湖南省岳阳市临湘市2025届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省岳阳市临湘市2025届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．若a,,且,则( )
A.B.C.D.
3．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：，铜的密度为8.96）( )
A.1kgB.2kgC.3kg
4．已知,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．在中，D为边上一点，，且的面积为，则( )
A.B.C.D.
6．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为( )
A.B.C.2D.
8．已知函数,对任意,不等式恒成立，则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知数列是等差数列，是等比数列，则下列说法中正确的是( )
A.将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列
B.数列，，，…，是等差数列
C.将数列的前m项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列
D.数列，，，，…，是等比数列
10．已知函数和且，若两函数图象相交，则其交点的个数可能是( )
A.1B.2C.3D.4
11．已知函数的定义域为R，，，则( )
A.B.
C.为奇函数D.
12．设是定义在R上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是( )
A.都是的周期
B.曲线关于点对称
C.曲线关于直线对称
D.都是偶函数
三、填空题
13．已知,,,均为锐角,则________.
14．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则_________.
15．设函数，若恒成立，则的最小值为_________.
16．已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为_________.
四、解答题
17．的内角所对的边分别为，D是边上的一点，且满足，若，.
(1)求B；
(2)求三角形的面积
18．已知向量，，函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)设，若对于恒成立，求t的最小值
20．一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间
(1)以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；
(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？
21．已知椭圆C的标准方程，其左右焦点分别为.
(1)过点的直线交椭圆C于两点，若，求直线的方程；
(2)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和.若分别是线段和的中点，证直线过定点，并求面积的最大值
22．多元导数在微积分学中有重要的应用设y是由a，b，c…等多个自变量唯一确定的因变量，则当a变化为时，y变化为，记为y对a的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则y随着a的增大而增大；反之，已知，则y随着a的增大而减小多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（为自然对数的底数），
(1)写出和的表达式；
(2)已知方程有两实根，.
①求出a的取值范围；
②证明，并写出随a的变化趋势
参考答案
1．答案：B
解析：因为,
其在复平面内对应的点为,位于第二象限.
故选:B.
2．答案：B
解析：由得,当时,,此时,,故CD错误,
当时,,此时A错误,
综上可知,当时,则成立,故B正确,
故选:B.
3．答案：A
解析：由题意可得惊鸟铃的体积约为长，
所以该惊鸟铃的质量约为（kg）.
故选：A.
4．答案：A
解析：若,,,则,充分性成立;
若,可能,,此时,所以必要性不成立.
综上所述,“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
5．答案：A
解析：因为
解得，
所以为等腰三角形，则，
在中由正弦定理可得
即，解得，
因为，所以为锐角
所以，
所以
.
故选：A
6．答案：C
解析：依题意可得，因为
所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点
又，的图像如下所示：
则
解得
即.
故选：C
7．答案：A
解析：由题意得直线l为
双曲线的渐近线方程为，
由
得，即，
由
得，即，
因为，所以，
所以，化简得，
所以，
所以双曲线的离心率为.
故选：A
8．答案：C
解析：依题意，①
因为，
当时，对任意的，，，，恒有；
当时，，，，，恒有；
所以在是单调递增函数
那么对任意的，
不等式恒成立，
只需，②
因为
，
所以
即
即，
所以，从而有
而当时，①显然成立
故选:C
9．答案：ABD
解析：对于A:设的公差为d，将数列的前m项去掉
其余各项依次为，则
故构成的数列依然是等差数列，正确；
对于B：因为数列是等差数列
所以数列，，
，…，
所以构成公差为9d的等差数列，正确；
对于C：设的公比为q，等比数列去掉前m项后，其余各项依次为
所以依然构成等比数列，错误；
对于D：设公比为q,所以
故数列，，，，…，是等比数列，正确
故选:ABD
10．答案：ABC
解析：(一)当时，函数和的图像呈现以下三种情况：
如图2，当函数和的图像只有一个公共点时
此公共点必在直线上
且函数图像在此公共点的切线即为直线，，
所以有
则，
所以，
即公共点为，
结合图像有以下结论：
(1)当时，函数和的图像没有公共点（如图1）；
(2)当函数和的图像只有一个公共点（如图2）；
(3)当函数和的图像有两个公共点（如图3）.
