湖南省永兴县树德初级中学2024-—2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省永兴县树德初级中学2024-—2025学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题3分，共30分）
1. 在中，分式的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．熟知分式的定义是关键．
【详解】解：中分母中含有字母，因此是分式．
故选：．
2. 下列分式中，不论x取何值，一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握其性质． 分式有意义，分母不等于零．据此判定即可．
【详解】解∶A、当即时，该分式无意义，不符合题意；
B、当时，该分式无意义，不符合题意；
C、当即时，该分式无意义，不符合题意；
D、∵，
∴不论x取何值，该分式都有意义，符合题意．
故选：D．
3. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．直接利用分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故此选项不符合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．不存在分子、分母同减去一个数分式的值不变，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：B．
4. 如果分式中的x，y都扩大到原来的2倍，那么下列说法正确的是（ ）
A. 分式的值不变B. 分式的值缩小为原来的倍
C. 分式的值扩大为原来的2倍D. 分式的值扩大为原来的4倍
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式的值的变化，根据分式的基本性质，进行计算后，判断即可．
【详解】解：由题意，，
故分式中的x，y都扩大到原来的2倍，分式的值扩大为原来的2倍；
故选C．
5. 将米用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法进行解答即可．
【详解】解：用科学记数法表示为，故B正确．
故选：B．
6. 下列式子中是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，平方差公式的运用，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、不是分式，不符合题意；
B、，不是最简分式，不符合题意；
C、，不是最简分式，不符合题意；
D、是最简分式，符合题意，
故选：D．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查幂的运算．根据负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方，零指数幂的法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
8. 已知水流速度为3千米/时，轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水航行90千米所需的时间相同，求轮船在静水中的速度，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据轮船顺水航行120千米所需的时间与逆水航行90千米所需的时间相同，列方程即可．
【详解】解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，
由题意得，
；
故选：A
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
9. 已知非零有理数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查分式求值．根据题意得到，代入分式化简求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
10. 对于正数x，规定，例如：，则的值为（ ）
A. 2021B. 2020C. 2019.5D. 2020.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知规定，可得；进而可以解决问题．
【详解】∵，，
∴；
∵，，
∴；
，
∴；
则
．
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型—数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 若分式的值为零，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件分子等于零，分母不等于零得出，，计算即可得解，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，，
解得：，
故答案为：．
12. 若方程有增根，则方程的增根是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式方程的增根是分母为0时x的值进行求解即可．
【详解】解：∵方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即为分母为0时未知数的值是解题的关键．
13. 分式和 的最简公分母为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．观察两个分式的分母，利用公因式即可求解．
【详解】解：的分母为：，
的分母为：，
两个分式的最简公分母为：．
故答案为：．
14. 一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式加减的应用，利用分式表示出甲乙各自的工作效率，熟练掌握分式加减计算法则是解题关键．根据甲、乙合做一天的工作量甲一天的工作量乙一天的工作量，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，
∴甲一天的工作量为，乙一天的工作量为，
∴甲、乙合作一天可以完成的工作量为，
故答案为：．
15. 不改变分式的值，把分式的分子与分母的各项系数化为整数为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】，据此即可求解．
【详解】解：
将分子、分母同时扩大倍，不改变分式的值
故答案为：
【点睛】本题考查将分式的分子与分母的各项系数化为整数．合理利用分式的性质是解题关键．
16. 若（，为有理数），那么_______．
【答案】12##
【解析】
【分析】本题考查分式的加法的应用，解二元一次方程组，负整数幂，熟练掌握异分母分式的加法运算法则是解题的关键．先计算，再利用待定系数法列式求解出的值，的代入中，根据负整数幂的运算法则计算即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴
故答案为：12．
17. 对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：．若，则的值为________．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意得：
