2023高考数学艺体生一轮复习 专题25 立体几何平行与垂直判断与证明问题（解析版）

第25讲 立体几何平行与垂直判断与证明问题

【考点预测】

1、证明空间中直线、平面的平行关系

（1）证明直线与平面平行的常用方法：

①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明；

②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；

③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；

（2）证明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用两个平面垂直于同一条直线；

④证明两个平面同时平行于第三个平面.

（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

2、证明空间中直线、平面的垂直关系

（1）证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质（）；

⑦平行线垂直直线的传递性（∥）.

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定（）；

③面面垂直的性质（）；

平行线垂直平面的传递性（∥）；

⑤面面垂直的性质（）.

（3）证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（）.

【典例例题】

例1．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：

①若，，则；    

②若，，，则；

③若，，则；    

④若，，则.

其中正确的命题个数为（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】D

【解析】对于命题①，若，过直线的平面与的交线满足，则，

，，，则，命题①正确；

对于命题②，若，，，则，命题②正确；

对于命题③，若，，则或，或相交但不垂直，或，

故③错误；

对于命题④，根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，命题④正确.

故选：D.

例2．（2023·山东滨州·高三统考期末）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ）

A．，，则

B．，，，，则

C．，，，则

D．，，，则

【答案】D

【解析】对于A，，，则或，A错误；

对于B，若，，，，则或相交，

只有加上条件相交，结论才成立，B错误；

对于C，，，无法得到，

只有加上条件才能得出结论，C错误；

对于D，，，则，又因为，所以，D正确.

故选:D.

例3．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）设是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中不正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，，则

D．若，则

【答案】C

【解析】对于A，根据基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行，故A正确；

对于B，根据平面平行的传递性，若，则，故B正确；

对于C，由，，当时，则，当时，则不一定垂直于，故C错误；

对于D，由，设，且，又，则，又，所以，故D正确．

故选：C．

例4．（2023·高一课时练习）正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．

(1)求证：E、F、B、D共面；

(2)求证：平面平面．

【解析】（1）连接，由题意可得：分别为的中点，则，

∵，，则为平行四边形，

∴，

则，故E、F、B、D共面.

（2）由题意可得：分别为的中点，则，

∵，则，且平面，平面，

∴平面，

连接，由题意可得：分别为的中点，则，，

∵，，则，，即为平行四边形，

∴，

平面，平面，

∴平面，

，平面，

故平面平面.

例5．（2023·全国·高二专题练习）在四棱锥中，底面，四边形为边长为的菱形，，，为中点，为的中点．

(1)求证：直线平面；

(2)求直线与所成角大小．

【解析】（1）取AD的中点E，连接NE，ME，

因为为中点，为的中点，

所以，，

因为平面PCD，平面PCD，

所以平面PCD，同理可得平面PCD，

因为，平面，

所以平面平面PCD，

因为平面MNE，

所以直线平面；

（2）连接AC，

四边形为边长为的菱形，，所以，

由余弦定理得：，

因为，为中点，所以,

因为底面，平面ABCD，

所以PA⊥AC，PA⊥AD，

所以，

，

因为，所以直线与所成的角或其补角为直线与所成的角，

由余弦定理得：，

故直线与所成角的大小为.

例6．（2023·北京顺义·高二统考期末）如图，在三棱柱中，，且，底面，E为中点．

(1)求证：；

(2)求证：平面

【解析】（1）底面且平面，

，

又且，平面，

平面，

又平面，

（2）

取的中点，连接，

因为分别为的中点可知，，

所以四边形是平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面，同理可得平面，

又因为，平面，

所以平面平面，

又因为平面，

所以平面

例7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；

(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得PA//平面DEF？并证明你的结论．

【解析】（1）在底面菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD边的中点，所以BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BG⊥平面PAD．

（2）连接DE，EF，DF，设DE交AC于点H，连接HF

因为PA//平面DEF，PA平面PAC，平面PAC平面DEF，所以；

由于底面ABCD为菱形，为的中点，易证，所以，由PA//，可得，

所以存在点为棱上靠近的三等分点，可使PA//平面DEF.

例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.

【解析】（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，

所以PE⊥AD，

因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.

所以PE⊥BC.

（2）因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD.

又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，

所以PD⊥平面PAB.

又PD⊂平面PCD，

所以平面PAB⊥平面PCD.

例9．（2023·贵州铜仁·高三统考期末）如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别是，的中点．

(1)求证：；

(2)求三棱锥的体积．

【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，

所以平面平面，且平面平面，

因为，，且点是的中点，所以平面，

又因为平面，所以；

（2）三棱锥,

由条件可知是等腰直角三角形，，

所以，点到平面的距离，

.

