备战2025年高考数学精品课件第八章 第7讲 抛物线

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1. 抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F )的距离① ⁠的点的轨迹叫 做抛物线.点 F 叫做抛物线的② ，直线 l 叫做抛物线的③ ⁠.注意　 定点 F 在定直线 l 上时，动点的轨迹为过点 F 且垂直于 l 的一条直线.
2. 抛物线的标准方程与几何性质
抛物线焦点弦的几个常用结论
如图，设 AB 是一条过抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)焦点 F 的弦， AB 所在直线的倾斜角为 α，若 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)， A ， B 在准线 l 上的射影分别为 A 1， B 1，则
(4)当 N 为准线与 x 轴的交点时，∠ ANF ＝∠ BNF .
(5)通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，弦长等于2 p ，通径是过焦点的最短的弦.
(6)以弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
(7)以 A 1 B 1为直径的圆与 AB 相切，切点为 F ，∠ A 1 FB 1＝90°.
(8)当 M 1为 A 1 B 1的中点时， M 1 A ⊥ M 1 B .
(9)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切.
1. 下列说法正确的是(　D　)
2. 抛物线 y ＝4 x 2的焦点坐标为(　A　)
3. [2023湖北省十堰市调研]下列四个抛物线中，开口朝左的是(　C　)
[解析]　抛物线 y 2＝5 x 的开口朝右，抛物线 x 2＝－5 y 的开口朝下，抛物线 y 2＝－5 x 的开口朝左，抛物线 x 2＝5 y 的开口朝上.故选C.
命题点1　抛物线的定义及其应用例1 (1)[全国卷Ⅰ]已知 A 为抛物线 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距 离为12，到 y 轴的距离为9，则 p ＝(　C　)
(2)[2022全国卷乙]设 F 为抛物线 C ： y 2＝4 x 的焦点，点 A 在 C 上，点 B (3，0)， 若｜ AF ｜＝｜ BF ｜，则｜ AB ｜＝(　B　)
方法技巧利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否 为抛物线.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，在解题过程 中注意两者之间的相互转化.(3)最值问题：通过距离转化，利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解.
训练1 [多选/2023惠州市二调]设抛物线 C ： y 2＝8 x 的焦点为 F ，准线为 l ，点 M 为 C 上一动点， E (3，1)为定点，则下列结论正确的是(　AD　)
(2)[2021新高考卷Ⅰ]已知 O 为坐标原点，抛物线 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ， P 为 C 上一点， PF 与 x 轴垂直， Q 为 x 轴上一点，且 PQ ⊥ OP . 若｜ FQ ｜＝6，则 C 的准线方程为 ⁠.
方法技巧抛物线的标准方程的求法(1)定义法根据抛物线的定义求出 p .标准方程有四种形式，要注意判断焦点位置及开口方向.(2)待定系数法当焦点位置不确定时，注意分类讨论.对于焦点在 x 轴上的抛物线的方程可设为 y 2＝ mx ( m ≠0)，焦点在 y 轴上的抛物线的方程可设为 x 2＝ my ( m ≠0).
训练2 (1)若抛物线的对称轴为坐标轴，焦点在直线 x －2 y －4＝0 上，则此抛物线的 标准方程为 ⁠.
[解析]　由 x －2 y －4＝0，令 x ＝0，得 y ＝－2；令 y ＝0，得 x ＝4.所以抛物线的焦 点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为 y 2＝16 x 或 x 2＝－8 y .
y 2＝16 x 或 x 2＝－8 y 　
(2)如图，过抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A ， B ， C ，若｜ BC ｜＝2｜ BF ｜，且｜ AF ｜＝3，则抛物线的方程为 ⁠.
方法技巧应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出拋物线 的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
巧用抛物线中的阿基米德三角形的几何性质例4 [2023温州市第一次适应性考试]已知 P 为直线 y ＝－ x －1上一动点，过点 P 作抛 物线 C ： x 2＝2 y 的两条切线，切点分别记为 A ， B ，则原点 O 到直线 AB 距离的最 大值为(　B　)
同理可得，直线 PB ： y ＝ x 2 x － y 2.因为点 P 是直线 y ＝－ x －1上一动点，所以不妨设 P ( t ，－ t －1)，则－ t －1＝ x 1 t － y 1，－ t －1＝ x 2 t － y 2，
所以直线 AB ： tx － y ＋ t ＋1＝0.直线 tx － y ＋ t ＋1＝0过定点 G (－1，1)，
例5 [2021全国卷乙]已知抛物线 C ： x 2＝2 py ( p ＞0)的焦点为 F ，且 F 与圆 M ： x 2＋( y ＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求 p ；
(2)若点 P 在 M 上， PA ， PB 是 C 的两条切线， A ， B 是切点，求△ PAB 面积 的最大值.
方法技巧抛物线中的阿基米德三角形的几何性质圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.过抛物线 x 2＝2 py ( p ＞0)上 A ， B 两点分别作抛物线的切线，两切线相交于点 P ， 则△ PAB 为抛物线中的阿基米德三角形.若 AB 恰好过抛物线的焦点 F (如图所示)，则 △ PAB 有以下基本性质：
(1)点 P 必在抛物线的准线上.