，即，
∴，
∴，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的求值，理解新运算法则，得到，是解题的关键．
18. 阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式成立的的值为_______．
【答案】4或##或4
【解析】
【分析】本题考查的是乘方运算，特别是乘方的结果为的情况，分类讨论的思想是解题的关键．根据1的乘方，的乘方，非零的零次幂，可得答案．
【详解】解：①当时，解得：，
此时，则，
所以．
②当时，解得：，此时，
则，
不符合题意．
③当时，解得：，此时，
则，
所以．
综上所述，当或时，等式成立．
故答案为：4或．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每小题6分，第22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，第26题12分，共66分）
19. 计算．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算乘方，再将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及化简求值，掌握分式的运算法则，准确的计算是解题的关键．
20. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）无解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：
（1）方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【小问1详解】
解：，
方程两边同乘得：，
解得：，
经检验，是原方程的增根，
∴原方程无解；
【小问2详解】
解：
去分母得，，
解得：，
经检验：当是原方程根，
∴原方程的解为．
21. 先化简，再求值：，然后从、0、1、2这几个数中选取一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后化简，再从、0、1、2中选取一个使分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴原式．
22. 今年是我们伟大的中国共产党建党100周年，烈士公园旁服装店用2000元购进一批特色纪念款文化衫，出售后发现供不应求，第二批又购进同样的文化衫，所购数量是第一批的3倍，但单件的进价贵了2元，购买第二批文化衫共用了6600元．
（1）求第一批文化衫单件的进价；
（2）若销售这两批文化衫时，每件售价都是30元，全部售出后服装店共盈利多少元？
【答案】（1）20元 （2）3400元
【解析】
【分析】（1）设第一批购进了x件，则第二批购进了3x件，根据单价＝总价÷数量，结合第二批的进价比第一批每件贵了2元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据利润＝销售收入−成本，即可算出该店销售这两批文化衫共盈利多少元．
【小问1详解】
解：设第一批文化衫单件的进价x元，则第二批文化衫单件的进价为元
由题意得，，
解得：．
经检验，是原分式方程解，且符合题意．
答：第一批文化衫单件的进价为20元．
【小问2详解】
解：由（1）得，第一批文化衫数量是件，
则第二批文化衫数量是300件
总盈利为（元）
答：服装店共盈利3400元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据单价＝总价÷数量，结合第二批的进价比第一批每件贵了2元，列出关于x的分式方程；（2）根据利润＝销售收入−成本，列式计算．注意：分式方程要验根．
23. 已知，，．
（1）求值；
（2）求的值．
【答案】（1）40 （2）
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可；
（2）根据同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
，，
；
【小问2详解】
，，
．
24. （1）已知关于的分式方程有增根，求的值．
（2）关于方程有整数解，求此时整数的值．
【答案】（1）3；（2）m的值为3或0或4
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键．
（1）解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a值；
（2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值．
【详解】解：（1），
去分母得到，
解得：，
由题意得：，
解得：，
∴，
解得：，
∴a的值为3；
（2），
去分母得到，
解得，
∵方程有整数解，
∴或且，
解得：或3或0或4且，
∴或0或4，
∴此时整数m的值为3或0或4．
25. 阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
（1）请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
（2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
（3）若关于的方程无解，求的值．
【答案】（1）小聪，分式的分母不能为0；
（2）且；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．
【小问1详解】
解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
【小问2详解】
解：原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数
∴，即
又∵
∴，即
∴且
【小问3详解】
解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴或者
①当时，得：
②当时，，得：
综上：当或时原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
26. 已知分式 A 
（1）化简这个分式；
（2）当 a＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由；
（3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和．
【答案】（1）；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11
【解析】
【分析】（1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得；
（2）根据题意列出算式，化简可得，结合a的范围判断结果与0的大小即可得；
（3）由可知，=±1、±2、±4，结合a的取值范围可得．
【详解】解：（1）A=
=
=
=；
（2）变小了，理由如下：
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，
∴分式的值变小了；
（3）∵A是整数，a是整数，
则，
∴、、，
∵，
∴的值可能为：3、0、4、6、-2；
∴；
∴符合条件的所有a值的和为11．