例10．（2023春·重庆·高三统考开学考试）如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.

(1)设平面与平面的交线为，求证：；

【解析】（1）证明:延长相交于点，连接，

则为平面与平面的交线，

由平面⊥平面，，平面，

且平面平面，所以平面，

又由∥，所以平面，

因为平面，所以，所以，

【技能提升训练】

一、单选题

1．（2023·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）下列说法中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行

D．若，，，则

【答案】D

【解析】对于A，若，，则与可能平行，可能异面，所以A错误，

对于B，若，，则有可能，有可能，所以B错误，

对于C，若平面内的三个顶点到平面的距离相等，则当三点在的同侧时，∥，∥，因为，，所以与平行，

当三点在的两侧时，可得与相交，所以C错误，

对于D，因为，，所以，因为，所以，所以D正确，

故选：D

2．（2023·河南郑州·高三校联考期末）已知在正方体中，交于点，则（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．

【答案】C

【解析】作出图形如图所示，连接，因为，所以平面平面，故平面，其他三个选项易知是错误的.

故选：C.

二、多选题

3．（2023·广东茂名·统考一模）已知空间中三条不同的直线a、b、c，三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，则

【答案】ACD

【解析】对于A，，，则一定成立，A正确；

对于B，

如图，正方体两两相交的三个平面,平面,平面,

平面平面，平面平面,

平面平面，但不平行，故B错误；

对于C，若，，则或，

但，所以，C正确；

对于D，，，则，D正确.

故选:ACD.

4．（2023春·山西忻州·高三校联考开学考试）已知直线，两个不同的平面和，下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】BC

【解析】若，，则或，A错误；

若，，则，B正确；

若，，则由面面平行的性质可得，C正确；

若，，则与平行或相交，D错误；

故选：BC

5．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知m，n是空间中两条不同的直线，，β是两个不同的平面，Q是空间中的一个点，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】CD

【解析】对于A，若，直线m与平面可能相交，故A错误；

对于B，若可知n上有一点在内，根据两点确定一条直线可知，n不一定在β内，故B错误；

对于C，∵，故C正确：

对于D，β，故D正确．

故选:CD

6．（2023·河北保定·高三统考期末）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中（    ）

A．AB与CD平行 B．CD与GH是异面直线

C．EF与GH成角 D．CD与EF平行

【答案】CD

【解析】该正方体的直观图如下：

与是异面直线，故A错；与相交，故B错；因为该几何体为正方体，所以，三角形为正三角形，直线与直线所成角为，则与所成角为，故CD正确.

故选：CD.

7．（2023·福建龙岩·高三校联考期末）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】显然，，BD错误；

与与直线BM既不平行，也不相交，是异面直线，AC正确.

故选：AC

8．（2023·河北唐山·高三统考期末）已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BD

【解析】A选项，若，则可能异面，A选项错误.

B选项，若，则，B选项正确.

C选项，若，则可能相交，C选项正确.

D选项，若，则，D选项正确.

故选：BD

9．（2023·山西晋城·高二校考期末）如图，在正方体中，下列结论正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面平面 D．平面平面

【答案】ACD

【解析】因为平面平面，所以平面，故A正确；

与不垂直，则与不垂直，故平面不正确，故B错误；

因为平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，

所以平面平面，故C正确；

正方体中，有平面，

因为平面，

则，又，，平面，

可得平面，

因为平面，

从而平面平面，故D正确.

故选：.

三、填空题

10．（2023·高三课时练习）已知a、b、c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是______．（写出所有满足条件的说法序号）

①若，，则；

②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；

③若a、b分别在两个相交平面上，则这两条直线可能平行、相交或异面；

④若a与c相交，b与c异面，则a与b异面．

【答案】②④

【解析】对于①：根据公理可得①正确.

对于②如图：把直线看成直线，直线看成，直线看成

可知，直线a与c异面，故②错误.

对于③如图，可得③正确.

对于④，如图选项②的图，把直线看成，直线看成，直线看成，所以

直线相交，故④错误.

故答案为：②④

11．（2023·高一课时练习）下面四个正方体中，点A、B为正方体的两个顶点，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形序号是______．（写出所有符合条件的序号）

【答案】①②

【解析】

对于①，如图1.

因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.

又，所以.

因为平面，平面，所以平面.

同理可得平面.

因为平面，平面，，

所以平面平面.

又平面，所以平面，故①正确；

对于②，如图2，连结.

因为点M、P分别为其所在棱的中点，所以.

