苏科版数学八上期末专题复习专题15 平面直角坐标系与一次函数重难考点分类练（十五大考点）（2份，原卷版+解析版）

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实战训练
一．象限中点的坐标的特征
1．若点P的坐标是（2a+1，a﹣4），且P点到两坐标轴的距离相等，则P点的坐标是 （﹣9，﹣9）或（3，﹣3） ．
试题分析：根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程求出a的值，然后求解即可．
答案详解：解：∵点P（2a+1，a﹣4）到两坐标轴的距离相等，
∴|2a+1|＝|a﹣4|，
∴2a+1＝a﹣4或2a+1＝﹣（a﹣4），
解得a＝﹣5或a＝1，
当a＝﹣5时，点P的坐标为（﹣9，﹣9），
当a＝1时，点P的坐标为（3，﹣3），
综上所述，点P的坐标为（﹣9，﹣9）或（3，﹣3），
所以答案是：（﹣9，﹣9）或（3，﹣3）．
2．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标是（m2+1，﹣2020），则点P的位置在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
试题分析：直接利用非负数的性质结合点的坐标特点得出所在象限．
答案详解：解：∵m2≥0，
∴m2+1＞0，
∴点P（m2+1，﹣2020）的位置在第四象限．
所以选：D．
二．点的轴对称
3．已知点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2019的值为 ﹣1 ．
试题分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，进而可得（a+b）2019的值．
答案详解：解：∵点P1（a﹣1，5）和P2（2，b﹣1）关于x轴对称，
∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，
解得：a＝3，b＝﹣4，
∴（a+b）2019＝﹣1．
所以答案是：﹣1．
4．在平面直角坐标系中，若点A（a﹣1，b+1）和B（﹣3，a﹣3）关于直线x＝1对称，则a+b＝ 8 ．
试题分析：直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出a，b的值，进而得出答案．
答案详解：解：∵点A（a﹣1，b+1）和B（﹣3，a﹣3）关于直线x＝1对称，
∴1，b+1＝a﹣3，
解得：a＝6，b＝2，
则：a+b＝6+2＝8．
所以答案是：8．
三．点的旋转---钥匙：一线三直角
5．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O顺时针旋转90°到OA′，则点A′的坐标是 （4，﹣3） ．
试题分析：过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，根据旋转的性质可得OA＝OA′，利用同角的余角相等求出∠OAB＝∠A′OB′，然后利用“角角边”证明△AOB和△OA′B′全等，根据全等三角形对应边相等可得OB′＝AB，A′B′＝OB，然后写出点A′的坐标即可．
答案详解：解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，
∵OA绕坐标原点O顺时针旋转90°至OA′，
∴OA＝OA′，∠AOA′＝90°，
∵∠A′OB′+∠AOB＝90°，∠AOB+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠A′OB′，
在△AOB和△OA′B′中，
，
∴△AOB≌△OA′B′（AAS），
∴OB′＝AB＝4，A′B′＝OB＝3，
∴点A′的坐标为（4，﹣3）．
所以答案是：（4，﹣3）．
6．如图，Rt△AOB放置在坐标系中，点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（0，2），把Rt△AOB绕点A按顺时针旋转90° 后得Rt△AO′B′，则B′的坐标是 （3，1） ．
试题分析：根据点A、B的坐标求出OA、OB，根据旋转角判断出AO′⊥x轴，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得AO′＝OA，O′B′＝OB，然后求出点B′的横坐标与纵坐标，即可得解．
答案详解：解：∵点A（1，0），点B（0，2），
∴OA＝1，OB＝2，
∵Rt△AOB绕点A按顺时针旋转90° 后得Rt△AO′B′，
∴AO′⊥x轴，AO′＝OA＝1，O′B′＝OB＝2，
∴点B′的横坐标为：1+2＝3，
纵坐标为1，
∴点B′的坐标为（3，1）．
