）得，△ADM∽△BND，
∴，
∵AD=BD，
∴=，又∠A=∠EDF，
∴△ADM∽△DNM，
∴∠AMD=∠NMD，又DG⊥MN，DH⊥AM，
∴DG=DH，
∵点D为AB中点，
∴DH为定值，即DG为定值，
∴在∠EDF绕点D旋转过程中，点D到线段MN的距离为定值．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发沿线段AB向终点B运动．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．
1）找出图中的一对相似三角形，并说明理由；
（2）当△BEF为等腰三角形时，求AE的长；
（3）求动点E从点A出发沿线段AB向终点B运动的过程中点F的运动路线长．
【答案】（1）△ADE∽△BEF；理由见解析；（2）或3或3．（3）cm.
【详解】试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°由三角形的外角性质和已知条件证出∠ADE=∠BEF，即可得出结论；
（2）分三种情况：①若EF=BF，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE=DE=即可；
②若EF=BE，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE即可；
③若BF=BE，则∠FEB=∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE=AD=3即可．
（3）由（1）得出△ADE∽△BEF，得到，得出y是x的二次函数，即可得出结果．
试题解析：（1）△ADE∽△BEF，理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEF+∠BEF，∠DEF=45°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△BEF；
（2）分三种情况
①如图1，
若EF=BF，则∠B=∠BEF，
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠ADE=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE=DE=；
②如图2，
若EF=BE，则∠B=∠EFB
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠A=∠AED=45°，
∴∠ADE=90°，
∴AE=3；
③如图3，
若BF=BE，则∠FEB=∠EFB
又∵△ADE∽△BEF，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD=3．
综上所述，当△BEF为等腰三角形时，AE的长为或3或3．
（3）设AE=xcm，BF长为ycm．
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．
∴∠A=∠B=45°，AB=4，
由（1）得：△ADE∽△BEF，
∴，
∴，
∴y=-x2+x，
∴y=-x2+x =-（x-2）2+，
∴当x=2时，y有最大值=，
∵从运动的过程中可以得出点E运动的路程正好是2BF，
∴点E运动路程为2×=（cm）．
考点：相似形综合题．
20．问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证＝．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明＝．
(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明＝；
(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝，求DE的长（用含m，的式子表示）．
【答案】(1)详见解析
(2)①DE=；②
【分析】（1）利用AB∥CE，可证得，即，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可证得结果；
（2）利用（1）中的结论进行求解表示即可．
(1)
解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴，
∴，
即，
∴；
(2)
①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得，，
∵AC＝1，AB＝2，
∴，
∴，
解得：CD=，
∴DE= CD=；
②由折叠可知∠AED＝∠C=，
∴，
由①可知，
∴，
∴，
即：．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键．
21．习过相似三角形后，刘老师布置了一道思考题．
问题情境：如图1，等腰三角形ABC中，，CD为AB边上的中线，M为CD上一个动点，于点E，连接CE，若点N为AC上一个动点，连接EN，当，时，求EN的最小值．
小明在分析这道题时，发现思路不明显，他采用从特殊到一般的方法进行探究，以下是他的探究过程，请仔细阅读，并完成下列任务．
任务：
(1)小明在分析一中判断EN的最小值时运用了______原理；（填序号）
①两点之间线段最短；②垂线段最短；③平行线间的距离；④点到圆的距离．
(2)请完成分析二的证明；
(3)请直接写出问题情境中EN的最小值．
【答案】(1)②
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由分析一的证明过程即可求解；
（2）连接AE，证明∽，得到，再得到，证明∽，得到，证明，再利用三线合一即可证明；
（3）当时EN的长最短，由点M的运动过程中，一直等于90°，故点E可看成在以BD为直径，O为圆心的内部的圆周上的动点， 过点O作交于点，交AC于点，此时即为所求EN的最小值，根据解直角三角形的方法求出的长，故可求解．
（1）
由分析一知当时有最小值，即垂线段最短，故填②；
（2）
接AE，∵CD垂直平分AB，，
∴．
∵，，
∴，
∴∽，
∴，
∵D，M分别是AB，CD的中点，
∴BD=AB，DM=CD
∴，
∴，
∵，
∴∽，
∴，
∴，
∴，
∵N是AC的中点，
∴．
（3）
求EN的最小值，即为时EN的长．
在点M的运动过程中，一直等于90°，
∴点E可看成在以BD为直径，O为圆心的内部的圆周上的动点，
如图所示．过点O作交于点，交AC于点，
此时即为所求EN的最小值．
∵，，CD垂直平分AB，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴EN的最小值为．
【点睛】此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质、圆的性质、解直角三角形的方法．
22．如图，在边长为6的等边中，D是边上一点，，E是边上一动点，交边于F．
（1）找出图中一对相似三角形，并说明理由；
（2）在点E从B点运动到C点的过程中：
①求长的最小值；
②线段的中点所经过的路径长为________；线段的中点到的最大距离为________．
【答案】（1），理由见解析；（2）①；②，
【分析】（1）结论：△ADE～△BEF．两个两角对应相等两三角形相似即可证明．
（2）①设的中点为G，作于H，于K，由于D是定点，所以是定值，故是定值，可知它们的增减性，即可求解；②设的中点为M，作交于N，于P；得出CN、NP、CF之间的关系即可求解．
【详解】解：（1）