又，且，所以，四边形是平行四边形，所以，

所以.

因为平面，平面，所以平面，故②正确；

对于③，如图3，连结、、.

因为点M、N、P分别为其所在棱的中点，所以，.

因为平面，平面，所以平面.

同理可得平面.

因为平面，平面，，

所以平面平面.

显然平面，平面，所以平面，且与平面不平行，所以与平面不平行，故③错误；

对于④：如图4，连接，因为为所在棱的中点，则，

故平面即为平面，由正方体可得，

而平面平面，

若平面，

由平面可得，

故，显然不正确，故④错误.

故答案为：①②.

四、解答题

12．（2023·四川凉山·统考一模）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，，为的中点．

(1)当时，求证：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【解析】（1）证明：，取中点，连接，，如图所示，

∵为的中点，∴且，

又当时，则为的中点，

又∵，且，

∴，且，

∴，且，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面．

（2）由题意知，在等边中，D为BC中点，则，，

又∵，∴，

∵，平面，平面，

∴平面，

又∵，

∴，

即三棱锥的体积为．

13．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：.

【解析】（1）连接AC，由已知F、G分别为和的中点，

，又面ABCD，面ABCD，

平面；

（2）底面是正方形，

，

又底面，面ABCD，

，面，面，

面，又面，

.

14．（2023·高一课时练习）点是所在平面外一点，是中点，在上任取点，过和作平面交平面于．证明：．

【解析】证明：连结，交于点，连结.

因为四边形为平行四边形，所以是的中点.

又是中点，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

又平面平面，平面，

所以．

15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点．

(1)求证：平面；

(2)上是否存在一点，使得平面平面，若存在，请说明理由．

【解析】（1）证明：如图，连接交于，连接.

因为为正方体，底面为正方形，对角线，交于点，

所以为的中点，

又因为为的中点，

所以在中，是的中位线，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）当上的点为中点时，即满足平面平面，理由如下：

连接，，

因为为的中点，为的中点，

所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

由（１）知平面，

又因为，，平面，

所以平面平面.

16．（2023·高一课时练习）如图，E、F分别是空间四边形中边和的中点，过平行于的平面与交于点．求证：是中点．

【解析】证明：由已知可得，平面.

又平面，平面平面，

所以.

又因为点是的中点，所以是中点．

17．（2023·河南南阳·高三统考期末）如图,四棱锥的底面为直角梯形,,底面, ,设平面与平面的交线为．

(1)证明:;

(2)证明:平面;

(3)求点到平面的距离．

【解析】（1）证明:由题可知,

平面,平面,

故平面,

平面,平面平面,

;

（2）证明:底面,

,

底面为直角梯形,

且,

,

平面,平面,

平面,

由(1)知,

平面;

（3）由题知,

且,

连接,如图所示:

可得,,

底面,

,

,,

,

为直角三角形,

设点到平面的距离为,

,

即,

即,

解得:,

故点到平面的距离为.

18．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值

【解析】如图，过点作交于点，连接，

，，与确定一个平面，

平面，平面平面，

，

四边形为平行四边形，，

又，，

，

.

19．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面PAD，，求证：.

【解析】在四棱锥中，平面，平面，平面平面，

所以.

20．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面

【解析】取的中点，连接，，

则，，

又平面，平面，平面，

所以平面，平面，

又平面，

所以平面平面，又平面，

所以平面；

21．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．

(1)证明：平面PBE；

(2)证明：．

【解析】（1）取PB中点，连接FG，EG，

因为点E、F分别为AD、PC的中点，

所以，，

因为四边形ABCD为长方形，所以，且，

所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，

所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE；

（2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面，

所以.

22．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．求证：平面；

【解析】取的中点为，连接，

由三棱柱可得四边形为平行四边形，

，则，

又平面，平面，故平面，

，则，同理可得平面，

而，平面，故平面平面，

又平面，故平面

23．（2023·高三课时练习）如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是棱、AB的中点．

(1)求证：；

(2)求四棱锥的体积；

(3)判断直线CF和平面的位置关系，并加以证明．

【解析】（1）因为三棱柱是直棱柱，

所以平面ABC，又因为平面ABC，

所以；

（2）因为平面ABC，又平面ABC，

所以，

由，即，且，平面，

所以平面，

由E是棱的中点，则，

所以四边形的面积为，

所以四棱锥的体积为；

（3）平面．

如图，取的中点G，连接EG、FG，

因为F、G分别是棱AB、的中点，

所以，，又，，

所以，FG=EC，

所以四边形FGEC是平行四边形，进而得，

又平面，平面，

所以平面．

24．（2023·高一课时练习）已知在平面外，满足，，平面，垂足为，求证：为底面的垂心．

【解析】证明：如图，连接，

因为平面，平面，

所以，又，，平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以，

因为，所以同理可证平面，

因为平面，

所以，

所以为底面的垂心．

25．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）如图所示，四棱台的上､下底面均为正方形，且底面ABCD.

