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    2023-2024学年辽宁省沈阳126中教育集团八年级(下)开学数学试卷(含解析)
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    2023-2024学年辽宁省沈阳126中教育集团八年级(下)开学数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳126中教育集团八年级(下)开学数学试卷(含解析),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.若m>n,则下列不等式中正确的是( )
    A. m−2−12nD. n−m>0
    2.分式x+5x−2的值是零,则x的值为( )
    A. 2B. 5C. −2D. −5
    3.下列各式:①x2−x2y4=(x−xy2)(x+xy2),
    ②x2−1+2x=(x−1)(x+1)+2x,③−a2+2ab−b2=−(a−b)2,
    ④1m2−1=(1m−1)(1m+1).属于正确的因式分解的有( )
    A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
    4.一个多边形的内角和为900°,则这个多边形是( )
    A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形
    5.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带的碎玻璃编号是( )
    A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④
    6.如图,直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( )
    A. 一处
    B. 二处
    C. 三处
    D. 四处
    7.小明用30元购买铅笔和签字笔,已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元,他买了2支铅笔后,最多还能买几支签字笔?设小明还能买x支签字笔,则下列不等关系正确的是( )
    A. 5×2+2x≥30B. 5×2+2x≤30C. 2×2+2x≥30D. 2×2+5x≤30
    8.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )
    A. B.
    C. D.
    9.如果关于x的方程2x+mx−1=1的解是正数,那么m的取值范围是( )
    A. m>−1B. m>−1且m≠0
    C. m<−1D. m<−1且m≠−2
    10.随着科技的进步,在很多城市都可以通过手机APP实时查看公交车到站情况.小聪同学想乘公交车,他走到A、B两站之间的C处,拿出手机查看了公交车到站情况,发现他与公交车的距离为700m(如图),此时他有两种选择:
    (1)与公交车相向而行,到A公交站去乘车;
    (2)与公交车同向而行,到B公交站去乘车.
    假设公交车的速度是小聪速度的6倍,小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车,则A,B两公交站之间的距离最大为( )
    A. 240mB. 260mC. 280mD. 300m
    二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。
    11.分解因式:a2−9a=______.
    12.如图,已知函数y=ax+2与y=bx−3的图象交于点A(2,−1),则根据图象可得不等式ax>bx−5的解集是______.
    13.在△ABC中,若∠B=45°,AB=10 2,AC=5 5,则△ABC的面积是______.
    14.关于x的不等式组x+212>3−xx15.如图,已知点A(3,0),点B在y轴正半轴上,连接AB,点C在AB的右侧,且∠BAC=60°,AB=AC,若点C的坐标为(7,h),则h= ______.
    三、解答题:本题共7小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    16.(本小题7分)
    因式分解:(x2+4)2−16x2.
    17.(本小题8分)
    解不等式组:3x>−8−x2(x−1)≤6.
    18.(本小题10分)
    先化简,再求值:(1+1x+1)⋅x+1x2+4x+4,其中x=4.
    19.(本小题12分)
    近期,全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头,据美团、大众点评数据显示,今年“五一”期间龙岩旅游订单(含酒店、景点门票)同比增长超2000%.世界文化遗产——福建土楼(龙岩⋅永定)是热门的旅游目的地之一.某土楼纪念品专卖店积极为“五一”黄金周作好宣传与备货工作.已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品,每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元;用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同.专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元,每个乙种纪念品售价定为8元.
    (1)每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少?
    (2)根据市场调查,专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个,假设这400个纪念品能够全部卖出,求该专卖店获得销售利润最大的进货方案.
    20.(本小题12分)
    如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,点E在线段OC上,点E为OC的中点.
    (1)求证:∠ADO=2∠OBE;
    (2)若F,G分别是OD,AB的中点.
    ①求证:△EFG是等腰三角形;
    ②当EF⊥EG,BC=8时,直接写出线段BE的长______.
    21.(本小题12分)
    [问题提出]:如何解不等式|x−1|+|x−3|>x+2?
    预备知识1:同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数,利用这些一次模型和函数的图象,可以解决一系列问题.
    图①中给出了函数y=x+1和y=2x+3的图象,观察图象,我们可以得到:
    当x>−2时,函数y=2x+3的图象在y=x+1图象上方,由此可知:不等式2x+3>x+1的解集为______.