∵为等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
（2）①∵，
∴
设，则，
∴长的最大值为，长的最小值为
②如图，
设的中点为G，作于H，于K
则
由于D是定点，所以是定值，故是定值
∴点G的运动路径是一条平行于的线段
当点E与B点重合时，点F与C点重合
随后逐渐增大，直至最大，之后逐渐减小
当点E与C点重合时，点F与C点重合
∴线段的中点所经过的路径长即为长的最大值，为
如图，设的中点为M，作交于N，于P
则，
∴线段的中点到的最大距离即为N点到的最大距离
最大距离为：
故答案为：，
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
23．定义：先将△ABC以点A为位似中心放大或缩小，接着将所得三角形以点A为旋转中心，逆时针旋转一个角度α后，得到△ADE，则我们称△ABC与△ADE互为“旋转相似三角形”．
理解：
（1）如图1，△ABC与△ADE互为“旋转相似三角形”．若α＝20°，∠D＝100°，∠C＝30°，则∠BAE的度数为 ；
（2）如图2，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AD是高，点E为DC上一动点，以线段AE为斜边在右侧作Rt△AEF，使∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，连接DF，求证：△ABE与△ADF互为“旋转相似三角形”；
运用：
（3）如图3，△ABC与△ADE互为“旋转相似三角形”，连接BD、CE，若∠ABC+∠ADC =90°，AB＝2AC，DE=3，CD=4，求BD的长
【答案】（1）；（2）见解析；（3）BD=10
【分析】（1）根据“旋转相似三角形”的定义得，再根据对应角相等即可求出结果；
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质得到，再根据特殊角的三角函数值得，可以证明，即可得到结论；
（3）根据△ABC与△ADE互为“旋转相似三角形”得∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE ，，证明△ABD∽△ACE，利用勾股定理求出CE的长，再利用相似比即可求出BD的长．
【详解】解：（1）∵△ABC与△ADE互为“旋转相似三角形”，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案是：；
（2）∵，AD是高，
∴AD平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，且它们有共同的顶点A，
∴△ABE与△ADF互为“旋转相似三角形”；
（3）∵△ABC和△ADE互为“旋转相似三角形”，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE ，，
∴ ，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∵∠ABC+∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠ADC=90°，
∵DE=3，CD=4，
∴CE=5，
∴BD=2CE=10．
【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理，以及利用锐角三角函数解直角三角形．
24．“如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”
（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图3，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．
【答案】（1）1；（2）①；②成立，理由见解析；（3）CE＝2或CE＝
【分析】（1）先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可．
（2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出∠ADE=∠CDF，∠A=∠DCB，得到△ADE∽△CDF，再判断出△ADC∽△CDB即可．
（3）由（2）的结论得出△ADE∽△CDF，判断出CF=2AE，求出EF，再利用勾股定理，分三种情形分别求解即可．
【详解】（1）当m＝n时，即：BC＝AC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴＝，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝＝1，
∴＝1，
故答案为1．
（2）①∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴＝，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝＝，
∴＝，
故答案为．
②成立．如图，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠FDE＝∠ADC＝90°，
∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，
即∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴＝，
∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝＝，
∴＝．
（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，
∵＝＝，
∴＝＝＝，
∴CF＝2AE，
在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，
∴EF＝＝＝2，
①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，
根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40
∴CE＝2，或CE＝﹣（舍去）
而AC＝＜CE，
∴此种情况不存在，
②当E在AC延长线上时，
在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，
根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+[2（+CE）]2＝40，
∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），
③如图4﹣1，当点E在CA延长线上时，
CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，
根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，
∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，
∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）
即：CE＝2或CE＝．
【点睛】此题属于相似形综合题综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.
