辽宁省沈阳市第一三四中学教育集团2024—-2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷

这是一份辽宁省沈阳市第一三四中学教育集团2024—-2025学年上学期第一次月考九年级数学试卷，共23页。
A．2x2﹣3x+1＝0B．3x+2y＝0
C．3x﹣2＝0D．
2．（3分）若，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．4x＝3yD．3x＝4y
3．（3分）若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
4．（3分）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．0.40B．0.35C．0.30D．0.25
5．（3分）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形B．两个矩形
C．两个正方形D．两个平行四边形
6．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且k≠0D．
8．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（ ）
A．∠2＝∠BB．∠1＝∠CC．D．
9．（3分）《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ）
A．32+82＝x2B．（x﹣8）2+32＝x2
C．x2+82＝（x+3）2D．（x﹣3）2+82＝x2
10．（3分）如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（2+，0）B．（ 2+1，0）
C．（ 2﹣1，0）D．（2，0）
二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若，且b+d+f＝3，则a+c+e＝ ．
12．（3分）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有 个．
13．（3分）如图所示，矩形ABCD是一个花园，长AD为32m、宽AB为20m，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为504m2，那么小道进出口的宽度是 ．
14．（3分）P为线段AB的黄金分割点，AP＞BP，若AB＝8，则BP的长为 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．则PM+PN的最小值为 ，S△ADM＝ ．
三.解答题（共8小题）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣7＝0；
（2）3x（x﹣1）＝1﹣x．
17．（8分）某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票．
（1）甲选择A检票通道的概率是 ；
（2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．
18．（8分）列方程解应用题：
某工厂一月份的产品产量为100万件，由于工厂管理理念更新，管理水平提高，产量逐月提高，三月份的产量提高到144万件，求一至三月该工厂产量的月平均增长率．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．
20．（8分）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
21．（9分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AD，DC的中点，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，连接AC．
（1）求证：四边形ACGE是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGC＝60°，AB＝4，求AG的长．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，点C的坐标为（﹣3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB．
（1）求线段CB的长；
（2）如图1，在y轴上有一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCO的面积为S2，当时，求点E的坐标；
（3）如图2，为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从点O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O﹣A﹣B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t≤6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，直接写出相应的t值；若不存在，请说明理由．
23．（12分）（1）如图1，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，延长EM交CD于点F，连接AF，求∠EAF的度数；
（2）如图2，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上，连接NF交AM于点P，则①∠AEF＝ °；
②若，线段AP＝ ；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE、AF折叠，点B落在M处，点D落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若BE＝2，求CF的长．
2024-2025学年辽宁省沈阳134中教育集团九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．2x2﹣3x+1＝0B．3x+2y＝0
C．3x﹣2＝0D．
【分析】根据一元二次方程的定义即可解决问题．
【解答】解：根据一元二次方程的定义可知，
2x2﹣3x+1＝0只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，
故A选项符合题意．
3x+3y＝0含有两个未知数，
故B选项不符合题意．
3x﹣2＝0只含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，
故C选项不符合题意．
只含有一个未知数，但不是整式方程，
故D选项不符合题意．
故选：A．
2．（3分）若，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．4x＝3yD．3x＝4y