    预备知识2:函数y=|x|=x(x≥0)−x(x<0),称为分段函数,其图象如图②所示,实际上对带有绝对值
    的代数式的化简,通常采用“零点分段”的办法,将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简,即可去掉绝对值符号.比如化简|x−1|+|x−3|时,可令x−1=0和x−3=0,分别求得x=1,x=3(称1,3分别是|x−1|和|x−3|的零点值),这样可以就x<1,1≤x<3,x≥3三种情况进行讨论:
    (1)当x<1时,|x−1|+|x−3|=−(x−1)−(x−3)
    (2)当1≤x<3时,|x−1|+|x−3|=(x−1)−(x−3)=2;
    (3)当x≥3时,|x−1|+|x−3|=(x−1)+(x−3)=2x−4
    所以|x−1+|x−3|就可以化简为4−2x(x<1)2(1≤x<3)2x−4(x≥3)
    预备知识3:函数y=b(b为常数)称为常数函数,其图象如图③所示.
    [知识迁移]
    如图④,直线y=x+1与直线y=ax+b相交于点A(m,3),则关于x的不等式x+1≤ax+b的解集是______.
    [问题解决]:
    结合前面的预备知识,我们来研究怎样解不等式|x−1|+x−3|>x+2.在平面直角坐标系内作出函数y=|x−1|+|x−3|的图象,如图⑤.在同一直角坐标系内再作出直线y=x+2的图象,如图⑥,可以发现函数y=|x−1|+|x−3|与y=x+2的图象有两个交点,这两个交点坐标分别是______,______;
    通过观察图象,便可得到不等式|x−1|+|x−3|>x+2的解集.这个不等式的解集为______.
    22.(本小题14分)
    如图1,在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=2,点A在x轴上,以OB为一边,在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.

    (1)①求点B的坐标;
    (2)如图2.将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长;
    (3)如图1,连接BE,在线段BE上有一动点M,连接CM,OM,直接写出CM+OM+BM的最小值为______;
    (4)若去掉题卡中OB=2这个条件,点F为△OBC外一点,连接OF,BF,CF,若OF=6,BF=2,则当线段CF的长度最小时,∠OFB= ______,CF的最小值是______.
    答案和解析
    1.【答案】B
    【解析】解:A.由m>n,得m−2>n−2,那么A错误,故A不符合题意.
    B.由m>n,得−2m<−2n,推断出1−2m<1−2n,那么B正确,故B符合题意.
    C.由m>n,得−12m<−12n,那么C错误,故C不符合题意.
    D.由m>n,得n−m<0,那么D错误,故D不符合题意.
    故选:B.
    根据不等式的性质解决此题.
    本题主要考查不等式的性质,熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键.
    2.【答案】D
    【解析】【分析】
    此题主要考查了分式值为零的条件,关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.注意:“分母不为零”这个条件不能少.利用分式值为零的条件可得x+5=0,且x−2≠0,再解即可.
    【解答】
    解:由题意得:x+5=0,且x−2≠0,
    解得:x=−5,
    故选:D.
    3.【答案】A
    【解析】解:①x2−x2y4=x2(1−y4)=x2(1−y2)(1+y2)=x2(1+y)(1−y)(1+y2),故原题因式分解错误;
    ②x2−1+2x=(x−1)(x+1)+2x,不是化为几个整式积的形式,故原题不是因式分解;
    ③−a2+2ab−b2=−(a−b)2,正确;
    ④等式左边不是多项式,右边不是几个整式的积的形式,不是因式分解,
    所以属于正确的因式分解的有1个.
    故选:A.
    根据因式分解的意义对各小题进行分析即可.
    本题考查的是因式分解的意义,把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做分解因式.
    4.【答案】A
    【解析】解:设多边形的边数为n,
    (n−2)⋅180°=900°,
    解得:n=7.
    故选:A.
    根据多边形的内角和公式:(n−2)⋅180°列出方程,解方程即可得出答案.
    本题考查了多边形的内角和,体现了方程思想,掌握多边形的内角和=(n−2)⋅180°是解题的关键.
    5.【答案】C
    【解析】解:∵只有②③两块角的两边互相平行,且中间部分相联,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点,
    ∴带②③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.
    故选:C.
