2024~2025学年辽宁省大连市中山区九年级上学期期末人教版模拟数学试卷（解析版）

这是一份2024~2025学年辽宁省大连市中山区九年级上学期期末人教版模拟数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
参考公式：抛物线 的顶点坐标为
第一部分 选择题(共30分)
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 一枚圆形硬币放在太阳光下，它在平整的地面上的投影不可能是（ ）
A. 线段B. 圆C. 椭圆D. 正方形
【答案】D
【解析】当硬币与光线平行时，投影是线段；当硬币面与光线垂直时，投影是圆；其余都是椭圆，
故选：D．
2. 已知的半径为10，，则点 与的位置关系是（ ）
A. 点在内B. 点在上
C. 点 在外D. 不确定
【答案】A
【解析】∵的半径为10，，∴，
∴点内，
故选：．
3. 下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 平行四边形
C. 菱形D. 对角线相等的四边形
【答案】C
【解析】A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、菱形即是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、对角线相等的四边形如等腰梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
4. 关于抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A. 开口向下B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标-2,3D. 与轴交点坐标0,3
【答案】D
【解析】在中，
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，
∴选项A、B、C均不符合题意；
令，得，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
∴选项D符合题意．
故选：D．
5. 若关于x的方程两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A. B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】∵关于的方程有两个相等的实数根，
，∴，
解得，，
故选：B．
6. 一个不透明的布袋里装有3个红球、1个黑球、若干个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是，袋中白球共有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
【答案】C
【解析】设白球有x个，根据题意，得，解得：，
经检验是方程的解，即袋中白球有6个，
故选：C．
7. 如图，中，，．将绕点 B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∵绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，
∴，，
∵，
，
∴．
故选：B．
8. 下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值：
那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（ ）
A. 1.07B. 1.17C. 1.27D. 1.37
【答案】C
【解析】由表可知当时，，
当时，，
抛物线，与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点，
方程的一个根的近似值约为，
故选：C．
9. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．
∴，OC==13，
∴．
故选：B．
10. 顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=∠DBC=36°，∠BCD=∠BDC=72°，
∴∠ACB=∠BCD，∴△BCD∽△ABC，∴BC：AB=DC：BC，
∵BC：AB=，DC=1，∴BC=，
∴：AB=，∴AB=，∴AC=，
故选D．
第二部分 非选择题(共90分)
二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)
11. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则_________米．
【答案】
【解析】迎水坡的坡比为，米，
，即，
解得：（米），
故答案为：．
12. 若二次函数的图象开口向下且经过原点，则a的值是_____．
【答案】
【解析】∵抛物线经过原点，
∴，解得，
∵图象开口向下，，
∴．
故答案为．
13. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是__________.
【答案】2
【解析】如图，连接OA、OB，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长为12，
∴边长为2，
∵∠AOB=×360°=60°，且OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=AB=2，
即该圆的半径为2．
14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边轴，垂足为E，顶点A在第二象限，，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，，则k的值为______．
【答案】
【解析】由题意得，AB＝BC＝CD＝DA＝5，
设DE＝x，则BE＝2x，AE＝5﹣x，
在RtABE中，由勾股定理得，（5﹣x）2+（2x）2＝52，
解得x＝0 （舍去），x＝2，
即DE＝2，BE＝4，
设点C（5，y），则D（2，y+4），
∵反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过点C、D．
∴5y＝2（y+4）＝k，解得：y＝，∴k＝5y＝，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，如果恰在矩形的对角线上，则的长为________．
【答案】
【解析】四边形是矩形，，，
，，，
∴，
由翻折的性质得：垂直平分，
，，


，
，
，，
，
∴，即，
，
．
三、解答题(本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16. （1）计算：；
（2）将抛物线向右平移两个单位长度，再向上平移三个单位长度，求平移后的抛物线解析式(写成一般式)．
解：（1）原式；
（2），
将抛物线向右平移两个单位长度，得，即，
再向上平移三个单位，得，即，
平移后抛物线的解析式为．
17. 如图，在中，，是边的三等分点，点，在边上，．
（1）若，求的长；
（2）求的值．
解：（1）∵是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴；
（2）∵，是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴．
18. 元旦假期，李老师驾驶小汽车从甲地沿公路匀速行驶到乙地，当小汽车匀速行驶的速度为时，行驶时间为．设小汽车行驶的平均速度为，行驶的时间为 t h．
（1）求v关于t的函数表达式(不用写出自变量t的取值范围)；
（2）若这条公路限速为，李老师需要不超过从乙地返回甲地，求李老师从乙地返回甲地的平均速度ν的取值范围．
解：（1）由题意可得从甲地到乙地路程为：，
与的关系式为：；
（2）在中，
令，
，当时，随的增大而减小，
，
又此公路限速，
答：李老师从乙地返回甲地的平均速度的取值范围是．
19. 如图，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心处竖直安装一根高度为的水管，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．
建立如图所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置距离喷水池中心的水平距离为．
（1）求喷出水流的竖直高度（）与距离水池中心的水平距离（）之间的关系式，并求出水流喷出的最大高度CD的长；
（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若水管的高度增加时，则水流离喷水池中心的最远水平距离为______．
解：（1）由题意，点坐标为，点坐标为．
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，点，
∴．∴．∴．
∴x=1时，．
∴水流喷出的最大高度为．
（2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变,
∴可设抛物线为．
∵此时为，∴．∴．
∴抛物线为．
令，∴或，不合题意)．
∴水流离喷水池中心的最远水平距离为．
故答案为：．
20. 综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米．