所以答案是：（3，1）．
7．平面直角坐标系中，将点A（3，4）绕点B（1，0）旋转90°，得到点A的对应点A'的坐标为 （﹣3，2）或（5，﹣2） ．
试题分析：根据旋转的性质分两种情况：点A绕点B顺时针和逆时针旋转画图求解即可．
答案详解：解：如图，
点A（3，4）绕点B（1，0）顺时针或逆时针旋转90°，
得到点A的对应点A'的坐标为（5，﹣2），A″（﹣3，2）．
所以答案是：（﹣3，2）或（5，﹣2）．
四．关于原点的中心对称
8．若点P（a+4，﹣5﹣b）与点Q（2b，2a+8）关于原点成中心对称，a+b2＝ ﹣1 ．
试题分析：首先根据点P（a+4，﹣5﹣b）与点Q（2b，2a+8）关于原点成中心对称，可得a＝﹣2，b＝﹣1，然后把a、b的值代入，求出a+b2的值为多少即可．
答案详解：解：∵点P（a+4，﹣5﹣b）与点Q（2b，2a+8）关于原点成中心对称，
∴a+4+2b＝0，﹣5﹣b+2a+8＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，
∴a+b2＝﹣2+1＝﹣1．
所以答案是：﹣1．
9．在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为 5 ．
试题分析：直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的方程组进而得出x，y的值，即可得出答案．
答案详解：解：∵点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，
∴，
解得：，
故x2﹣y2＝9﹣4＝5．
所以答案是：5．
五．黄金公式之--两点间的距离公式
10．已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（3，﹣1），则A、B两点间的距离等于 2 ．
试题分析：根据两点间的距离公式d解答即可．
答案详解：解：∵直角坐标平面内两点 A（﹣3，1）和B（3，﹣1），
∴A、B两点间的距离等于2，
所以答案是2．
11．在平面直角坐标系中，有A（﹣2，a+1），B（a﹣1，4），C（b﹣2，b）三点．
（1）当AB∥x轴时，求A、B两点间的距离；
（2）当CD⊥x轴于点D，且CD＝1时，求点C的坐标．
试题分析：（1）根据平行于x轴的一条直线上点的纵坐标相等求得a值，进一步求得A、B两点间的距离即可；
（2）根据垂直于x轴的一条直线上点的横坐标相等得到D（b﹣2，0），再根据CD＝1，可得|b|＝1，求得b值，从而得到点C的坐标．
答案详解：解：（1）∵AB∥x轴，∴A、B两点的纵坐标相同．
∴a+1＝4，
解得a＝3．
∴A、B两点间的距离是|（a﹣1）+2|＝|3﹣1+2|＝4．
（2）∵CD⊥x轴，
∴C、D两点的横坐标相同．
∴D（b﹣2，0）．
∵CD＝1，
∴|b|＝1，
解得b＝±1．
当b＝1时，点C的坐标是（﹣1，1）．
当b＝﹣1时，点C的坐标是（﹣3，﹣1）．
六．格点中的坐标
12．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（﹣2，0），点B在y轴的正半轴上，且OB＝2OA，将线段AB绕着A点顺时针旋转90°，点B落在点C处．
（1）分别求出点B、点C的坐标．
（2）在x轴上有一点D，使得△ACD的面积为3，求：点D的坐标．
试题分析：（1）根据题意画出图形即可解决问题；
（2）设D（m，0），由题意•|m﹣2|•2＝3，求出m即可解决问题；
答案详解：解：（1）由图象可知，B（0，4），C（2，﹣2）；
（2）设D（m，0），由题意•|m﹣2|•2＝3，
解得m＝﹣5和1，
∴D（1，0）或（﹣5，0）．
七．动点问题的函数图象
13．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
试题分析：△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
答案详解：解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y2x＝x，
当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y2×2＝2，
符合题意的函数关系的图象是A；
所以选：A．
八．函数图像的意义
14．一天早晨，慧慧从家出发匀速步行到学校．慧慧出发一段时间后，她的爸爸发现慧慧忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿慧慧行进的路线，匀速去追慧慧．爸爸追上慧慧将学习用品交给慧慧后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，爸爸返回时骑车的速度只是原来速度的一半．慧慧继续以原速度步行前往学校．爸爸与慧慧之间的距离y（米）与慧慧从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（慧慧和爸爸上、下楼以及爸爸交学习用品给慧慧耽搁的时间忽略不计）．对于以下说法，正确的结论是（ ）