1. [命题点1/北京高考]设抛物线的顶点为 O ，焦点为 F ，准线为 l ， P 是抛物线上异 于 O 的一点，过 P 作 PQ ⊥ l 于 Q ，则线段 FQ 的垂直平分线(　B　)
[解析]　连接 PF ，由抛物线的定义可知｜ PQ ｜＝｜ FP ｜，故线段 FQ 的垂直平分 线经过点 P .
2. [命题点2]在平面直角坐标系 xOy 中，动点 M 到定点 F (1，0)的距离比到 y 轴的距 离大1，则动点 M 的轨迹方程为 ⁠.
3. [命题点2/2023陕西渭南二模]将抛物线 y 2＝ mx 绕其顶点顺时针旋转90°之后，正好 与抛物线 y ＝2 x 2重合，则 m ＝(　A　)
即3( x ＋1)－ ty ＝0，则直线 AB 恒过点(－1，0).
所以∠ APB ＜∠A'PB'≤60°，
所以∠ APB 恒为锐角，所以选项A正确；
当直线 AB 垂直于 x 轴时，由对称性可知，此时点 P 在 x 轴上，所以 P (－4，0)，直 线 AB 的方程为 x ＝－1，又点 A 在 x 轴上方，
1. [2024福州市一检]已知点 P ( x 0，2)在抛物线 C ： y 2＝4 x 上，则点 P 到 C 的准线的 距离为(　C　)
[解析]　如图，抛物线 y 2＝4 x 的准线方程为 x ＝－1.由点 P ( x 0，2)在抛物线 C ： y 2＝4 x 上，得4＝4 x 0，所以 x 0＝1，故点 P 到 C 的准线的距离为2，选C.
2. [2024青岛市检测]设抛物线 C ： x 2＝2 py 的焦点为 F ， M ( x ，4)在 C 上，｜MF｜＝5，则 C 的方程为(　A　)
3. [2023安徽省名校联考]已知 O 为坐标原点， F 为抛物线 C ： y 2＝8 x 的焦点， M 为 C 上一点，若｜ MF ｜＝8，则△ MOF 的面积为(　A　)
7. [多选]已知点 M (2，－2)在抛物线 x 2＝2 py ( p ＞0)的准线上， F 是抛物线的焦点， 过点 M 的两条直线分别与抛物线相切于点 A ， B ，直线 MF 交直线 AB 于点 E ，则下 列结论正确的是(　BCD　)
9. [2021北京高考]已知抛物线 C ： y 2＝4 x ， C 的焦点为 F ，点 M 在 C 上，且｜FM｜＝6，则点 M 的横坐标是 ⁠.
[解析]　抛物线 C ： y 2＝4 x 的焦点 F (1，0)，准线方程为 x ＝－1，设点 M 的横坐标 为 x 0，则有 x 0＋1＝6，所以 x 0＝5.
11. [2024信阳市月考]已知直线 l 与抛物线 C ： x 2＝4 y 交于 A ， B 两点， M 是线段 AB 的中点.
(1)若直线 AB 的斜率为1，求点 M 的横坐标；
(2)若｜ AB ｜＝8，求点 M 纵坐标的最小值.
∴(1＋ k 2)( k 2＋ b )＝4　②.由 x 1＋ x 2＝4 k ，得 y 1＋ y 2＝ k ( x 1＋ x 2)＋2 b ＝4 k 2＋2 b ，故点 M 的坐标为(2 k ，2 k 2＋ b )，
12. [2023南昌市一模]“米”是象形字.数学探究课上，某同学用抛物线 C 1： y 2＝－2 px ( p ＞0)和 C 2： y 2＝2 px ( p ＞0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线 C 1， C 2的焦点分别为 F 1， F 2，点 P 在抛物线 C 1上，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线 C 2于点 Q ，若｜ PF 1｜＝2｜ PQ ｜＝4，则 p ＝(　D　)
[解析]　由题意可知，抛物线 E 的焦点为 F (2，0)，准线方程为 x ＝－2.设 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)， C (－2， y 3)，则有 x 1 x 2＝16.(过点( a ，0)的直线交抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)于 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)两点，则 x 1 x 2＝ a 2， y 1 y 2＝－2 pa )
14. [多选/2022新高考卷Ⅰ]已知 O 为坐标原点，点 A (1，1)在抛物线 C ： x 2＝2 py ( p ＞ 0)上，过点 B (0，－1)的直线交 C 于 P ， Q 两点，则(　BCD　)
因为 x 2＝ y ，所以y'＝2 x ，所以y'| x ＝1＝2，所以 C 在点 A 处的切线方程为 y －1＝2( x －1)，即 y ＝2 x －1，又点 B (0，－1)在直线 y ＝2 x －1上，所以直线 AB 与 C 相切， 所以B正确；
15. [2023江苏南京、盐城二模]已知抛物线 y 2＝4 x 的焦点为 F ，点 P 是其准线上一 点，过点 P 作 PF 的垂线，交 y 轴于点 A ，线段 AF 交抛物线于点 B . 若 PB 平行于 x 轴，则 AF 的长度为 ⁠.
(1)求 C 1的离心率；
(2)设 M 是 C 1与 C 2的公共点.若｜ MF ｜＝5，求 C 1与 C 2的标准方程.