    确定有关平行四边形,关键是确定平行四边形的四个顶点,由此即可解决问题.
    本题考查平行四边形的判定和性质,解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点,四个顶点的位置确定了,平行四边形的大小就确定了,属于中考常考题型.
    6.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题考查了角平分线的性质,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解。
    【解答】
    解:如图所示,满足条件的有:
    (1)三条公路围成的三角形的两个内角平分线的交点,共1处;
    (2)三条公路围成的三角形的外角两两平分线的交点,共3处;
    ∴加油站的地址一共有4处。
    故选D。
    7.【答案】D
    【解析】解:设小明还能买x支签字笔,
    依题意得:2×2+5x≤30.
    故选:D.
    设小明还能买x支签字笔,利用总价=单价×数量,结合总价不超过30元,即可得出关于x的一元一次不等式,此题得解.
    本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式是解题的关键.
    8.【答案】D
    【解析】解:A、80°+110°≠180°,故A选项不符合条件;
    B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形,故B选项不符合题意;
    C、不能判断出任何一组对边是平行的,故C选项不符合题意;
    D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故D选项符合题意;
    故选:D.
    根据平行四边形的判定定理作出判断即可.
    本题主要考查平行四边形的判定,熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.
    9.【答案】D
    【解析】解:两边同时乘(x−1)得,
    2x+m=x−1,
    解得:x=−1−m,
    又∵方程的解是正数,且x≠1,
    ∴x>0x≠1,即−1−m>0−1−m≠1,
    解得: m<−1m≠−2,
    ∴m的取值范围为:m<−1且m≠−2.
    故答案为:D.
    先去分母将分式方程化成整式方程,再求出方程的解x=−1−m,利用x>0和x≠1得出不等式组,解不等式组即可求出m的范围.
    本题主要考查了分式方程的解,一元一次不等式,正确求得分式方程的解并考虑产生增根的情形是解题的关键.
    10.【答案】A
    【解析】解:设看手机时小聪到A站的距离为x m,到B站的距离为y m.
    到A公交站:x≤700−x6,
    解得:x≤100;
    到B公交站:y≤700+y6,
    解得:y≤140.
    ∴x+y≤100+140=240,
    即A,B两公交站之间的距离最大为240m.
    故选:A.
    设看手机时小聪到A站的距离为x m,到B站的距离为y m.到A公交站,由小聪到A站所用时间不能多于公交车到A站所用时间,即可得出关于x的一元一次不等式,解之即可求出x的取值范围;到B公交站,由小聪到B站所用时间不能多于公交车到B站所用时间,即可得出关于y的一元一次不等式,解之即可求出y的取值范围,进而可得出(x+y)的取值范围,再取其最大值即可得出结论.
    本题考查了一元一次不等式的应用,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式是解题的关键.
    11.【答案】a(a−9)
    【解析】解:原式=a(a−9).
    故答案为:a(a−9).
    原式提取公因式a即可.
    此题考查了因式分解−提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.
    12.【答案】x<2
    【解析】解:∵ax>bx−5,
    ∴ax+2>bx−3,
    从图象上看,在交点的左边,相同自变量的取值,y=ax+2的函数值大于y=bx−5的函数值,
    ∴ax>bx−5的解集是:x<2.
    把所求不等式进行整理可得与函数表达式相关的形式,找到在交点的哪一边,相同自变量的值,y=ax+2的函数值大于y=bx−5的函数值即可.
    解决本题的关键是把所求的不等式整理为和所给函数相关的形式;两个函数图象进行比较,要从交点入手思考.
    13.【答案】75或25
    【解析】【分析】
    本题考查了勾股定理以及三角形的面积,求出AD,BC的长度是解题的关键.
    过点A作AD⊥BC,垂足为D,通过勾股定理可求出AD,BD,CD的长,进而可得出BC的长,再利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积.
    【解答】
    解:过点A作AD⊥BC,垂足为D,如图所示.
    在Rt△ABD中,AD= 22AB=10,BD=AD=10;
    在Rt△ACD中,AD=10,AC=5 5,
    ∴CD= AC2−AD2=5,
    ∴BC=BD+CD=15或BC=BD−CD=5,
    ∴当BC=15时,S△ABC=12BC⋅AD=75.
    当BC=5时,S△ABC=12BC⋅AD=25.
