6.2.1两角和与差正弦、余弦、正切公式（课件）-高一数学下册同步（沪教版2020必修第二册）
展开
这是一份6.2.1两角和与差正弦、余弦、正切公式（课件）-高一数学下册同步（沪教版2020必修第二册），共21页。
第6章 三角6.2.1两角和与差正弦、余弦、正切公式温故知新回顾诱导公式 诱导公式六： 两角差的余弦公式【探究】如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正余弦吗？【分析】如图，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ， 以 轴非负半轴为始边作角α、β，α-β，它们的 终边分别与单位圆相交于点 连接 ， .若把扇形 绕着点 旋转β角，则点A、P分别与点 重合.根据圆的旋转对称性可知， 与 重合，从而 = ，所以 = α终边β终边α-β终边 根据两点间距离公式，得到等式： 化简得 两角差的余弦公式【探究】由此我们得到了当 时，容易证明上式依然成立.所以，对于任意角α，β，都有 α终边β终边α-β终边 此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦和其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，记为 由公式 可知，只要知道了 的值，就可以求出 的值. 另外，式中的角α，β都是任意角，可以是一个角，也可以是角的组合，如： 【例1】利用公式 证明【证明】 【例2】已知 β是第三象限角，求 的值.【解】由 ，得 又由 ，β是第三象限角，得 所以 两角和的余弦公式【推导】我们以 为基础，推导出其他公式. 这样就可以得到两角和的余弦公式，即 也就是说，和角余弦等于同名积之差，差角余弦等于同名积之和.与两角差的余弦公式相比较下 余余正正符号相反问题2：怎样用角α和角β的三角函数表示角 α+β和 角α-β的正弦呢？提示:利用诱导公式五(或六)可以实现正弦,余弦的互化=sincos+cossin两角和与差的正弦公式【1】由诱导公式五： ，可得： 两角和与差的正弦公式【2】由诱导公式六： ，可得： 即 正余余正符号相同( C(-) )( C(+) )cos(-)= coscos+sinsincos(+)= coscos-sinsin( S(+) )( S(-) ) sin(+)= sincos+cossinsin( -)= sincos-cossin注意公式的结构特征和符号的规律：对于公式C(α-β)、C(α+β)可记为“同名相乘，符号反”对于公式S(α+β)、S(α-β)可记为“异名相乘，符号同”比一比例题讲解解:是第四象限角,得两角和与差的正切公式根据推导经验，有 在上式中，用-β替换β，得到 即 分子同相加，1减他们俩分子同相减，1加他们俩 式中的α、β、α+β可以是任意值吗？两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系C(-)六个公式之间的关系和推导【和角公式】 【差角公式】 以-β替换β 以-β替换β 作 商作 商以-β替换β当α=β时，有： 【例3】已知 α是第四象限角，求 的值.【解】由 α是第四象限角，得 则 【例4】利用和(差)角公式计算下列各式的值.【解】(1)由公式S(α+β)，得 (2)由公式C(α+β)，得 (3)由tan45°=1及公式T(α+β)，得 二倍角的正弦、余弦、正切公式【推导】利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)，可以推导出sin2α，cos2α，tan2α的公式 当α=β时， 当α=β时， 当α=β时， 这样我们就得到了二倍角公式： 在 中，结合公式 ，得到 【例5】已知 ，求 的值.【解】由 ，得 【例6】已知 ，求 的值. 【解】由 ，即 化简得 所以小结( C(-) )( C(+) )cos(-)= coscos+sinsincos(+)= coscos-sinsin( S(+) )( S(-) )sin(+)= sincos+cossinsin(-)= sincos-cossin两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.注意公式的结构特征和符号的规律： 对于公式C(α-β)、C(α+β)可记为“同名相乘，符号反” 对于公式S(α+β)、S(α-β)可记为“异名相乘，符号同”2.使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式。温馨提示：THANKS“”
