备战2025年高考数学精品课件第八章 第5讲 椭圆

这是一份备战2025年高考数学精品课件第八章 第5讲 椭圆，共60页。PPT课件主要包含了1定义，思维拓展，椭圆的几何性质，a2＝b2＋c2，常用结论，角度1离心率，方法技巧，ABD，ACD等内容，欢迎下载使用。
1. 椭圆的定义和标准方程
平面内与两个定点 F 1， F 2的距离的和等于① (大于｜ F 1 F 2｜)的点的轨迹 叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的② ，两焦点间的距离叫做椭圆的③ ⁠ ⁠.
集合语言： P ＝{ M ｜｜ MF 1｜＋｜ MF 2｜＝2 a ，2 a ＞｜ F 1 F 2｜}，｜ F 1 F 2｜＝2 c ，其中 a ＞ c ＞0，且 a ， c 为常数.
注意　 若2 a ＝｜ F 1 F 2｜，则动点的轨迹是线段 F 1 F 2；若2 a ＜｜ F 1 F 2｜，则动点 的轨迹不存在.
(2)标准方程 a.中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为④ ( a ＞ b ＞ 0)；b.中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为⑤ ( a ＞ b ＞0).
椭圆的第二定义、第三定义
椭圆的第三定义：{ P ｜ kPA · kPB ＝ e 2－1，0＜ e ＜1，其中 kPA ， kPB 分别表示点 P 与 两定点 A ， B 连线的斜率， e 为离心率}.
注意　 椭圆的第三定义中的两个定点(椭圆的顶点)在 x 轴上，且利用椭圆第三定义 得出的轨迹方程不包括这两个定点.
1. 椭圆的焦点三角形
以椭圆上的点 P ( x 0， y 0)与两焦点 F 1， F 2为顶点的△ PF 1 F 2叫做焦点三角形.
如图所示，设∠ F 1 PF 2＝θ.
1. (1)的推导过程：在焦点三角形 PF 1 F 2中，由余弦定理可得｜ F 1 F 2｜2＝｜ PF 1｜2 ＋｜ PF 2｜2－2｜ PF 1｜｜ PF 2｜ cs θ，
又函数 y ＝ cs x 在(0，π)上单调递减，∴当 P 为短轴的端点时，θ最大.
3. [多选]下列说法正确的是(　CD　)
4. [易错题]平面内一点 M 到两定点 F 1(－6，0)， F 2(6，0)的距离之和等于12，则点 M 的轨迹是 ⁠.
[解析]　由题意知｜ MF 1｜＋｜ MF 2｜＝12，但｜ F 1 F 2｜＝12，即｜ MF 1｜＋｜ MF 2｜＝｜ F 1 F 2｜，所以点 M 的轨迹是线段 F 1 F 2.
线段 F 1 F 2　
[解析]　当焦点在 x 轴上时，10－ m ＞ m －2＞0，10－ m －( m －2)＝4，∴ m ＝4.当 焦点在 y 轴上时， m －2＞10－ m ＞0， m －2－(10－ m )＝4，∴ m ＝8.
6. 已知椭圆的一个焦点为 F (6，0)，且 B 1， B 2是短轴的两个端点，△ FB 1 B 2是等边 三角形，则这个椭圆的标准方程是 ⁠.
命题点1　椭圆的定义及其应用
(3)动圆 M 与圆 M 1：( x ＋1)2＋ y 2＝1外切，与圆 M 2：( x －1)2＋ y 2＝25内切，则动 圆圆心 M 的轨迹是 ⁠.
[解析]　设圆 M 的半径为 R . 因为圆 M 与圆 M 1外切，与圆 M 2内切，所以｜ MM 1｜ ＝1＋ R ，｜ MM 2｜＝5－ R ，所以｜ MM 1｜＋｜ MM 2｜＝1＋ R ＋5－ R ＝6＞｜ M 1 M 2｜＝2，所以 M 的轨迹是椭圆.
方法技巧1. 椭圆定义的主要应用(1)确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为椭圆；(2)解决与焦点有关的距离或范 围问题.2. 解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义以及余弦定理.