    故答案为75或25.
    14.【答案】−2【解析】解:x+212>3−x①x由①得x>−5;
    由②得x故原不等式组的解集为−5又因为不等式组的所有整数解的和是−9,
    所以当m<0时,这两个负整数解一定是−4和−3,由此可以得到−2当m>0时,则1故m的取值范围是−2首先确定不等式组的解集,先利用含m的式子表示,根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解,根据解的情况可以得到关于m的不等式,从而求出m的范围.
    本题主要考查了无理数的估算,是一道较为抽象的中考题,利用数轴就能直观的理解题意,列出关于m的不等式组,临界数−1和−2的取舍是易错的地方,要借助数轴做出正确的取舍.
    15.【答案】10 33
    【解析】解:在x轴上分别取点E,F,使得∠BEA=60°,∠CFA=60°,
    ∵∠BEA=60°,
    ∴∠EBA+∠BAE=120°.
    又∵∠BAC=60°,
    ∴∠CAF+∠BAE=120°,
    ∴∠EBA=∠CAF.
    在△ABE和△CAF中,
    ∠EBA=∠CAF∠BEA=∠CFAAB=AC,
    ∴△ABE≌△CAF(AAS),
    ∴BE=AF,AE=CF.
    过点C作x轴的垂线,垂足为M,
    ∵点A坐标为(3,0),点C的坐标为(7,h),
    ∴OA=3,OM=7,
    ∴AM=7−3=4.
    令MF=x,
    ∵∠MCF=90°−60°=30°,
    ∴CF=2MF=2x,
    ∴EA=CF=2x,
    则EO=AE−OA=2x−3.
    又∵∠EBO=90°−60°=30°,
    ∴BE=2EO=4x−6,
    ∵AF=AM+MF=4+x,
    则4x−6=4+x,
    解得x=103,
    ∴MF=103,CF=203.
    在Rt△MCF中,
    CM= CF2−MF2= (203)2−(103)2=10 33,
    即h=10 33.
    故答案为:10 33.
    在x轴上分别取点E,F,使得∠BEA=60°,∠CFA=60°构造出全等三角形,再结合勾股定理即可解决问题.
    本题考查坐标与图形性质,通过辅助线构造出全等三角形及勾股定理的巧妙运用是解题的关键.
    16.【答案】解:原式=(x2+4+4x)(x2+4−4x)
    =(x+2)2(x−2)2.
    【解析】首先利用平方差公式分解因式,进而利用完全平方公式分解因式得出即可.
    此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用乘法公式是解题关键.
    17.【答案】解:3x>−8−x①2(x−1)≤6②,
    由①移项得:3x+x>−8,
    合并同类项得:4x>−8,
    解得:x>−2,
    由②去括号得:2x−2≤6,
    移项得:2x≤6+2,
    合并同类项得:2x≤8,
    解得:x≤4,
    ∴不等式组的解集为−2【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集,找出两解集的公共部分即可.
    此题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握不等式的解法是解本题的关键.
    18.【答案】解:原式=(x+1x+1+1x+1)⋅x+1(x+2)2
    =x+2x+1⋅x+1(x+2)2
    =1x+2;
    把x=4代入1x+2中,
    原式=14+2=16.
    【解析】应用分式的混合运算法则进行计算,化为最简,再把x=4代入计算即可得出答案.
    本题主要考查了分式的化简求值,熟练掌握分式的化简求值的方法进行求解是解决本题的关键.
    19.【答案】解:(1)设每个甲种纪念品的进价是x元,则每个乙种纪念品的进价是(x−4)元,
    由题意得:400x=240x−4,
    解得:x=10,
    经检验,x=10是原方程的解,且符合题意,
    ∴x−4=10−4=6,
    答:每个甲种纪念品的进价是10元,每个乙种纪念品的进价是6元;
    (2)设该专卖店购进甲种纪念品m个,则购进乙种纪念品(400−m)个,
    由题意得:10m+6(400−m)≤3000,
    解得:m≤150,
    设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为W元,
    由题意得:W=(13−10)m+(8−6)(400−m)=m+800,
    ∵1>0,
    ∴W随m的增大而增大,
    ∵m≤150,且m为正整数,
    ∴m的最大值是150,
    ∴当m=150时,W取最大值,W的最大值=150+800=950,
    此时,400−m=400−150=250,
    答:该专卖店购进甲种纪念品150个,乙种纪念品250个,获得的销售利润最大.
