备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题25 立体几何平行与垂直判断与证明问题

第25讲 立体几何平行与垂直判断与证明问题

【考点预测】

1、证明空间中直线、平面的平行关系

（1）证明直线与平面平行的常用方法：

①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；

②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；

③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；

（2）证明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用两个平面垂直于同一条直线；

④证明两个平面同时平行于第三个平面.

（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

2、证明空间中直线、平面的垂直关系

（1）证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质（）；

⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定（）；

③面面垂直的性质（）；

平行线垂直平面的传递性（∥）；

⑤面面垂直的性质（）.

（3）证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（）.

【典例例题】

例1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：

①若，，则；    

②若，，，则；

③若，，则；    

④若，，则.

其中正确的命题个数为（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

例2．（2023·山东滨州·高三统考期末）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）

A．，，则

B．，，，，则

C．，，，则

D．，，，则

例3．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，，则

D．若，则

例4．（2023·高一课时练习）正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．

(1)求证：E、F、B、D共面；

(2)求证：平面平面．

例5．（2023·全国·高二专题练习）在四棱锥中，底面，四边形为边长为的菱形，，，为中点，为的中点．

(1)求证：直线平面；

(2)求直线与所成角大小．

例6．（2023·北京顺义·高二统考期末）如图，在三棱柱中，，且，底面，E为中点．

(1)求证：；

(2)求证：平面

例7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；

(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得PA//平面DEF？并证明你的结论．

例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.

例9．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别是，的中点．

(1)求证：；

(2)求三棱锥的体积．

例10．（2023春·重庆·高三统考开学考试）如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.

(1)设平面与平面的交线为，求证：；

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）下列说法中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行

D．若，，，则

2．（2023·河南郑州·高三校联考期末）已知在正方体中，交于点，则（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．

二、多选题

3．（2023·广东茂名·统考一模）已知空间中三条不同的直线a、b、c，三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，则

4．（2023春·山西忻州·高三校联考开学考试）已知直线，两个不同的平面和，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

5．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知m，n是空间中两条不同的直线，，β是两个不同的平面，Q是空间中的一个点，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

6．（2023·河北保定·高三统考期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（    ）

A．AB与CD平行 B．CD与GH是异面直线

C．EF与GH成角 D．CD与EF平行

7．（2023·福建龙岩·高三校联考期末）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（    ）

A． B． C． D．

8．（2023·河北唐山·高三统考期末）已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

9．（2023·山西晋城·高二校考期末）如图，在正方体中，下列结论正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面平面 D．平面平面

三、填空题

10．（2023·高三课时练习）已知a、b、c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是______．（写出所有满足条件的说法序号）

①若，，则；

②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；

③若a、b分别在两个相交平面上，则这两条直线可能平行、相交或异面；

④若a与c相交，b与c异面，则a与b异面．

11．（2023·高一课时练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是______．（写出所有符合条件的序号）

四、解答题

12．（2023·四川凉山·统考一模）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，，为的中点．

(1)当时，求证：平面；

(2)求三棱锥的体积．

13．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：.

14．（2023·高一课时练习）点是所在平面外一点，是中点，在上任取点，过和作平面交平面于．证明：．

15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．

16．（2023·高一课时练习）如图，E、F分别是空间四边形中边和的中点，过平行于的平面与交于点．求证：是中点．

17．（2023·河南南阳·高三统考期末）如图,四棱锥的底面为直角梯形,,底面, ,设平面与平面的交线为．

(1)证明:;

(2)证明:平面;

(3)求点到平面的距离．

18．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值

19．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面PAD，，求证：.

20．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面

21．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．

(1)证明：平面PBE；

(2)证明：．

22．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．求证：平面；

23．（2023·高三课时练习）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是棱、AB的中点．

(1)求证：；

(2)求四棱锥的体积；

(3)判断直线CF和平面的位置关系，并加以证明．

24．（2023·高一课时练习）已知在平面外，满足，，平面，垂足为，求证：为底面的垂心．

25．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）如图所示，四棱台的上､下底面均为正方形，且底面ABCD.

(1)证明：；

26．（2023·广西桂林·统考模拟预测）如图，正方体中，E是的中点，M是AD的中点．

(1)证明：平面；

27．（2023·全国·高三专题练习）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.

(1)证明：平面平面；

(2)求点到平面的距离.

28．（2023·四川成都·统考一模）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.

(1)设平面平面，证明：⊥平面；

29．（2023春·安徽·高三统考开学考试）如图，在几何体中，四边形为矩形，，，，.

(1)证明：；

30．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且．

(1)证明：平面平面；

31．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，，平面平面．

(1)求证：平面；

32．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，.

(1)证明:；

33．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，点是的中点.

(1)求证：平面；

(2)若侧面为菱形，求证：平面.

34．（2023·全国·高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面．

35．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．

(1)证明：平面PCD⊥平面PBC；

(2)若，求三棱锥的体积．

36．（2023·江苏泰州·高三统考期末）如图,在三棱台中,已知平面平面,,,

(1)求证:直线平面;