重庆市秀山高级中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市秀山高级中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．过，两点的直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围为( )
A.B.C.D.
3．如图,空间四边形中,,,,点M在上,且满足,点N为的中点,则( )
A.B.
C.D.
4．若直线与相离,则点与圆O的位置关系为( )
A.点P在圆O内B.点P在圆O上
C.点P在圆O外D.无法确定
5．已知圆,圆,则这两圆的公共弦长为( )
A.B.C.2D.1
6．已知P是椭圆上的动点,过P作y轴的垂线,垂足为A,若动点B,满足,则动点B的轨迹方程为( )
A.B.
C.D.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为,,M为椭圆C上任意一点,N为圆上任意一点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．已知O为坐标原点,P是椭圆上位于x轴上方的点,F为右焦点.延长、交椭圆E于Q、R两点,,,则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
C.已知向量组是空间的一个基底,则也是空间的一个基底
D.若,则是钝角
10．若三条不同的直线,,,能围成一个三角形,则m的取值不可能为( )
A.B.C.D.1
11．已知圆与直线相交于C,D两点,O为坐标原点,则下列说法正确的是( )
A.直线l过定点B.若,则的面积为
C.的最小值为D.的面积的最大值为2
三、填空题
12．若直线与曲线()有一个交点,则实数k的取值范围是_________.
13．已知：,,,,,一束光线从F点出发发射到上的D点经反射后,再经反射,落到线段上（不含端点）斜率的范围为____________.
四、解答题
14．已知点,,若点在线段上,则的取值范围为__________.
15．已知直线．
(1)若直线m与直线l垂直,且经过,求直线m的斜截式方程;
(2)若直线n与直线l平行,且与两坐标轴围成的三角形的面积为2,求直线n的一般式方程．
16．已知,,过A,B两点作圆,且圆心M在直线上．
(1)求圆M的标准方程;
(2)过作圆M的切线,求切线所在的直线方程．
17．已知焦点在x轴上的椭圆C过点,离心率为,
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率为的直线与曲线C相交于点D,E,弦长,求直线的方程．
18．如图,已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线,且,,,,且.
(1)设点M为棱的中点,求证：平面;
(2)求平面与平面的所成角的余弦值;
(3)线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
19．如图,椭圆的离心率为,其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点的直线l交C于A、B两点,交直线于点P．若,,证明：为定值,并求出这个定值．
参考答案
1．答案：D
解析：由已知直线的斜率为，，
所以倾斜角.
故选：D.
2．答案：A
解析：由方程表示焦点在y轴上的椭圆,得,解得,
所以实数k的取值范围为.
故选：A.
3．答案：C
解析：由,点N为的中点,
可得,
又,,,．
故选：C.
4．答案：A
解析：由题设与直线的距离,即,
所以点在圆O内.
故选：A.
5．答案：C
解析：由圆,圆,
两式相减得相交弦所在直线方程：.
由圆可得圆,
所以圆心、半径.
所以圆心到直线的距离,
所以相交弦长为.
故选：C.
6．答案：B
解析：设,,则,
,
因为,所以,
可得,所以有.
故选：B.
7．答案：B
解析：由题意知M为椭圆上任意一点,N为圆上任意一点,
故,,
故,
当且仅当M,N,E共线,N在线段上时取等号,
所以
,
当且仅当M,N,E,共线,M,N在线段上时取等号,
而,
故的最小值为,
故选：B.
8．答案：C
解析：如图,设椭圆E的左焦点为,连接、、,
由题意可知,P、Q关于原点O对称,且O为的中点,
所以四边形为平行四边形,
又因为,所以四边形为矩形.
因为,设,,
则,,
所以,,
在中,,即,
解得,所以,,,
在中,由勾股定理可得,即,
整理可得,解得.
故选：C.
9．答案：ABC
解析：对于A,因为有两个向量共线,所以这三个向量一定共面,A正确;
对于B,因为,且,
所以P,A,B,C四点共面,B正确;
对于C,因为是空间中的一组基底,所以,,不共面且都不为,
假设,,共面,则,
即,则,与其为基底矛盾,所以,,不共面,
所以也是空间的一组基底,C正确;
对于D,若,则是钝角或是,D错误;
故选：ABC.
