2024-2025学年辽宁省沈阳四十三中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳四十三中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
2．（3分）如图，中，点、分别在、上，且，下列结论正确的是
A．B．与的面积比为
C．与的周长比为D．
3．（3分）已知与互余，若，则的值为
A．B．C．D．
4．（3分）已知反比例函数，下列说法中错误的是
A．图象经过点B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线对称D．随的增大而增大
5．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
6．（3分）下列对二次函数的图象的描述，正确的是
A．开口向下
B．对称轴是轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧随的增大而减小
7．（3分）小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是
A．掷一枚骰子，出现4点的概率
B．抛一枚硬币，出现反面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率
8．（3分）抛物线，、、为常数）上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
则下列结论中：①抛物线的对称轴为直线；②；③当时，；④方程的两根分别是，，其中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是
A．B．
C．D．
10．（3分）已知抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若函数是关于的反比例函数，则 ．
12．（3分）四边形中，，，，分别是边，，，的中点，的边满足条件： 时（填上一个你认为正确的条件），四边形是菱形．
13．（3分）如图，在正方形网格中， 度．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知△的面积为3，则的值为 ．
15．（3分）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，为该二次函数在第一象限内的一点，连接，交于点，则的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
16．（10分）（1）解方程；
（2）计算：．
17．（8分）明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走．
（1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
18．（8分）如图：抛物线过，两点，点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，作轴于点，交抛物线的对称轴于点，若，求的值．
19．（8分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个与销售单价（元个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元个．
（1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元与销售单价（元个）之间的函数解析式；为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元？
（2）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润．
20．（8分）如图所示，某施工队要测量隧道长度，米，，施工队站在点处看向，测得仰角为，再由走到处测量，，米，测得处的仰角为，求隧道长．，，
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点（点在点左侧），已知点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出的解集；
（3）将直线沿向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点，如果△的面积为10，求平移后的直线的函数表达式．
22．（12分）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点．
（1）如图1，当，时，
①求证：△△；
②连接，，求证：．
（2）如图2，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，当时，
①求的长；
②直接写出的值．
23．（13分）小明为了探究函数的性质，他想通过列表描点画出它的图象，然后再观察、归纳，并运用性质解决问题．
（1）使用特殊到一般的方法，当时．
①列出与的几组对应值如表：
表格中， ；
②结合上表，在如图1所示的平面直角坐标系中，画出当时函数的图象；
③观察图象，当 时，有最小值为 ；
（2）求函数与直线的交点坐标；
（3）已知，两点在时函数的图象上，当时，请直接写出的取值范围；
（4）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，当函数的图象与矩形的边恰有4个交点时，直接写出的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）抛物线的顶点坐标是
A．B．C．D．
解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：．
2．（3分）如图，中，点、分别在、上，且，下列结论正确的是
A．B．与的面积比为
C．与的周长比为D．
解：，
，
，
，
，故错误；
，
与的面积比为，周长的比为，故和错误；
，
，
．故正确．
故选：．
3．（3分）已知与互余，若，则的值为
A．B．C．D．
解：与互余，
、可看作的两锐角，
，
设，，
，
．
故选：．
4．（3分）已知反比例函数，下列说法中错误的是
A．图象经过点B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线对称D．随的增大而增大
解：反比例函数中，，
图象在二，四象限内，故选项正确；
，
图象必经过，故选项正确；
图象关于直线对称，故选项正确；
反比例函数中，，
在每个象限内，随的增大而增大，故选项错误；
故选：．
5．（3分）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
解：，
在每个象限内，随值的增大而增大，
当时，，
，
故选：．
6．（3分）下列对二次函数的图象的描述，正确的是
A．开口向下
B．对称轴是轴
C．经过原点
D．在对称轴右侧随的增大而减小
解：二次函数，，
该函数图象开口向上，故选项错误；
对称轴值直线，故选项错误；
当时，，即该函数图象过原点，故选项正确；
在对称轴右侧随的增大而增大，故选项错误；
故选：．
7．（3分）小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是
A．掷一枚骰子，出现4点的概率
B．抛一枚硬币，出现反面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率
解：、掷一枚骰子，出现4点的概率为；
、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为；
、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为；
、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率．
故选：．
8．（3分）抛物线，、、为常数）上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
则下列结论中：①抛物线的对称轴为直线；②；③当时，；④方程的两根分别是，，其中正确的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①函数的对称轴为：，此时，故①符合题意；
②函数的对称轴为：，则和对应，故②符合题意；
③，，根据函数的对称性，，，而当时，，故③不符合题意；
④方程的两根，相等于和的加点，故④符合题意，
故选：．
9．（3分）如图，中，，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是
A．B．
C．D．
解：①当时，点在上，
，，
过作交于点，
中，，，，
，
