2024-2025学年上海市嘉定区中科院上海实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市嘉定区中科院上海实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列函数中，是的一次函数的是
A．B．C．D．
2．（3分）下列关于的方程中，属于分式方程的是
A．B．C．D．
3．（3分）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为
A．1B．2C．3D．4
4．（3分）下列说法中，正确的是
A．如果和是相反向量，那么
B．如果和是平行向量，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
5．（3分）在中，点、分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是
A．B．C．D．
6．（3分）已知四边形中，对角线与相交于点，，下列判断中错误的是
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
二、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果，那么 ．
8．（4分）方程的根是 ．
9．（4分）已知直线，直线，与直线，，分别交于点，，，，，，，，，则 ．
10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么 ．
11．（4分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 ．
12．（4分）若直角△中，两条直角边长为6和8，为△的重心，则的长为 ．
13．（4分）布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为 ．
14．（4分）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为 ．
15．（4分）如图，在中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 ．
16．（4分）在矩形中，，，的垂直平分线交于点，交于点，联结，，那么四边形的面积等于 ．
17．（4分）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 ．
18．（4分）如图矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为 ．
三、简答题（本大题共有3题，第19题题10分，第20题16分，第21题8分，满分34分）
19．（10分）计算：．
20．（16分）（1）解方程：．
（2）解方程组：．
21．（8分）如图，在中，点为边的中点，设，．
（1）试用向量，表示下列向量： ； ；
（2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法）
四、解答题（本大题共4题，第22题10分，第23题12分，第24、25题每题14分，满分50分）
22．（10分）如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，联结交边于点，连接．
（1）求证：；
（2）如果平分，联结，求证：四边形为菱形．
23．（12分）如图，四边形是菱形，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、．
（1）求证：；
（2）延长、相交于点，当时，求证：．
24．（14分）阅读下列材料，并完成相应任务．
教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．
如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、，将它们拼成如图2的大正方形．
（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用表示，也可以用含、、的代数式表示为 ，那么可以得到等式： ．
整理后，得到、、之间的数量关系：，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边、与斜边所满足的关系式．
（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）
（3）应用：如图3，在直角三角形中，，，，那么 ，点为射线上一点，将沿所在直线翻折，点的对应点为点，如果点在射线上，那么 ．（直接写出答案）
25．（14分）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．
（1）如图，当点与点重合时，求的长；
（2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）连接，当△与△相似时，求线段的长．
参考答案
一、单项选择题（本大题共有6题，每题3分，共18分）
1．（3分）下列函数中，是的一次函数的是
A．B．C．D．
解：．不是一次函数，不符合题意；
．不是一次函数，不符合题意；
、不是一次函数，不符合题意；
、是一次函数，符合题意；
故选：．
2．（3分）下列关于的方程中，属于分式方程的是
A．B．C．D．
解：中方程的分母中不含未知数，则不符合题意；
中方程的分母中不含未知数，则不符合题意；
中方程不是有理方程，则不符合题意；
中方程符合分式方程的定义，则符合题意；
故选：．
3．（3分）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为
A．1B．2C．3D．4
解：由图可得，
，
添加，满足两组对应角相等，可以判定△△，故①符合题意；
添加，满足两组对应角相等，可以判定△△，故②符合题意；
添加，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定△△，故③不符合题意；
添加，即，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定△△，故④符合题意；
故选：．
4．（3分）下列说法中，正确的是
A．如果和是相反向量，那么
B．如果和是平行向量，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
解：如果和是相反向量，那么，故选项错误；
如果和是平行向量，那么和方向相同或相反，模不一定相等，故选错误；
由无法得到，因为方向不一定相同，故选项错误；
如果，那么，正确，故选项正确；
故选：．
5．（3分）在中，点、分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是
A．B．C．D．
解：当或时，，
即或．
故选：．
6．（3分）已知四边形中，对角线与相交于点，，下列判断中错误的是
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
解：、如果，，那么四边形是等腰梯形，不一定矩形，符合题意；
、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是矩形；不符合题意；
、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是菱形；不符合题意；
、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是菱形；不符合题意；
故选：．