【分析】利用比例的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．因为，所以3x＝4y，，故A不符合题意；
B．因为，所以，，故B不符合题意；
C．因为，所以3x＝4y，，故C不符合题意；
D．因为，所以3x＝4y，故D符合题意；
故选：D．
3．（3分）若x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，则m的值为（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【分析】将方程的解x＝1代入方程中求解即可．
【解答】解：∵x＝1是方程x2+mx+1＝0的一个解，
∴1+m+1＝0，解得m＝﹣2，
故选：D．
4．（3分）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．0.40B．0.35C．0.30D．0.25
【分析】利用频率估计概率求解即可．
【解答】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是0.30，
故选：C．
5．（3分）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形B．两个矩形
C．两个正方形D．两个平行四边形
【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
【解答】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个平行四边形的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；
故选：C．
6．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可．
【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：C．
7．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．且k≠0D．
【分析】根据一元二次方程的定义，得k≠0，根据方程有两个实数根，得出Δ≥0，求出k的取值范围即可得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，
∴k≠0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，
解得k≤，
∴k的取值范围是k≤且k≠0，
故选：D．
8．（3分）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（ ）
A．∠2＝∠BB．∠1＝∠CC．D．
【分析】相似三角形的判定：
（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此结合各选项进行判断即可．
【解答】解：∠A＝∠A，
A、若添加∠2＝∠B，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
B、若添加∠1＝∠C，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
C、若添加＝，可利用两边及其夹角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
D、若添加＝，不能判定△AED∽△ABC，故本选项正确；
故选：D．
9．（3分）《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ）
A．32+82＝x2B．（x﹣8）2+32＝x2
C．x2+82＝（x+3）2D．（x﹣3）2+82＝x2
【分析】根据勾股定理列出方程解答即可．
【解答】解：根据勾股定理，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2．
故选：D．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，BD＝2，AB在x轴上．且点A的横坐标为﹣1，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A．（2+，0）B．（ 2+1，0）
C．（ 2﹣1，0）D．（2，0）
【分析】根据矩形的性质得出BD＝AC＝2，由题意可知：AM＝AC＝2，再根据点A坐标进而可以解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝2，
由题意可知：AM＝AC＝2，
∵OA＝|﹣1|＝1，
∴OM＝AM﹣OA＝2﹣1，
∴点M的坐标为（2﹣1，0），
故选：C．
二.填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若，且b+d+f＝3，则a+c+e＝ 6 ．
【分析】根据比例性质，可得答案．
【解答】解：∵，
∴a＝2b，c＝2d，e＝2f，
∴a+c+e＝2（b+d+f）＝2×3＝6．
故答案为：6．
12．（3分）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有 9 个．
【分析】由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出白球个数即可．
【解答】解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，
∴＝25%，
解得：x＝9，
经检验：x＝9是原分式方程的解，
故白球的个数为9个．
故答案为：9．
13．（3分）如图所示，矩形ABCD是一个花园，长AD为32m、宽AB为20m，现要在花园中修建等宽的小道．剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为504m2，那么小道进出口的宽度是 2m ．
【分析】设小道进出口的宽度为x米，根据题意建立一元二次方程，解方程，即可求解．
【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，
依题意得（32﹣2x）（20﹣x）＝504，
整理，得x2﹣36x+68＝0．
解得，x1＝2，x2＝34．
∵34＞32（不合题意，舍去），
∴x＝2．
答：小道进出口的宽度应为2米，
故答案为：2m．
14．（3分）P为线段AB的黄金分割点，AP＞BP，若AB＝8，则BP的长为 ．
【分析】根据黄金比值为 计算即可．
【解答】解：P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝8，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．则PM+PN的最小值为 ，S△ADM＝ ．