，
，
，
②当时，点在上，
，
综上所述，正确的图象是．
故选：．
10．（3分）已知抛物线的对称轴为直线，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是
A．B．C．D．
解：如图，关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，由题意可知：，
当时，，
当时，，
由图象可知关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，
直线在直线和直线之间包括直线，
．
故选：．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若函数是关于的反比例函数，则 ．
解：函数是关于的反比例函数，
，
解得：．
故答案为：．
12．（3分）四边形中，，，，分别是边，，，的中点，的边满足条件： 时（填上一个你认为正确的条件），四边形是菱形．
解：如图，，、、、分别是线段、、、的中点，
则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，，，
当有成立，则四边形是平行四边形．
添加：．
13．（3分）如图，在正方形网格中， 45 度．
解：，，，
，，
，
又，
△△，
，
，
即．
故答案为：45．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点，分别为反比例函数，的图象上的点，且轴，已知△的面积为3，则的值为 ．
解：点在反比例函数的图象上，
设点的坐标为，
轴，
点的纵坐标为，于轴之间的距离为，
又点在反比例函数的图象上，
点的坐标为，
，
△的面积为3，
，
解得：．
故答案为：．
15．（3分）如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，为该二次函数在第一象限内的一点，连接，交于点，则的最小值为 ．
解：过点作轴交直线于点，
二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，
将代入可得，，，
将代入可得，，
，，，
设解析式为，
则，
，
的解析式为：，
轴，
△△，
，
设点，
、纵坐标相等，
当时，，
解得，
，
，
，
，
当时，有最大值为，
则有最小值，
则的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）
16．（10分）（1）解方程；
（2）计算：．
解：（1），
，
，
或，
，；
（2）
．
17．（8分）明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走．
（1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
解：（1）根据题意有4个四个礼品盒，其中有3个摆件的礼品盒有2个，
妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是：，
故答案为：．
（2）画树状图如下：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的情况有4种，
妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
18．（8分）如图：抛物线过，两点，点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，作轴于点，交抛物线的对称轴于点，若，求的值．
解：（1）将，点的坐标代入函数解析式得，
，
解得，
抛物线的表达式为．
（2）点的横坐标是，
点的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
直线的函数解析式为．
，且抛物线的对称轴为直线，
．
又点坐标为，
．
，
，
解得，
又，
．
19．（8分）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个与销售单价（元个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元个．
（1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元与销售单价（元个）之间的函数解析式；为了方便顾客，售价定为多少时可获利1200元？
（2）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润．
解：（1）由题意可得，
，
当时，，
解得，，，
故为了方便顾客，售价定为10元，
即销售利润（元与销售单价（元个）之间的函数解析式是，为了方便顾客，售价定为10元时可获利1200元；
（2）由题意可得，
，
解得，，
，，
当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，此时，
即许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，此时的销售单价是15元，此时的最大利润是1350元．
20．（8分）如图所示，某施工队要测量隧道长度，米，，施工队站在点处看向，测得仰角为，再由走到处测量，，米，测得处的仰角为，求隧道长．，，
解：，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
米，
过点作于点，如图所示：
，，
四边形是矩形，
米，，
在中，，
（米，
（米，
米，
（米，
隧道长为350米．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点（点在点左侧），已知点的纵坐标是2；
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出的解集；
（3）将直线沿向上平移后的直线与反比例函数在第二象限内交于点，如果△的面积为10，求平移后的直线的函数表达式．
解：（1）直线经过点，点的纵坐标是2，
当时，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）直线与反比例函数的图象交于，两点，
，
不等式的解集为或；
（3）如图，设平移后的直线与轴交于点，连接，，
，
△的面积与△的面积相等，
△的面积为10，
，即，
，
，
，
设平移后的直线的函数表达式为，
把代入，可得，
解得，
平移后的直线的函数表达式为．
22．（12分）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交直线于点．
（1）如图1，当，时，
①求证：△△；
②连接，，求证：．
（2）如图2，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连结，，若，，当时，
①求的长；
②直接写出的值．
【解答】（1）证明：①四边形是菱形，
，，．
，
，
，
，，
．
在△和△中，
，
△△，
②△△，
，
，
，
，
；
（2）解：①，
，
四边形是菱形，
，
，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，，
，
△△，
，
，
，
，
，
，
，
，；
②如图2，过点作于，
，
，
，
，，
，
△△，
，
．
23．（13分）小明为了探究函数的性质，他想通过列表描点画出它的图象，然后再观察、归纳，并运用性质解决问题．
（1）使用特殊到一般的方法，当时．
①列出与的几组对应值如表：
表格中， ；
②结合上表，在如图1所示的平面直角坐标系中，画出当时函数的图象；
③观察图象，当 时，有最小值为 ；
（2）求函数与直线的交点坐标；
（3）已知，两点在时函数的图象上，当时，请直接写出的取值范围；
（4）如图2，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，当函数的图象与矩形的边恰有4个交点时，直接写出的取值范围．
解：（1）①当时，，
当时，，
故答案为：；
②如图，当时函数的图象如图所示；
③观察图象可知：当或2时，有最小值，
故答案为：或2，；
（2）当时，可得，
解得：或（舍去），
当时，可得，
解得：或，
函数与直线的交点坐标为或或；
（3）当时，函数，如图，
，两点在时函数的图象上，
当时，或或，
当时，或，
或；
（4）如图，当点在函数的图象上时，
把代入得：，
解得：，
此时，函数的图象与矩形的边恰有3个交点；
如图，当点在函数的图象上时，
则，
解得：，
此时，函数的图象与矩形的边恰有5个交点，
当函数的图象顶点在边上时，如图，
，
解得：，
此时，函数的图象与矩形的边恰有4个交点，
综上所述，的取值范围为：或．
0
1
2
4
4
0
0
1
2
3
4
5
2
2
0
1
2
4
4
0
0
1
2
3
4
5
2
2