[解析]　设椭圆的右焦点为 F 2(1，0)，则｜ AF 2｜＝1，｜ PA ｜＋｜ PF ｜＝｜ PA ｜ ＋4－｜ PF 2｜＝4＋｜ PA ｜－｜ PF 2｜.又｜｜ PA ｜－｜ PF 2｜｜≤｜ AF 2｜＝1， 所以－1≤｜ PA ｜－｜ PF 2｜≤1，所以｜ PA ｜＋｜ PF ｜的最小值为3(此时点 P 是 射线 F 2 A 与椭圆的交点).
(3)已知△ ABC 的周长为20，且顶点 B (0，－4)， C (0，4)，则顶点 A 的轨迹方程 是 ⁠.
命题点2　椭圆的标准方程
例2 (1)[2023南京模拟]已知椭圆的两个焦点分别为 F 1(0，2)， F 2(0，－2)， P 为椭圆 上任意一点，若｜ F 1 F 2｜是｜ PF 1｜，｜ PF 2｜的等差中项，则此椭圆的标准方程 为(　D　)
方法技巧求椭圆标准方程的两种方法1. 定义法先根据椭圆的定义确定 a ， b ， c 的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方程.2. 待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a ， b 的值；若焦 点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为 mx 2＋ ny 2＝1( m ＞0， n ＞0， m ≠ n )，用待定系数法求出 m ， n 的值.
命题点3　椭圆的几何性质
1. 求椭圆离心率的方法
(3)构造关于 a ， c 的齐次式求离心率.可以不求出 a ， c 的具体值，而是得出 a 与 c 的 关系，从而求得 e .
注意　 将余弦定理与椭圆的定义结合列方程，是常见的构造关于 a ， b ， c 的齐次 式的方法.
2. 求椭圆离心率范围时，要注意对几何图形的临界情况的应用.
(2)已知 F 1， F 2是椭圆 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点.若 PF 1⊥ PF 2，且∠ PF 2 F 1 ＝60°，则 C 的离心率为(　D　)
方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路(1)代数法，设坐标，利用坐标构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值 或范围；(2)几何法，通过数形结合、几何意义等结合椭圆性质求解.
1. [命题点1，2]已知△ ABC 中， A 为动点， B (－2，0)， C (2，0)且满足 sin C ＋ sin B ＝2 sin A ，则点 A 的轨迹方程为 ⁠.
将 x 轴下方半平面沿着 x 轴翻折，使之与 x 轴上方半平面所成的角为直角，如 图所示，
[解析]　当椭圆的焦点在 x 轴上时，10－ m ＞ m －2＞0，且10－ m －( m －2)＝4， ∴ m ＝4.当椭圆的焦点在 y 轴上时， m －2＞10－ m ＞0，且 m －2－(10－ m )＝4，∴ m ＝8.∴ m ＝4或8.
3. [2024陕西检测]已知两定点 F1(－1，0)， F2(1，0)和一动点 P ，若｜F 1 F 2｜是｜ PF 1｜与｜ PF 2｜的等差中项，则动点 P 的轨迹方程为(　B　)
8. [多选/2023福州5月质检]已知椭圆 C ： px 2＋ qy 2＝ r ，且 p ， q ， r 依次成公比为2 的等比数列，则(　BC　)
[解析]　因为 P ， Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且｜ PQ ｜＝｜ F 1 F 2｜，所 以四边形 PF 1 QF 2为矩形.
解法一　设｜ PF 1｜＝ m ，｜ PF 2｜＝ n ，则 m ＋ n ＝8， m 2＋ n 2＝｜ F 1 F 2｜2＝ 48，所以( m ＋ n )2＝ m 2＋2 mn ＋ n 2＝48＋2 mn ＝64，可得 mn ＝8，即四边形 PF 1 QF 2的面积等于8.
(1)若△ POF 2为等边三角形，求 C 的离心率；
即 c ｜ y ｜＝16　①，
x 2＋ y 2＝ c 2　②，
(2)如果存在点 P ，使得 PF 1⊥ PF 2，且△ F 1 PF 2的面积等于16，求 b 的值和 a 的取 值范围.
16. [多选]已知 F 1， F 2是椭圆 C ： mx 2＋(1－ m ) y 2＝ m － m 2在 x 轴上两个不同的焦 点，点 M 在 C 上，则(　ABD　)