(二)当时，函数和的图像呈现以下三种情况（把图像适当放大）：
图5中，函数和的图像只有一个公共点
此公共点在直线上，且在该公共点处，有公切线
此公切线斜率为-1（与直线垂直），
所以
解得
即公共点为，
结合图像得以下结论：
(4)当时，函数和的图像有三个公共点（如图4）；
(5)当时，函数和的图像有一个公共点（如图5）；
(6)当时，函数和的图像有一个公共点（如图6）；
(5)(6)可合二为一：当时，函数和的图像有一个公共点
综上，函数与的图像的交点个数可为0，1，2，3，
故选：ABC.
11．答案：BCD
解析：令，
则
将代入得
即，故A错误；
由，令可得
若存在x使得，
则上式变为，显然不成立，所以，
又，
因为，所以，
将
整理为，
因为，即
所以，故B正确；
令，
则
且
所以为奇函数，故C正确；
当时，
，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列
所以，
由可知，
因为
所以，
所以
故D正确；
故选：BCD.
12．答案：BC
解析：由是奇函数
故有
即有，
故，则
即
故关于对称，
由，则
即，
故关于中心对称，
由，则，
又，
故，即有，
则，故，
即，故，故周期为4.
对A：当时，，故A错误；
对B：由周期为4，故，
又，故
故，
故曲线关于点对称，故B正确；
对C：由周期为4，故，
又，故，
故曲线关于直线对称，故C正确；
对D：由B得，故，又周期为4，
故有，故，又，
即都是奇函数，故D错误
故选：BC.
13．答案：
解析：因为,均为锐角,所以.
又,所以.
又,所以,
所以
.
所以.
故答案为:
14．答案：
解析：从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，
其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，
所以.
故答案为：.
15．答案：
解析：当时，
当时，，
当时，
当时，；
若恒成立
则必须，即，
所以
所以当，时，
取到最小值.
故答案为：
16．答案：
解析：结合解析式可知当时，
当时，.
因为，所以.
令，得，则，
故.
令
则，
令得
令得，
所以函数在上单调递减
在上单调递增，
所以，
当时，，
因为
所以.
所以的取值范围为.
故答案为：
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为
由正弦定理得，
整理可得
即，
且，则，可得，
因为，所以.
(2)因为
可得
两边平方得
即，
整理可得，解得（舍负），
所以三角形的面积.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)
，
则函数的最小正周期.
(2)由(1)可知
当，即时，取得最大值为2
则，，
因为平分
所以
则点D分别到的距离，
由
则
即，整理可得，
当且仅当，即时，等号成立，
故最小值为.
19．答案：(1)
(2)单调递增区间是，递减区间是
(3)
解析：(1)由题
在处，，，
所以曲线在处的切线方程为.
(2)由(1)可得，
因为，故与同号
令
因为与在R上单调递增，
所以在R上单调递增，
因为
所以0是的唯一零点，
所以0是的唯一解，
与的情况如下：
所以的单调递增区间是，递减区间是.
(3)且时
又由(2)知函数在上单调递增，
若对于恒成立
则，两边取对数得，
所以对于恒成立，
设
则，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
所以t的最小值为.
20．答案：(1)
(2)2秒
解析：(1)设，
根据函数的物理意义可知：
，
由题意可知当时，，
则
所以，
则，
又因为函数的最小正周期为，
所以，
所以；
(2)根据题意可知，，
即，
当水轮转动一圈时，
可得：，
所以此时，
解得，
又因为（秒，
即水轮转动任意一圈内，有2秒的时间点P距水面的高度不低于2米
21．答案：(1)或
(2)证明见解析，
解析：(1)由椭圆方程可知：，
则，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为
，
联立
消去y得，，
所以
即.
且，
因为，所以，
所以
即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或.
(2)由题意，，
设直线的方程为，，
则直线的方程为，，
联立
消去y得，
所以
所以
所以，
同理联立
消去y得，
所以
所以
所以，
即的中点.
所以
当且仅当
即时取等号，
所以的面积最大值为.
22．答案：(1)，
(2)①
②证明见解析，随a增大而减小
解析：(1)设，
则
同理.
(2)①由(1)，可得
则，且时，，，
即单调递减，时，即单调递增，
故，
又由时，趋近于0的速度远远快于趋近于的速度，
故，
因此只需且，
即由零点存在性定理，，
存在两个零点，故；
②由
，
由①可得，
故只需证明，
令
设，
则
且，
则，
又
单调递增
且
故，单调递增
则，
必然
否则即单调递减，不符合题意，
，故原命题成立。
所以随a增大而减小
x
0
－
0
＋
极小值