【分析】根据正方形的性质得到AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，得到CF＝DE，根据全等三角形的性质得到∠DAE＝∠CDF，求得∠AGM＝∠AGD，根据角平分线的定义得到∠MAG＝∠DAG，根据全等三角形的性质得到GM＝GD，得到AE垂直平分DM，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，求得HM＝HD，当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的长，求得，得到，即PM+PN的最小值为，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BF＝CE，
∴CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠DAE+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴∠AGM＝∠AGD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG＝∠DAG，
∵AG＝AG，
∴△AGM≌△AGD（ASA），
∴GM＝GD，
∵∠AGM＝∠AGD＝90°，
∴AE垂直平分DM，
连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DO⊥AM，
∵AE垂直平分DM，
∴HM＝HD，
当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴，
∴，
即PM+PN的最小值为，
∵AE垂直平分DM，
∴AM＝AD＝4，
∴，
故答案为：，．
三.解答题（共8小题）
16．（10分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣7＝0；
（2）3x（x﹣1）＝1﹣x．
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）移项后，提取公因式分解因式解方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣7＝0，
移项，得x2﹣2x＝7，
配方，得x2﹣2x+1＝7+1，
即（x﹣1）2＝8，
∴，
解得，．
（2）3x（x﹣1）＝1﹣x，
移项，得3x（x﹣1）+（x﹣1）＝0，
因式分解，得（x﹣1）（3x+1）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+1＝0，
解得x1＝1，．
17．（8分）某景区检票口有A、B、C、D共4个检票通道．甲、乙两人到该景区游玩，两人分别从4个检票通道中随机选择一个检票．
（1）甲选择A检票通道的概率是 ；
（2）求甲乙两人选择的检票通道恰好相同的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出甲乙两人选择的检票通道恰好相同的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】（1）解：甲选择A检票通道的概率＝
故答案为；
（2）解：列表如下：
共有16种可能结果，并且它们的出现是等可能的，“甲、乙两人选择相同检票通道”记为事件E，它的发生有4种可能：（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D）
∴P（E）＝＝．
18．（8分）列方程解应用题：
某工厂一月份的产品产量为100万件，由于工厂管理理念更新，管理水平提高，产量逐月提高，三月份的产量提高到144万件，求一至三月该工厂产量的月平均增长率．
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该厂一至三月份的月平均增长率．
【解答】解：设一至三月该工厂产量的月平均增长率为x，
100（1+x）2＝144，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），
即该厂一至三月该工厂产量的月平均增长率是20%．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．
【分析】（1）由AB＝AC可得到∠ABC＝∠ACB，则∠ABD＝∠ACE，即可证得结论；
（2）根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠D＝∠CAE．
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵AB＝AC，AC＝6，
∴AB＝AC＝6，
∵△ABD∽△ECA，
∴，
∴，
∴BD＝9．
20．（8分）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可求出此时每天获得的总利润；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）20+2×4
＝20+8
＝28（个）；
（40﹣4）×28
＝36×28
＝1008（元）．
答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵每个模型盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每个模型应降价10元．
21．（9分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AD，DC的中点，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，连接AC．
（1）求证：四边形ACGE是平行四边形；
（2）连接AG，若∠FGC＝60°，AB＝4，求AG的长．
【分析】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵点E，F分别是AD，DC的中点，
∴EF是△ADC的中线，
∴EF∥AC，则EG∥AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，则AE∥CG，
∴四边形ACGE是平行四边形．
（2）解：取BC的中点H，连接AH，
∵AC∥GE，
∴∠ACD＝∠FGC＝60°，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，
∴AH⊥BC，
在Rt△AHC中，∠AHB＝90°，
∴AH＝＝＝＝2．
∵四边形AEGC是平行四边形，
∴AE＝GC＝AD＝BC＝2，
∴GH＝HC+GC＝2+2＝4，
在Rt△AGH中，