(1)证明：；

【解析】（1）平面平面，

如图，连接四边形为正方形，，

又平面，

平面，

平面.

26．（2023·广西桂林·统考模拟预测）如图，正方体中，E是的中点，M是AD的中点．

(1)证明：平面；

【解析】（1）如图，

取中点F，连接EF，AF交于O，

∵E，F分别为和中点，

∴平行且相等，

∵ 平行且相等，

∴平行且相等，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∵与相似，

∴，

∴，即，

∴，

∵平面，且平面，

∴，

∵平面，平面，

∴平面；

27．（2023·全国·高三专题练习）如图多面体中，四边形是菱形，，平面，，.

(1)证明：平面平面；

(2)求点到平面的距离.

【解析】（1）证明：取的中点，连接交于，连接，，

因为是菱形，所以，且是的中点，

所以且，又，，

所以且，所以四边形是平行四边形，

所以，

又平面，平面，所以，

又因为，平面，

所以平面，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（2）设到平面的距离为，

因为平面，平面,所以,

因为,平面，所以平面，

且平面,所以,

因为，，所以，

所以,,

,

所以且,

所以,

取中点为，连接,因为是菱形，，

所以为等边三角形，所以,且,

又因为平面，平面,所以,

且平面,

所以平面,

又因为,

因为，即,所以.

28．（2023·四川成都·统考一模）如图①，在等腰直角三角形中，分别是上的点，且满足.将沿折起，得到如图②所示的四棱锥.

(1)设平面平面，证明：⊥平面；

【解析】（1）平面平面，

平面.

平面，平面平面，

.

由图①，得，

.

平面，

平面；

29．（2023春·安徽·高三统考开学考试）如图，在几何体中，四边形为矩形，，，，.

(1)证明：；

【解析】（1）证明：由题意得，四边形为直角梯形，

又，，

易知，，

所以，所以.

又因为，，平面，

所以平面，平面，所以.

30．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且．

(1)证明：平面平面；

【解析】（1）

连接，由已知，，且，

∴四边形为菱形，∴，

在圆锥中，∵平面，平面，

∴．

∵，平面，平面，

∴平面．

又∵平面，

∴平面平面．

31．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，，平面平面．

(1)求证：平面；

【解析】（1）作于H，

∵平面平面，平面平面

∴平面

∵平面，

∴，

∵，平面，

∴平面；

32．（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，.

(1)证明:；

【解析】（1）∵ 点在平面内的射影在上，

∴平面，又平面，

∴，

∵ ，，平面，

∴ 平面，平面，

∴ ，

∵ ，四边形为平行四边形，

∴ 四边形为菱形，

故，又，平面，

∴ 平面，平面，

∴；

33．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，点是的中点.

(1)求证：平面；

(2)若侧面为菱形，求证：平面.

【解析】（1）连接交于，连接，

由为三棱柱，则为平行四边形，

所以是中点，又是的中点，

故在△中，面，面，

所以平面.

（2）由，而，面，

所以面，又面，则，

由侧面为菱形，故，

又，面，故平面.

34．（2023·全国·高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求证：平面．

【解析】（1）证明：（1）取的中点，连接，，

∵是的中点，∴，，

∵和都垂直于平面，∴，

∵，∴，，

∴四边形为平行四边形，从而，

∵平面，平面，∴平面．

（2）证明∵垂直于平面，平面，∴，

∵，∴，

∵，平面，∴平面，

由（1）可知：，∴平面．

35．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，．

(1)证明：平面PCD⊥平面PBC；

(2)若，求三棱锥的体积．

【解析】（1）

连接，因为，所以,

又因为，，所以，即,

又因为底面ABCD，底面ABCD，所以 BC，

又因为平面PCD，，

所以平面PCD,又因为平面PBC，

所以平面PCD⊥平面PBC.

（2）在直角三角形中，

在直角三角形中，

所以

，

所以，

所以.

36．（2023·江苏泰州·高三统考期末）如图,在三棱台中,已知平面平面,,,

(1)求证:直线平面;

【解析】（1）证明:在等腰梯形中,

过作于点,画图如下:

所以,且,,

所以,

即,

即,

因为平面平面,

平面平面,

平面,

,

所以平面;