A．学校离家的距离是1000米
B．爸爸去时的速度为60米/分钟
C．爸爸从追上慧慧到返回家中共用时25分钟
D．当爸爸刚回到家时，慧慧离学校的距离为200米
试题分析：由图象可知：家到学校总路程为1200米，分别求慧慧和爸爸的速度，妈妈返回时，根据“爸爸返回时骑车的速度只是原来速度的一半”，得速度为60米/分，可得返回时又用了10分钟，此时慧慧已经走了25分，还剩5分钟的总程．
答案详解：解：由图象得：家到学校总路程为1200米，故A错误，不符合题意；
慧慧步行速度：1200÷30＝40（米/分），
由函数图象得出，爸爸在慧慧10分后出发，15分时追上慧慧，
设爸爸去时的速度为v米/分，
（15﹣10）v＝15×40，
v＝120，
∴爸爸去时的速度为120米/分，故B错误，不符合题意；
则爸爸回家时的速度为：120÷2＝60（米/分）
则爸爸回家的时间：15×40÷60＝10（分），
∴爸爸从追上慧慧到返回家中共用时（15﹣10）×2＝10（分），故C错误，不符合题意；
（30﹣15﹣10）×40＝200（米）．即当爸爸刚回到家时，慧慧离学校的距离为200米，故D正确，符合题意；
所以选：D．
15．甲、乙两人在直线跑道上同起点，同终点，同方向匀速跑200米，先到终点的人原地休息．已知甲先跑8米，乙才出发，在跑步过程中，甲、乙两人的距离s（单位：米）与乙出发的时间t（单位：秒）之间的关系如图所示，则图中a的值是（ ）
A．44B．46C．48D．50
试题分析：乙的速度为200÷40＝5（米/秒），由追击问题可以求出甲的速度，即可得出结论．
答案详解：解：由题意，得
乙的速度为：200÷40＝5（米/秒），
甲的速度为：（5×8﹣8）÷8＝4（米/秒），
a＝（200﹣8）÷4＝48（秒）．
所以选：C．
九．一次函数图象上点的坐标特征
16．已知点P（a，b）在一次函数y＝2x+1的图象上，则2a﹣b＝ ﹣1 ．
试题分析：把P点的坐标代入，再求出答案即可．
答案详解：解：∵点P（a，b）在一次函数y＝2x+1的图象上，
∴代入得：b＝2a+1，
∴2a﹣b＝﹣1，
所以答案是：﹣1．
17．已知点A（﹣2，0），点P是直线yx上的一个动点，当以点A，O，P为顶点的三角形面积是3时，点P的坐标为 （4，3）或（﹣4，﹣3） ．
试题分析：根据以点A，O，P为顶点的三角形面积是3时和点A（﹣2，0），可以求得点P到x轴的距离，然后分类讨论代入一次函数解析式，即可求得点P的坐标．
答案详解：解：∵点A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∵以点A，O，P为顶点的三角形面积是3时，
设点P到x轴的距离为a，
∴，得a＝3，
∵点P在直线yx上，
∴当y＝3时，3x，得x＝4，
当y＝﹣3时，﹣3x，得x＝﹣4，
∴点P的坐标为（4，3）或（﹣4，﹣3），
所以答案是：（4，3）或（﹣4，﹣3）．
十．一次函数与一元一次不等式
18．如图，在坐标系中，一次函数y＝﹣2x+1与一次函数y＝x+k的图象交于点A（﹣2，5），则关于x的不等式x+k＞﹣2x+1的解集是 x＞﹣2 ．
试题分析：结合函数图象，写出直线y＝x+k在直线y＝﹣2x+1上方所对应的自变量的范围即可．
答案详解：解：∵一次函数y＝﹣2x+1与一次函数y＝x+k的图象交于点A（﹣2，5），
∴当x＞﹣2时，x+k＞﹣2x+1，
即关于x的不等式x+k＞﹣2x+1的解集为x＞﹣2．
所以答案是x＞﹣2．
19．若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解集为（ ）
A．x＜0B．x＞0C．x＜1D．x＞1
试题分析：直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．
答案详解：解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．
所以选：D．
十一．两条直线相交---方程思想
20．如图，一次函数y＝mx+2m+3的图象与yx的图象交于点C，且点C的横坐标为﹣3，与x轴、y轴分别交于点A、点B．
（1）求m的值与AB的长；
（2）若点Q为线段OB上一点，且S△OCQS△BAO，求点Q的坐标．
试题分析：（1）把点C的横坐标代入正比例函数解析式，求得点C的纵坐标，然后把点C的坐标代入一次函数解析式即可求得m的值，从而得到一次函数的解析式，则易求点A、B的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB；