素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值：
问题解决】
（1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离；
（2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
解：（1）如图1，过作于，

则，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
在中，，即，
，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为．
（2）过作于，过作于，

则，
四边形为矩形，
，
，
，
由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，
当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
在中，， 即，，
，
答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为．
21. 如图，在中，，点是边AB上一点，以为直径的与边，分别相交于点，，且
（1）如图1，求证：是的切线；
（2）如图2，连接，若，求阴影部分的面积．
（1）证明：如图1，连接
．
．
又
．
．
又
．
又是半径，
是的切线；
（2）解：如图2，过点作于点，
设的半径为
在中，，
，则．
同理，在中，，则，
，解得：，
为等边三角形，，
，，
又
为等边三角形，
，
在中，根据勾股定理得，，
．
22. 如图1，在正方形中，是射线上的一个动点，过点作交的延长线于点，射线交直线于点，连接．

（1）求证∶
（2）猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）若正方形边长为4，．
①如图2，当点在的延长线上时，求和的长；
②如图3，当点在线段上时，直接写出和的长．
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：，
理由：如图1，过点作于，，

，即，
四边形是正方形，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
．
（3）解：①如图2，在上截取，连接，

在正方形中，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
为等腰直角三角形，根据勾股定理得，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得， ，
，
，
，
，
，
，
；
②，正方形的边长为4，
，
，
，
，
，
，
，
由（2）知：，
．
23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点，点是抛物线的顶点，过点作轴交抛物线于点，点为抛物线上一点，其横坐标为，将此抛物线上、两点间的部分(包括、两点)记为图象．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若的面积等于时，求的值；
（3）记图像的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（4）若点，连接，取线段的中点，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，以、为邻边构造矩形，当时，直接写出图像与矩形有两个交点时的取值范围．
解：（1）将代入，
得：，
解得：，
解析式为；
（2），
顶点坐标，对称轴为直线，
轴，
和点关于对称轴对称，则点坐标为，
边上的高为，
，
点在直线下方的抛物线上，
设，
，
，
整理得，解得，
的值为或；
（3），
当时，图像的最高点为，最低点为，
，
当时，图像的最高点为，最低点为，
，
当时，图像的最高点为，最低点为，
；
当时，图像的最高点为，最低点为，
，
综上所述，，
（4），是线段的中点，
轴，
由旋转得，，线段和都是随着的增大而减小，
，
当点在点右侧时分三种情形：
点在点的上方，且轴，，则点，
当恰好经过点时，如图即，
此时图像与矩形的交点为和个交点符合题意；
以图这种特殊情况为界，抛物线固定不动，若减小，则和变长，此时向下移动，
，点不能与点重合，
这个过程中图像与矩形只有一个交点，
若增大，则减小，点向上移动，这个过程中，图像与边有两个交点，
加上点有三个交点，直至点移动到线段上，如图，
此时，
，
解得：或，
当时，点在抛物线对称轴左侧，此时图像与矩形有个交点，
如图，点过了此点后，增大，减小，点向右运动，
这个过程中，图象与矩形有两个交点，直至如图，
点运动到抛物线对称轴右侧且在上，此时，
当时，有个交点；
再随着的增大，点向下运动，减小，点在矩形内部或运动到点下方，
此时只有一个交点，则，
，
解得，此时只有一个交点，不符合题意；
当点在点右侧时，即，即，
此时点在点下方，如图，
点的纵坐标为，
的纵坐标为，
，
，
，
点的纵坐标小于点的纵坐标，点在的下方，
图像与有一个交点，加上点，共有两个交点，符合题意；
综上所述，图像与矩形有两个交点时的取值范围为：或或．x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
0.14
0.62
…
时刻（时）
12
13
14
15
角的正切值
5
2.5
1.25
1