根据勾股定理得，AG＝＝＝2．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，点C的坐标为（﹣3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB．
（1）求线段CB的长；
（2）如图1，在y轴上有一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCO的面积为S2，当时，求点E的坐标；
（3）如图2，为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从点O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O﹣A﹣B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t≤6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，直接写出相应的t值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求出菱形的边长，求出点B的坐标，即可理由待定系数法解决问题；
（2）设点E的坐标为（0，x），分别表示出S1＝|x|，S2＝20，代入S1＝S2解答即可；
（3）因为△ADO是直角三角形，所以△PQB中，必须一个角等于90°，显然只有∠BPQ＝90°或∠PQB＝90°．分别画出图形构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCO是菱形，
∴OA＝AB＝BC＝CO，
∵C（﹣3，4），
∴OC＝＝5，
∴BC＝OC＝OA＝5；
（2）∵C（﹣3，4），BC＝5，
∴B（2，4），
如图1中，设点E的坐标为（0，x），BC交y轴于点F，
∴S1＝OE•BF＝|x|×2＝|x|，S2＝OA×OF＝5×4＝20，
当S1＝S2时，|x|＝×20，
解得：x＝5或﹣5，
∴E（0，5）或E（0，﹣5）；
（3）存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似；理由如下：
∵△ADO是直角三角形，
∴△PQB中，必须一个角等于90°，显然只有∠BPQ＝90°或∠PQB＝90°．
①当∠BPQ＝90°时，如图2.1中，作BH⊥OA于H，
∵cs∠POQ＝＝＝，
∴2（t﹣1）＝•t，
解得t＝2，
∴PB＝2﹣＝，PQ＝，
此时△PQB与△AOD相似．
②如图2.2中，当∠PQB＝90°．
∵∠AOB＝∠ABO，
∴tan∠AOB＝tan∠ABO＝2，
∴＝＝2，
∵∠PQB＝∠AOD＝90°，
∴△PQB∽△AOD，
∵PB＝BQ，
∴2﹣t＝[10﹣2（t﹣1）]，
解得t＝，
综上所述，存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似；此时t＝s．
23．（12分）（1）如图1，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，延长EM交CD于点F，连接AF，求∠EAF的度数；
（2）如图2，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上，连接NF交AM于点P，则①∠AEF＝ 60 °；
②若，线段AP＝ ；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，点E、F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE、AF折叠，点B落在M处，点D落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若BE＝2，求CF的长．
【分析】（1）由正方形的性质得∠BAD＝90°，再由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，由△ADF≌△AMF可得∠DAF＝∠MAF，即可求解；（2）①由折叠的性质和平角的定义可得结论；②先根据①可得∠BAE＝∠EAM＝30°，由直角三角形含30°角的性质可得AE和BE的长，可得EN和CE的长，由三角函数可得AP的长；（3）延长EM交AF于点P，过点P作HN⊥AD于N，证明四边形ABHN是矩形，设DF＝2x，则NP＝PM＝x，PH＝NH﹣PN＝4﹣x，EP＝2+x，根据勾股定理求出x的值，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
由折叠得：∠BAE＝∠EAM，AB＝AM，
∴AD＝AM，
在Rt△ADF和Rt△AMF中，AD＝AM，AF＝AF，
∴△ADF≌△AMF（HL），
∴∠DAF＝∠FAM，
∴∠EAF＝∠EAM+∠FAM＝×90°＝45°，
故答案为：45°；
（2）①如图2，由折叠得：∠AEB＝∠AEF，∠AEF＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠CEF＝∠AEB，
∵∠AEF+∠AEB+∠CEF＝180°，
∴∠AEF＝60°，
故答案为：60；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AEB＝60°，
∴∠BAE＝∠EAM＝30°，
∵AB＝BC＝，
∴BE＝1，AE＝2，
∴EN＝EC＝﹣1，
∴AN＝AE﹣EN＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
在Rt△ANP中，cs30°＝＝，
∴AP＝2﹣2；
（3）解：如图3，延长EM交AF于点P，过点P作HN⊥AD于N，
∵将矩形纸片沿AE、AF折叠，点B落在M处，点D落在G处，
∴AB＝AM，∠PAM＝∠PAN，BE＝EM＝2，∠B＝∠AME＝90°，
在△APM和△APN中，∠PAM＝∠PAN，∠AMP＝∠ANP，
∴△APN≌△APM（AAS），
∴NP＝PM，AN＝AM＝4，
∵∠B＝∠BAN＝90°，HN⊥AD，
∴四边形ABHN是矩形，
又∵AN＝AB，
∴四边形ABHN是正方形，
∴HN＝BH＝4，
∴EH＝BH﹣BE＝4﹣2＝2，
设DF＝2x，则NP＝PM＝x，PH＝NH﹣PN＝4﹣x，EP＝2+x，
∵EP2＝EH2+PH2，
∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，
∴x＝，
∴DF＝，
∴CF＝DC﹣DF＝4﹣＝，
∴CF＝．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/22 17:27:18；用户：高青六中；邮箱：gq6z@xyh.cm；学号：41618634抽奖次数n
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结果 乙
甲
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）