（2）由S△OCQS△BAO得到OQ的长，即可求得Q点的坐标．
答案详解：解：（1）∵点C在直线上，点C的横坐标为﹣3，
∴点C坐标为（﹣3，），
又∵点C在直线y＝mx+2m+3上，
∴，
∴，
∴直线AB的函数表达式为，
令x＝0，则y＝6，令y＝0，则x+6＝0，解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，0）、B（0，6），
∴AB；
（2）∵，
∴，
∴OQ＝2，
∴点Q坐标为（0，2）．
21．若一次函数y＝﹣x+a与y＝x+b的图象的交点坐标（m，1010），则a+b＝ 2020 ．
试题分析：根据两直线相交的问题，把（m，1010）分别代入y＝﹣x+a和y＝x+b得﹣m+a＝1010，m+b＝1010，然后把两等式相加即可得到a+b的值．
答案详解：解：把（m，1010）分别代入y＝﹣x+a和y＝x+b得﹣m+a＝1010，m+b＝1010，
∴﹣m+a+m+b＝2020，
∴a+b＝2020．
所以答案是2020．
十二．图像的平移
22．若直线y＝2x+1下移后经过点（5，1），则平移后的直线解析式为 y＝2x﹣9 ．
试题分析：设平移后的解析式为：y＝2x+b，然后根据待定系数法求得即可．
答案详解：解：设平移后的解析式为：y＝2x+b，
∵将直线y＝2x+1平移后经过点（5，1），
∴1＝10+b，
解得：b＝﹣9，
故平移后的直线解析式为：y＝2x﹣9．
所以答案是：y＝2x﹣9．
23．在平面直角坐标系中，将直线y＝﹣2x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到直线的解析式是 y＝﹣2x﹣2 ．
试题分析：平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
答案详解：解：将直线y＝﹣2x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移一个单位，得到的直线的解析式是：y＝﹣2（x+2）+1+1＝﹣2x﹣2，即y＝﹣2x﹣2．
所以答案是：y＝﹣2x﹣2．
十三．一次函数的运用--利润类
24．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段CD所表示的y2与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为90kg时，获得的利润是多少？
试题分析：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）根据线段线段CD经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）先将x＝90代入（2）中所求的解析式，求出y2的值，再根据利润＝每千克利润×产量列式即可求解．
答案详解：解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设y2与x之间的函数关系式为y2＝kx+b，
∵经过点（0，120）与（130，42），
∴，
解得：，
∴线段CD所表示的一次函数的表达式为y2＝﹣0.6x+120（0≤x≤130）；
（3）将x＝90代入y2＝﹣0.6x+120，得y2＝﹣0.6×90+120＝66，
所以利润为（66﹣42）×90＝2160（元）．
答：当该产品产量为90kg时，获得的利润是2160元．
25．某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．
试题分析：（1）利润y（元）＝生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润＝生产1吨甲产品的利润0.3万元×甲产品的吨数x，即0.3x万元，生产乙产品的利润＝生产1吨乙产品的利润0.4万元×乙产品的吨数（2500﹣x），即0.4（2500﹣x）万元．
（2）由（1）得y是x的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量x的取值范围再确定当x取何值时，利润y最大．
答案详解：解：（1）y＝0.3x+0.4（2500﹣x）＝﹣0.1x+1000
因此y与x之间的函数表达式为：y＝﹣0.1x+1000．
（2）由题意得：
∴1000≤x≤2500
又∵k＝﹣0.1＜0
∴y随x的增大而减少
∴当x＝1000时，y最大，此时2500﹣x＝1500，
因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大．
十四．一次函数的运用--行程类