二、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果，那么 ．
解：，
，
设，，
．
故答案为．
8．（4分）方程的根是 ．
解：两边都除以3，得，
开立方，得，
故答案为：．
9．（4分）已知直线，直线，与直线，，分别交于点，，，，，，，，，则 7.5 ．
解：，
，即，
解得，
，
故答案为：7.5．
10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么 ．
解：由于为线段的黄金分割点，
且，
则．
；
故答案为：
11．（4分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为 ．
解：设，则原方程化为：，
方程两边乘得：，
即，
故答案为：．
12．（4分）若直角△中，两条直角边长为6和8，为△的重心，则的长为 ．
解：，两条直角边长为6和8，
，
斜边上的中线长为．
为△的重心，
．
故答案为：．
13．（4分）布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为 ．
解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的有2种结果，
摸到的两个红球的概率是．
故答案为：．
14．（4分）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为 16 ．
解：设菱形的两条对角线交于点，如图所示：
四边形是菱形，边长是10，
，，，，
，
；
故答案为16．
15．（4分）如图，在中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为 3 ．
解：是的平分线，
，
点、分别为边、的中点，
，，
，
，
，
．
故答案为：3．
16．（4分）在矩形中，，，的垂直平分线交于点，交于点，联结，，那么四边形的面积等于 ．
解：如图所示：连接，，
四边形是矩形，
，，，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
设，则，
是的垂直平分线，
，
在中，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
17．（4分）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 135或90 ．
解：是四边形的美丽线，
△是等腰三角形．
，
如图1，当时，
，，
△是正三角形，
．
，
，
，
．
如图2，当时，
．
，
四边形是正方形，
．
故答案为：135或90．
18．（4分）如图矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为 或 ．
解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点
点的对应点落在的角平分线上，
，
设，则，
，
又折叠图形可得，
，解得或4，
即或4．
在中，设，
①当时，，，，
，
解得，即，
②当时，，，，
，
解得，即．
故答案为：或．
三、简答题（本大题共有3题，第19题题10分，第20题16分，第21题8分，满分34分）
19．（10分）计算：．
解：原式
．
20．（16分）（1）解方程：．
（2）解方程组：．
【解答】（1）解：将原方程变形为：，
设，
原方程化为，
解得：，，
当时，，解得，
当时，无解，
故原方程的解是；
（2）解：，
，
，
解得：或．
21．（8分）如图，在中，点为边的中点，设，．
（1）试用向量，表示下列向量： ； ；
（2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法）
解：（1），
；
（2）作图如下：
．
四、解答题（本大题共4题，第22题10分，第23题12分，第24、25题每题14分，满分50分）
22．（10分）如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，联结交边于点，连接．
（1）求证：；
（2）如果平分，联结，求证：四边形为菱形．
【解答】证明：（1）四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图：
平分，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形为菱形．
23．（12分）如图，四边形是菱形，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、．
（1）求证：；
（2）延长、相交于点，当时，求证：．
【解答】证明：（1）四边形是菱形，
，，，
，
，，
，，
，
，
；
（2），
是直角三角形斜边的中点，
，
由（1）知：，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
如图，连接，
，，
是等边三角形，
，
，
．
24．（14分）阅读下列材料，并完成相应任务．
教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．
如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、，将它们拼成如图2的大正方形．
（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用表示，也可以用含、、的代数式表示为 ，那么可以得到等式： ．
整理后，得到、、之间的数量关系：，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边、与斜边所满足的关系式．
（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）
（3）应用：如图3，在直角三角形中，，，，那么 ，点为射线上一点，将沿所在直线翻折，点的对应点为点，如果点在射线上，那么 ．（直接写出答案）
解：（1）由图形可知：正方形的面积也可表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即，
用不同的方法表示同一个图形的面积，面积不变，
，
故答案为：，；
（2）答案不唯一，比如：
（3）在直角三角形中，，，，
由勾股定理，得，
点为射线上一点，分两种情况：
①点在上时，如图，
设，由翻折可知，，，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得；
②点在的延长线上时，如图，
设，由翻折可知，，，
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得．
故答案为：或6．
25．（14分）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．
（1）如图，当点与点重合时，求的长；
（2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）连接，当△与△相似时，求线段的长．
解：（1），
，
，
，
，
，
，
；
（2）过点作，垂足为点，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，
；
（3），
，
，
，
，
，
当△与△相似时，
（ⅰ）若，
，，
，
，
，
，
，，
，
设，，，
；
（ⅱ）若，如所示，设与交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，，
，
综上所述，线段的长为或1时△与△相似．