备战2025年高考数学精品课件第八章 第6讲 双曲线

这是一份备战2025年高考数学精品课件第八章 第6讲 双曲线，共60页。PPT课件主要包含了1定义，绝对值，两条射线，思维拓展，x轴y轴，－c0，0－c，1＋∞，c2－b2，2特殊双曲线等内容，欢迎下载使用。
1. 双曲线的定义和标准方程
在平面内到两定点 F 1， F 2的距离的差的① 等于常数(小于｜ F 1 F 2｜且大 于零)的点的轨迹叫做双曲线.定点 F 1， F 2叫做双曲线的② ⁠，两焦点间的距 离叫做③ ⁠.
集合语言： P ＝{ M ｜｜｜ MF 1｜－｜ MF 2｜｜＝2 a ，2 a ＜｜ F 1 F 2｜}，｜ F 1 F 2｜＝2 c ，其中 a ， c 为常数且 a ＞0， c ＞0.
a.当2 a ＝2 c 时， P 点的轨迹是④ ⁠；
b.当2 a ＞2 c 时， P 点轨迹不存在.
(2)标准方程a.中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为⑤ ( a ＞0， b ＞0)；b.中心在坐标原点，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为⑥ ( a ＞0， b ＞0).
规律总结焦点位置的判断在双曲线的标准方程中，看 x 2项与 y 2项的系数的正负，若 x 2项的系数为正，则焦点 在 x 轴上；若 y 2项的系数为正，则焦点在 y 轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着 正的跑”.
双曲线的第二定义、第三定义
双曲线的第三定义：{ P ｜ kPA · kPB ＝ e 2－1， e ＞1，其中 kPA ， kPB 分别表示点 P 与 两定点 A ， B 连线的斜率， e 为离心率}(注意，此时确定的双曲线不包含两个顶点， 且焦点在 x 轴上).
2. 双曲线的几何性质(1)双曲线的几何性质
1. 双曲线的焦点三角形与焦半径
(2)△ PF 1 F 2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值 a .
(3)当点 P ( x 0， y 0)在双曲线右支上时，｜ PF 1｜＝ ex 0＋ a ，｜ PF 2｜＝ ex 0－ a ；当 点 P ( x 0， y 0)在双曲线左支上时，｜ PF 1｜＝－ ex 0－ a ，｜ PF 2｜＝－ ex 0＋ a .
(4)当点 P 在双曲线右支上时，｜ PF 1｜min＝ a ＋ c ，｜ PF 2｜min＝ c － a .
2. 双曲线中两个常见的直角三角形
1. 下列说法正确的是(　D　)
2. [浙江高考]渐近线方程为 x ± y ＝0的双曲线的离心率是(　C　)
4. 已知等轴双曲线过点(5，3)，则该双曲线方程为 ⁠.
命题点1　双曲线的定义及应用
(2)已知圆 C 1：( x ＋3)2＋ y 2＝1， C 2：( x －3)2＋ y 2＝9，动圆 M 同时与圆 C1和圆 C 2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹为(　C　)
[解析]　设动圆 M 的半径为 r ，由动圆 M 同时与圆 C 1和圆 C 2相外切，得｜MC 1｜＝ 1＋ r ，｜MC 2｜＝3＋ r ，｜MC 2｜－｜MC 1｜＝2＜6，所以动圆圆心 M 的轨迹是以点 C 1 (－3，0)和 C 2(3，0)为焦点的双曲线的左支.
方法技巧1. 双曲线定义的主要应用(1)确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为双曲线；(2)解决与焦点有关的距离或范围问题.2. 解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义以及余弦定理.
(2)已知 F1， F2分别为双曲线 C ： x2－ y2＝2的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠ F 1 PF 2＝60°，则△ F1 PF2的面积为 ⁠.
命题点2　求双曲线的标准方程
例2 (1)已知定点 F 1(－2，0)， F 2(2，0)， N 是圆 O ： x 2＋ y 2＝1上任意一点，点 F 1 关于点 N 的对称点为 M ，线段 F 1 M 的垂直平分线与直线 F 2 M 相交于点 P ，则点 P 的轨迹方程是(　B　)
例4 (1)[2021全国卷甲]已知 F 1， F 2是双曲线 C 的两个焦点， P 为 C 上一点，且∠ F 1 PF 2＝60°，｜ PF 1｜＝3｜ PF 2｜，则 C 的离心率为(　A　)
1. 求双曲线的离心率的方法
(3)构造关于 a ， b ， c 的齐次式求离心率：由已知条件得出关于 a ， b ， c 的齐次 式，然后转化为关于 e 的方程求解.
2. 求双曲线离心率的取值范围的方法
(1)借助平面几何图形中的不等关系求解，如焦半径｜ PF 1｜∈[ c － a ，＋∞)或｜ PF 1｜∈[ a ＋ c ，＋∞)、三角形中两边之和大于第三边等；
(2)考虑平面几何图形的临界位置，建立关于 a ， c 的不等关系求解.
角度3　与双曲线性质有关的最值(范围)问题
[解析]　不妨设点 F 为双曲线的左焦点，点 B 在 y 轴正半轴上，则 F (－ c ，0)， B (0， b )，直线 BF 的方程为 bx － cy ＝－ bc .如图所示，以 O 为圆心， A 1 A 2为直径作 圆 O ，则 P 1， P 2在圆 O 上.
方法技巧求解与双曲线性质有关的最值(范围)问题的方法1. 几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来 求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.2. 代数法：构造函数或不等式，利用函数或不等式的性质求解.
当且仅当 A ， P ， F 2三点共线，即点 P 位于P'位置时，等号成立，
2. 半径不等的两定圆 O 1， O 2无公共点( O 1， O 2是两个不同的点)，动圆 O 与圆 O1， O 2都内切，则圆心 O 的轨迹是(　D　)
[解析]　两定圆 O 1， O 2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含.设两定圆 O 1， O 2的半径分别为 r 1， r 2( r 1＞ r 2)，圆 O 的半径为 R . 又圆 O 与圆 O 1， O 2都内切，则 当两圆 O 1， O 2外离时，｜OO 1｜＝ R － r 1，｜OO 2｜＝ R － r 2，∴｜OO 2｜－｜OO 1｜＝ r 1－ r 2＜｜ O 1 O 2｜，此时圆心 O 的轨迹是双曲线的一支；当两圆 O 1， O 2内含时，｜ OO 1｜＝ r 1－ R ，｜ OO 2｜＝ R － r 2，∴｜ OO 2｜＋｜ OO 1｜＝ r 1－ r 2＞｜ O 1 O 2｜，此时圆心 O 的轨迹是椭圆.故选D.
对于C，曲线 y ＝e x －2－1过定点(2，0)，(2，0)为双曲线 C 的右焦点，故C正确；
设｜ MF 1｜＝ m ，｜ MF 2｜＝ n ，由双曲线的定义知 m － n ＝2 a ＝8.　①在Rt△ F 1 MF 2中，
由勾股定理得 m 2＋ n 2＝(2 c )2＝80，　②
14. [多选/2024南昌市模拟]已知双曲线 C ： x 2－ y 2＝2， O 是坐标原点，点 M 为双曲 线右支上的一个动点， 过点 M 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为点 A ， B ， 则下列说法正确的是(　AB　)