26．一辆快车与一辆慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一路线相向而行，抵达对方出发地时停止运动．设慢车行驶xh时，两车之间的路程为ykm．图中折线ABCD表示y与x的函数关系，根据图象，解决以下问题：
（1）慢车的速度为 80 km/h，快车的速度为 120 km/h；
（2）解释图中点C的实际意义，求出点C的坐标；
（3）当x取何值时，y＝500？
试题分析：（1）根据图象可知两车3.6小时相遇，而慢车行驶9小时到达对方，所以易求慢车的速度，从而根据两车相遇求出快车速度；
（2）由图象可知，在C点前图象比之后倾斜程度要大，表明此时快车到达了对方，停止了运动，从而y变化减小，根据路程与两车速度可求出C点的坐标；
（3）y＝500时，应考虑两车相遇前与相遇后两种情况，进行分类讨论即可得出时间．
答案详解：解：（1）由图象可知两车3.6小时相遇，且慢车行驶9小时驶完全程720km，
∴慢车的速度为720÷9＝80km/h，
设快车的速度为xkm/h，根据相遇时间可得
3.6（80+x）＝720
可得x＝120
所以答案是80，120．
（2）∵快车的速度为120km/h，
∴快车驶完全程的时间为720÷120＝6
此时慢车行驶的路程为80×6＝480
∴C点的坐标为C（6，480）
点C表示的意义为：当行驶时间为6h时，快车到达了乙地，此时慢车已行驶480km．
（3）由图象可知，两车相遇时间是3.6小时，
因此y＝500要分相遇前与相遇后两种情况
①两车相遇前：（120+80）x＝720﹣500
解得x＝1.1
②两车相遇后，由C点的意义可知，快车到达乙地时，两车相距480km，
此时快车停止运动，剩下20km由慢车继续行驶，于是有
500﹣480＝（x﹣6）×80
解得x＝6.25
故当x＝1.1或6.25时，y＝500．
27．一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程y1（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中AB所示；慢车离乙地的路程y2（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段OC所示，根据图象进行以下研究．
解读信息：
（1）甲，乙两地之间的距离为 450 km；
（2）线段AB的解析式为 y1＝450﹣150x（0≤x≤3） ；线段OC的解析式为 y2＝75x （0≤x≤6） ；
问题解决：
（3）设快，慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式，并画出函数图象．
试题分析：（1）利用A点坐标为（0，450），可以得出甲，乙两地之间的距离；
（2）利用A点坐标为（0，450），B点坐标为（3，0），代入y1＝kx+b求出即可，利用线段OC解析式为y2＝ax 求出a即可；
（3）利用（2）中所求得出，y＝|y1﹣y2|进而求出函数解析式，得出图象即可．
答案详解：解：（1）根据左图可以得出：甲、乙两地之间的距离为450km；
所以答案是：450km；
（2）问题解决：线段AB的解析式为：y1＝kx+b，根据A点坐标为（0，450），B点坐标为（3，0），
得出：，
解得：
故y1＝450﹣150x（0≤x≤3）；
将（6，450）代入y2＝ax 求出即可：
y2＝75x，
故线段OC的解析式为 y2＝75x （0≤x≤6）；
（3）根据（2）得出：
y＝|y1﹣y2|＝|450﹣150x﹣75x|，
∵y1＝450﹣150x（0≤x≤3）；
y2＝75x，
∴D（2，150），
利用函数解析式y＝450﹣225x（0≤x≤2），当x＝0，y＝450，x＝2，y＝0，画出线段AE，
利用函数解析式y＝225x﹣450（2≤x＜3），当x＝2，y＝0，x＝3，y＝225，画出线段EF，
利用函数解析式y＝75x（3≤x≤6），当x＝3，y＝225，x＝6，y＝450，画出线段FC，
求出端点，画出图象，其图象为折线图AE﹣EF﹣FC．
十五．一次函数的综合题
28．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．
（1）请直接写出直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
试题分析：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b，即可求解；
（2）证明△ABC为等腰直角三角形，则S△ABCAB2；
（3）分点P在第一象限、点P在第四象限两种情况，分别求解即可．
答案详解：解：（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线l的表达式为：；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABCAB2；