    【解析】(1)设每个甲种纪念品的进价是x元,则每个乙种纪念品的进价是(x−4)元,由题意:用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同.列出分式方程,解方程即可;
    (2)设该专卖店购进甲种纪念品m个,则购进乙种纪念品(400−m)个,由题意:专卖店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种纪念品共400个,列出一元一次不等式,解得m≤150,再设销售甲、乙两种纪念品获得的利润为w元,由题意得出w关于m的一次函数,然后由一次函数的性质即可得出结论.
    本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)找出数量关系,正确列出一元一次不等式和一次函数关系式.
    20.【答案】6
    【解析】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD//BC,AD=BC,BD=2DO=2BO,
    ∴∠ADO=∠CBO,
    ∵BD=2AD,
    ∴AD=BO=BC,
    ∴△BOC是等腰三角形,
    ∵OE=CE,
    ∴∠OBE=∠CBE=12∠CBO=12∠ADO,
    ∴∠ADO=2∠OBE.
    (2)①证明:∵△BOC是等腰三角形,E是CO中点,
    ∴EB⊥CO,
    ∴∠BEA=90°,
    ∵G为AB中点,
    ∴EG=12AB,
    ∵E、F分别是OC、OD的中点,
    ∴EF=12CD,
    ∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AB=CD,
    ∴EG=EF,
    ∴△EFG是等腰三角形.
    ②解:由题意知,EF//CD//BG,
    ∴EF=12CD=12AB=BG,
    ∴四边形BEFG是平行四边形,
    ∴∠EFG=∠GBE,
    ∵∠FEG=∠AEB=90°,
    ∴△EFG∽△EBA,
    ∴△ABE是等腰三角形,
    ∴∠BAE=∠ABE=45°,
    ∴EG⊥AB,
    设AG=GE=x,则BE=AE= 2x,CE= 2x3,
    在Rt△BCE中,由勾股定理得,BC2=BE2+CE2,即82=( 2x)2+( 2x3)2,
    解得x=12 55或x=−12 55(不合题意,舍去),
    ∴BE=6.
    故答案为:6.
    (1)由平行四边形的性质可知,AD//BC,AD=BC,BD=2DO=2BO,则∠ADO=∠CBO,AD=BO=BC,可得△BOC是等腰三角形,由等腰三角形的性质可知∠OBE=∠CBE=12∠CBO=12∠ADO,进而结论得证;
    (2)①由等腰三角形的性质可知∠BEA=90°,由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得EG=12AB,由中位线的性质可知EF=12CD,由平行四边形的性质可知AB=CD,可得EG=EF,进而结论得证;②证明四边形BEFG是平行四边形,则∠EFG=∠GBE,证明△EFG∽△EBA,则△ABE是等腰三角形,∠BAE=∠ABE=45°,设AG=GE=x,则BE=AE= 2x,CE= 23x,在Rt△BCE中,由勾股定理BC2=BE2+CE2求出满足要求的x值,进而可得BE.
    本题考查了平行四边形的性质与判定,等腰三角形的判定与性质,直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,中位线,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
    21.【答案】x>−2 x≤2 (23,83) (6,8) x<23或x>6
    【解析】解:[问题提出],如图,
    ∵当>−2时,函数y=2x+3的图象在y=x+1的图象上方,
    ∴不等式2x+3>x+1的解集为:x>−2,
    故答案为:x>−2;
    [知识迁移],如图,
    ∵点A(m,3)在y=x+1上,
    ∴m+1=3,
    解得:m=2,
    ∴A(2,3),
    ∵当x≤2时,直线y=ax+b的图象在y=x+1的图象的上方,
    ∴不等式ax+b≥x+1,
    即x+1≤ax+b的解集为:x≤2,
    故答案为:x≤2;
    [问题解决],如图,
    设y=|x−1|+|x−3|,
    根据题意得:
    y=|x−1|+|x−3|=4−2x(x<1)2(1≤x<3)2x−4(x≥3),
    由函数图象得:
    y=4−2x与y=x+2有交点,
    则y=4−2xy=x+2,
    解得:x=23y=83,
    y=2x−4与y=x+2有交点,
    则y=2x−4y=x+2,
    解得:x=6y=8,
    ∴y=|x−1|+|x−3|与y=x+2的两个交点坐标分别为:(23,83);(6,8),
    故答案为:(23,83);(6,8);
    由函数图象可知,当x<23时,y=|x−1|+|x−3|的图象在y=x+2的上方,
    当x>6时,y=|x−1|+|x−3|的图象在y=x+2的上方,
    故不等式|x−1|+|x−3|>x+2的解集为:x<23或x>6,
    故答案为:x<23或x>6.