25．如图，已知△ABC是边长为12的正三角形，AD是边BC上的高线，CF是外角ACE的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），∠APQ ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．
（1）求证：△ABP∽△PCN；
（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；
（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；（3）1.5．
【分析】（1）根据等边三角形性质得到∠ABP＝∠PCN＝60°，利用角的和差证明∠BAP＝∠CPN，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）因为△ABC是正三角形，AD是边BC上的高线，由三线合一可证△ABD≌△ACD；因为∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP,所以△APN∽△ACP；因为∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以△APN∽△QCN；因为△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，所以△ACP∽△QCN ；（3）当点P在BD的中点运动到DC的中点时，利用相似三角形性质，设PB＝x，CN＝y，则3≤x≤9，由第（1）题利用相似三角形性质可得：，解得，又利用函数图象可知：当x＝3或9时，y＝，当x＝6时，y最大＝3，所以点N运动的路径长为：（3－）×2＝1.5．
【详解】解：（1）在正三角形ABC中，∠ABP＝∠PCN＝60°，
∴∠BAP +∠BPA＝120°，又∵∠APQ ＝60°，
∴∠CPN +∠BPA＝120°， ∴∠BAP＝∠CPN，
∴△ABP∽△PCN；
（2）△ABD≌△ACD；△APN∽△ACP；△APN∽△QCN；△ACP∽△QCN ；
理由：∵△ABC是正三角形，AD⊥BC，由三线合一可证△ABD≌△ACD；∵∠APN=∠ACP=60°，∠PAN=∠CAP，∴△APN∽△ACP；∵∠APN=∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,∴△APN∽△QCN；∵△APN∽△ACP，△APN∽△QCN，∴△ACP∽△QCN ；
（3）能，设PB＝x，CN＝y，由第（1）题可得：，
∴，又3≤x≤9，利用函数图象可知：
当x＝3或9时，y＝，当x＝6时，y最大＝3；
∴点N运动的路径长为：（3－）×2＝1.5．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正三角形的性质，掌握相关的性质定理、灵活运用所学知识是解题的关键．
26．如图，在中，，，．在它的内部作一个矩形，使得在边上，、分别在边、上．设，矩形的面积为．
(1)写出图中的一对相似三角形；
(2)写出关于的函数关系式；
(3)若、是平面直角坐标系中的两个点，判断线段与（2）中函数图象的交点情况，并求出对应的取值范围．
【答案】(1)△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB
(2)
(3)当时，此时MN与抛物线没有交点；当时，MN与抛物线有2个交点；当或或时，MN与抛物线只有一个交点．
【分析】（1）只需要证明△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB即可；
（2）根据相似三角形的性质求出即可得到答案；
（3）利用二次函数图象的性质求解即可.
(1)
解：∵四边形DEFG是矩形，
∴∠ADG=∠BEF=∠C=90°，，
∴∠A=∠CGF，∠B=∠CFG，
∴△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB；
(2)
解：∵在中，，，，
∴
∵△ADG∽△GCF∽△FEB∽△ACB，
∴，
∴，
∵四边形DEFG是矩形，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴；
(3)
解：∵，
∴抛物线顶点坐标为（5，12），
∵、，
∴MN与x轴平行，
当，即时，此时MN与抛物线没有交点；
当，即时，此时MN与抛物线只有一个交点，
当，即时，令，，
解得或（舍去），
∴当时，MN与抛物线有2个交点，时，MN与抛物线只有一个交点，
当时，MN与抛物线只有一个交点，
综上所述，当时，此时MN与抛物线没有交点；当时，MN与抛物线有2个交点；当或或时，MN与抛物线只有一个交点．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，二次函数与几何的应用，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键．
27．如图，在中，，，点为边上一点，且AD=3cm，动点从点出发沿线段向终点运动．作，与边相交于点．
找出图中的一对相似三角形，并说明理由；
当为等腰三角形时，求的长；
求动点从点出发沿线段向终点运动的过程中点的运动路线长．
【答案】（1）；（2）的长为或或；（3）cm.
【分析】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠B＝45°由三角形的外角性质和已知条件证出∠ADE＝∠BEF，即可得出结论；
(2)分三种情况：①若EF＝BF，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE＝DE＝即可；
②若EF＝BE，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE即可；
③若BF＝BE，则∠FEB＝∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE＝AD＝3即可．
(3)由（1）得出△ADE∽△BEF，得到，得出是的二次函数，即可得出结果．
【详解】解：，理由如下：
∵在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
分三种情况
①如图，若，则，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，若，则
又∵，
∴，
∴，
∴；
③如图，若，则
又∵，
∴，
∴．
综上所述，当为等腰三角形时，的长为或或．
设，长为．
∵在中，，．
∴，，
由得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
∵从运动的过程中可以得出点运动的路程正好是，
∴点运动路程为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行计算是解题的关键．
原题中动点较多，小明准备先从动点的条件入手分析：
分析一：如图2，等腰三角形ABC中，，CD为AB边上的中线，
若，点M为CD的中点，于点E，连接CE，
点N为AC上一个动点，连接EN，探究EN是否存在最小值；
过程：连接AE，∵CD垂直平分AB，，M是CD的中点，
∴，，∴是等腰直角三角形，
∵，∴，∴，
∵，∴≌，
∴，∴，
∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴当时有最小值；
分析二：如图3，等腰三角形ABC中，，CD为AB边上的中线，
若，且M，N分别为CD、CA的中点，于点E，
连接CE，EN，求证：．