人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十一、二章综合测试题（9月份月考模拟）（解析版）-A4

这是一份人教版2024-2025学年九年级数学上册第二十一、二章综合测试题（9月份月考模拟）（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了 一元二次方程根的情况是， 对于抛物线，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（ ）
A. 3，B. ，3C. 3，1D. 3，
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查一元二次方程一般式，解题的关键是熟知一元二次方程的特点．根据一元二次方程的特点即可求解．
【详解】解：方程的二次项系数和常数项分别为3和1，
故选C．
2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
、方程含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程，是一元二次方程，符合题意；
、当是，方程为，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：．
3. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 3、2、B. 3、2、3C. 3、、3D. 3、、
【答案】D
【解析】
【分析】将一元二次方程化为一般形式即可求得结果．
【详解】解：将一元二次方程化为一般形式，
得，
二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式以及多项式的有关概念，解决问题的关键是将一元二次方程化为一般形式．
4. 若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，则2021+2a﹣b的值是（ ）
A. 2016B. 2018C. 2019D. 2022
【答案】C
【解析】
【分析】把x=2代入已知方程求得2a-b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2-bx+4=0的解是x=2，
∴4a-2b+4=0，
则2a-b=-2，
∴2021+2a-b=2021+（2a-b）=2021+（-2）=2019．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想．
5. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6. 我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步，
∴矩形的长为步．
依题意，得：．
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况，理解并掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．关于的一元二次方程，其根的判别式为．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此可得出方程没有实数根．
【详解】解：对于方程，
∵，
∴，
∴该方程没有实数根．
选：D．
8. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下
B. 有最大值，最大值是
C. 抛物线的顶点坐标是
D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可判断答案．
【详解】，
抛物线开口向上，
A选项不正确；
二次函数的图象的顶点坐标是，
抛物线有最小值，且最小值是，
B选项和C选项都不正确；
，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而增大，
D选项正确．
故选：D．
9. 的两条边a，b为方程的两个根，则第三条边c的值不可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】先解一元二次方程求出a，b，再根据三角形三边关系求出第三条边c的取值范围，即可求解．
【详解】解：，
因式分解，得，
解得，，
a，b为方程的两个根，
a=2，或，，
由三角形三边关系得，，即，
观察选项可知，只有D选项满足条件，
故选D．
【点睛】本题考查解一元二次方程，三角形三边关系的应用，解题的关键是通过解方程求出a，b．
10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 对于任意的实数m，总有
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐项分析即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴，
∴，选项A符合题意；
∵抛物线过，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，选项B不符合题意；
∵，
∴，选项C不符合题意；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴函数的最大值为，
∴对于任意的实数m，总有，
∴对于任意的实数m，，选项D不符合题意．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 方程的根是________________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开方法解一元二次方程的方法是解题关键．利用直接开方法解该方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，．
答案为：，．
12. 已知方程的一个根是，则m的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把代入，得，
解得，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13. 某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______．
【答案】4.86（1+x）2=6
【解析】
【分析】根据等量关系：增产前的产量×（1+x）2=增产后的产量列出方程即可．
【详解】解：根据题意，得：4.86（1+x）2=6，
故答案为：4.86（1+x）2=6．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．
14. 用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答．
【详解】解： ，
，，，
从而得到一元二次方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．
15. 已知抛物线，P为x轴上方抛物线上一点．若点P到对称轴的距离与点P到x轴的距离相等，则点P的坐标为 ____________________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，点到直线的距离，解一元二次方程，正确理解题意列方程是解题的关键．设点，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，根据题意列方程，当时，求得，可得点P的坐标；当时，求得，可得点P的坐标．
【详解】设点，
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
则，
当时，，
解得，（舍去），
；
当时，，
解得，（舍去），
；
终上所述，点P的坐标为或．
故答案为：或．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16. 解一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）（公式法）．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法和配方法解一元二次方程．
（1）利用配方法解一元二次方程即可得到答案；
（2）利用公式法解一元二次方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
解得，
，，
，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，．
17. 已知二次函数的图象经过和两点．
（1）求m的值．
（2）求该二次函数图象顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）m的值为4
（2）顶点坐标为，对称轴为直线
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将和两点代入二次函数，即可解决问题；
（2）由（1）可得，进而可得该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过和两点，
∴，
∴，
∴m的值为4；
【小问2详解】
解：由（1）知：二次函数，
∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的其中一个根为，求方程的另一个根．
【答案】（1）m
（2）方程的另一个根是0
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握定理是解题的关键．
（1）根据方程有实数根，得到计算即可．
（2）根据方程的一个根为 1，代入方程求解，再代入方程计算即可．
【小问1详解】
解：∵方程有实数根，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵方程的其中一个根为，
∴，
∴，
∴原方程为．
∴，，
∴方程的另一个根是0．
19. 二次函数的图象经过点，．
（1）求二次函数的解析式．
（2）若点在函数图象上，求的面积．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象上点的坐标特征．
（1）先把点、的坐标分别代入中得到关于、的方程组，然后解方程组求出、，从而得到二次函数解析式；
（2）先把代入（1）中的解析式求出，然后根据三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
把，分别代入得
，
解得，
二次函数的解析式为；
【小问2详解】
把代入得，
点坐标为，
，，
面积．
20. 某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
【答案】（1）450千克
（2）65元或75元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）利用月销售量每千克水果降低的钱数，即可求出结论；
（2）设每千克水果售价为元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，利用总利润每千克的销售利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：
（千克）．
答：每月销售水果450千克．
【小问2详解】
解：设每千克水果售价为元，则每千克的销售利润为元，月销售量为千克，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每千克水果售价为65元或75元．
21. 已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值．
【答案】（1）x=2
（2）有最小值，最小值为1
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是确定顶点是抛物线的最高点或者最低点．
（1）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势,则,进而求解；
（2），故抛物线有最小值，即可求解．
【小问1详解】
解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，
则抛物线开口向上，，
由，则，
则抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：，抛物线有最小值，
当时，，
即二次函数有最小值，这个最小值为1．
22. 阅读下列材料：
方程两边同时除以，得，即．因为，所以．
根据以上材料解答下列问题：
（1）已知方程，则_____；_____．
（2）若m是方程根，求的值．
【答案】（1）4，18
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值：
（1）仿照题意求解即可；
（2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4；18；
【小问2详解】
解：∵m是方程的根，
∴，
∴（时不满足原方程），
∴，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）把点的坐标代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式；
（2）根据的面积为列方程可得点的坐标；
（3）由等腰三角形行政，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，从而可以解答．
【小问1详解】
解：把点的坐标代入抛物线中得：
，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：当时，，解得，，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
；
【小问3详解】
解：当时，时，
，
，
，
①当时，；
②当时，；
③当时，设，则，
在中，，即，解得，
，
；
综上，点的坐标为或或．