    【问题提出】观察图象即可得出答案;
    【知识迁移】由点A(m,3)在y=x+1上,可求出m的值,观察图象即可;
    【问题解决】由y=|x−1|+|x−3|=4−2x(x<1)2(1≤x<3)2x−4(x≥3),求出y=|x−1|+|x−3|与y=x+2的两个交点坐标分别为:(23,83);(6,8),画出图象即可解决问题.
    本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系,熟练掌握函数的性质,数形结合是解题的关键.
    22.【答案】2 3 60° 4
    【解析】解:(1)在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=2,
    ∴AB=12OB=1,OA= OB2−AB2= 22−12= 3,
    ∴点B的坐标为( 3,1);
    (2)如图,设OG=y,
    ∵△OBC是等边三角形,
    ∴OC=OB=BC=2,
    ∴CG=OC−OG=2−y,
    由折叠得AG=CG=2−y,
    在Rt△AOG中,OG2+OA2=AG2,
    即y2+( 3)2=(2−y)2,
    解得:y=14,
    ∴OG的长为14;
    (3)如图,将△BCM绕点B顺时针旋转60°得到△BC′M′,连接MM′,
    则BM′=BM,BC′=BC,C′M′=CM,∠C′BC=∠M′BM=60°,
    ∴△BMM′是等边三角形,
    ∴MM′=BM,
    ∴CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′,
    当O、M、M′、C′在同一条直线上时,CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′=OC′为最小值,
    ∵D是OB的中点,∠OAB=90°,
    ∴AD=OD=BD=AB=1,
    ∴△ABD是等边三角形,
    ∴∠ODE=∠ADB=60°,
    ∵∠DOE=90°−30°=60°,
    ∴△ODE是等边三角形,
    ∴OE=OD=1,
    ∴点E是OC的中点,
    ∴∠CBE=∠OBE=30°,
    ∴∠ABO+∠OBC+∠CBC′=60°+60°+60°=180°,
    ∴A、B、C′三点在同一条直线上,
    ∴AC′=AB+BC′=1+2=3,
    ∴OC′= OA2+AC′2= ( 3)2+32=2 3,
    故答案为:2 3;
    (4)如图,以BF为边在△OBF内部作等边三角形BFG,连接OG,
    则BG=FG=BF=2,∠FBG=∠BFG=60°,
    ∵△OBC是等边三角形,
    ∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,
    ∴∠CBF=∠OBG,
    在△BCF和△BOG中,
    BF=BG∠CBF=∠OBGBC=BO,
    ∴△BCF≌△BOG(SAS),
    ∴CF=OG,
    当线段CF的长度最小时,OG最小,
    ∵OG≥OF−FG=6−2=4,
    ∴OG的最小值为4,此时点G落在线段OF上,∠OFB=∠BFG=60°,
    ∴CF的最小值为4;
    故答案为:60°,4.
    (1)利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案;
    (2)设OG=y,则AG=CG=2−y,运用勾股定理建立方程求解即可求得答案;
    (3)将△BCM绕点B顺时针旋转60°得到△BC′M′,连接MM′,可得CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′,当O、M、M′、C′在同一条直线上时,CM+OM+BM=C′M′+OM+MM′=OC′为最小值,再运用勾股定理即可求得OC′= OA2+AC′2= ( 3)2+32=2 3;
    (4)以BF为边在△OBF内部作等边三角形BFG,连接OG,可证得△BCF≌△BOG(SAS),得出CF=OG,当线段CF的长度最小时,OG最小,即可求得答案.
    本题是四边形综合题,考查了等边三角形的性质,直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,折叠变换和旋转变换的性质,勾股定理,两点之间线段最短等,正确添加辅助线是解题关键.
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