10．答案：ABC
解析：由直线,,,
若或重合时,则满足,解得;
若或重合时,则满足,解得;
若经过直线与的交点时,此时三条直线不能围成一个三角形,
联立方程组,解得,,即交点,
将点代入直线,可得,解得
故选：ABC.
11．答案：ABD
解析：A选项,直线变形为,
所以直线l过定点,A选项正确;
B选项,易知道,若直线,则,解得,
此时直线,
到l的距离,则,
故的面积为,B选项正确;
C选项,由A选项知,直线l过定点,
所以到l的距离d的最大值为,
由于,故此时取得最小值,
最小值为,C选项错误;
D选项,设到l的距离为d,
则面积为,
当且仅当,即时,等号成立,D选项正确．
故选：ABD．
12．答案：
解析：由曲线平方得：,
可得上述方程曲线表示半圆,
再由直线变形得：,从而可知：直线l过定点,
如图
当直线与圆相切时有一个交点,
此时由圆心到直线的距离等于半径可得：
,解得：或（由图可知,舍去）,
当直线l过点时,可得,解得,
当直线l过点时,可得,解得,
由直线可知,k表示直线的斜率,结合图形要有一个交点,
则斜率k满足或,
故答案为：.
13．答案：
解析： ,,,直线方程为,直线方程为,
如图,作F关于的对称点P,则,
再作P关于的对称点M,则,
连接,交与点N,则直线方程为,
,
连接,分别交为点G,H,
则直线方程为,直线方程为,
,,连接,,
则G,H之间即为点D的变动范围．
直线方程为,直线的斜率为斜率的范围为,
故答案为：.
14．答案：
解析：表示过点和点的直线斜率,
如图,
因为,,结合图形可知或,
所以的取值范围为.
故答案为：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意设直线m的方程为:,
由直线m经过得:,解得:,
直线m的方程为:,即.
(2)由题意设直线n的方程为:,
令,则;令,则,
所以直线n两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积,
解得:,
所以直线n的一般式方程为.
16．答案：(1)
(2)或.
解析：(1)依题意,设圆M的标准方程为,
则,解得,
所以圆M的标准方程为.
(2)由(1)知,,
若所求直线的斜率不存在,则由直线过点,得直线方程为,
此时圆心到直线的距离,满足题意;
若所求直线的斜率存在,设斜率为k,
则直线方程为,即,
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,解得,
所以切线方程为,即.
综上,切线方程为或.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得,解得,,
椭圆C的方程为.
(2)设直线,,,
联立并整理得,,
所以,
,
解得,符合,
直线方程为,即．
18．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)存在,N点与D点重合
解析：(1)由已知,,可知,则,
又矩形中有,且,
,,平面,所以平面,
又,
则平面,所以,,两两垂直,
故以B为原点,,,分别为x轴,y轴,z轴正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,所以.
易知平面的一个法向量等于,
所以,所以,
又平面,所以平面.
(2)因为,,
设平面的法向量为,
由,得,
取,则,,
即为平面的一个法向量,
因为,,
设平面的法向量为,
由,得,
取,则,,
即为平面的一个法向量,
设平面与平面的所成角为,
则;
(3)存在,当点N与点D重合时,直线与平面所成角的正弦值为.
理由如下：
假设线段上存在一点N,使得直线与平面所成的角的正弦值等于.
设,
则,.
所以
.
所以,解得或(舍去),
因此,线段上存在一点N,当N点与D点重合时,
直线与平面所成角的正弦值等于.
19．答案：(1);
(2)证明见解析,定值为0.
解析：(1)由题设,又,则,,
所以椭圆C的标准方程为.
(2)由题设,直线l斜率一定存在,令,且在椭圆C内,
联立直线与椭圆并整理得,且,
令,,而,则,,
由,则且,得,
同理,,
由,则且,得,
所以
又,,
则.
所以为定值0.