（3）连接BP，PO，PA，则：
①若点P在第一象限时，如图1：
∵S△ABO＝3，S△APOa，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO，
即，解得；
②若点P在第四象限时，如图2：
∵S△ABO＝3，S△APOa，S△BOP＝1，
∴S△ABP＝S△AOB+S△APO﹣S△BOP，
即，解得a＝﹣3；
故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．
备注：②还看参考一下方法：
过点P作PD∥y轴交AB于点D，则点D（1，），
则△PAB的面积DP×（xA﹣xB）3×|a|，解得a或﹣3．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B（0，2），P为线段OA上一个动点，Q为第二象限的一个动点，且满足PQ＝PA，OQ＝OB．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）若△OPQ为直角三角形，试求点P的坐标，并判断点Q是否在直线AB上．
试题分析：（1）首先设直线AB的函数关系式为：y＝kx+b，由直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B（0，2），利用待定系数法即可求得直线AB的函数关系式；
（2）由△OPQ为直角三角形，则可判定∠PQO＝90°，然后设AP＝PQ＝a，PO＝4﹣a，由勾股定理可得方程：（4﹣a）2＝a2+22，继而求得答案．
答案详解：解：（1）设直线AB的函数关系式为：y＝kx+b，
∵点A（﹣4，0），点B（0，2），
∴，
解得：，
∴直线AB的函数关系式为：yx+2；
（2）∵△OPQ为直角三角形，
①若∠POQ＝90°，则点Q在y轴上，
∵Q为第二象限的一个动点，
∴矛盾，
∴∠POQ≠90°；
②若∠QPO＝90°，
则PA＝PQ＜OQ，PO＜OQ，
∵OQ＝OB＝2，PO＜2，
∴OA＝OP+PA＜4，
∵OA＝4，
∴矛盾，
∴∠QPO≠90°；
③若∠PQO＝90°，设AP＝PQ＝a，PO＝4﹣a，
∴（4﹣a）2＝a2+22，
解得：a，
∴PO＝4﹣a，
∴点P的坐标为：（，0），
过点Q作QH⊥OP于点H，
∴QH，
∴OH，
∴点Q的坐标为：（，）；
∵当x时，y（）+2，
∴点Q在直线AB上．
30．如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数yx+3的图象经过点B、C．
（1）点C的坐标为 （0，3） ，点B的坐标为 （﹣4，2） ；
（2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O'与O关于直线l对称，连接CO'并延长，交射线AB于点D．
①求证：△CMD是等腰三角形；
②当CD＝5时，求直线l的函数表达式．
试题分析：（1）设点C的坐标为（0，y），把x＝0代入yx+3中得y＝3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（﹣4，y），把x＝﹣4代入yx+3中得y＝2，即可求出B点的坐标；
（2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD＝∠MCD，故MD＝CD，所以CMD是等腰三角形；
②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可．
答案详解：解：（1）如图①，∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线yx+3经过点B、C，
设点C的坐标为（0，y），把x＝0代入yx+3中得y＝3，
∴C（0，3）；
设点B的坐标为（﹣4，y），把x＝﹣4代入yx+3中得y＝2，
∴B（﹣4，2）；
所以答案是：（0，3）；（﹣4，2）；
（2）①证明：∵AB∥y轴，
∴∠OCM＝∠CMD．
∵∠OCM＝∠MCD，
∴∠CMD＝∠MCD，
∴MD＝CD，
∴CMD是等腰三角形；
②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．
在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP3，
∴OP＝AD＝CO+CP＝3+3＝6，
∴AM＝AD﹣DM＝6﹣5＝1，
∴点M的坐标是（﹣4，1）．
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得
，
解得，
故直线l的解析式为yx+3．