重庆市求精中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市求精中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数,则( )
A.B.C.D.
2．已知椭圆的左右焦点分别为、,过左焦点,作直线交椭圆C于A、B两点,则三角形的周长为( )
A.8B.10C.12D.14
3．在空间中,若向量,,共面,则( )
A.B.C.D.6
4．空间内有三点,,,则点P到直线的距离为( )
A.B.C.2.D.
5．已知圆,直线.则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.B.C.4D.
6．在三棱锥中,G为的重心,,,,其中,,若交平面于点M,且,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
7．圆,P是直线上的动点,过点P作圆C的切线,切点为M,N,那么的最小值是( )
A.B.C.D.4
8．在中,,,,则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的为( )
A.在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点为
B.方程表示焦点在x轴的椭圆,则
C.向量,向量,则向量在向量上的投影向量的坐标为
D.圆与圆的公切线有2条
10．已知圆,直线.则下列结论正确的是( )
A.点P,Q为圆C上两点,P,Q关于直线l对称,则
B.当时,圆C上恰有2个点到直线l的距离等于1
C.若动点D在圆C上,点,则线段中点M的轨迹方程为
D.直线l与曲线有两个交点,则实数m的取值范围是
11．正方体的棱长为2,点M为正方形内的一个动点（含边界）,Q为的中点,则下列结论正确的是( )
A.当M与D重合时,平面
B.当时,的最大值为
C.当时,M的轨迹长度为
D.若,则与平面所成角正弦值的最小值为
三、填空题
12．已知直线l的方程为,则直线的倾斜角为________
13．在三棱锥中,,,,则该三棱锥的体积为________
14．已知在曲线上,O为坐标原点,则的取值范围为________
四、解答题
15．（1）若直线和直线平行,求m的值及到的距离.
（2）已知直线经过点,,求点关于直线对称点的坐标.
16．已知圆心为C的圆经过点,,且圆心C在直线上.
（1）求圆C的方程.
（2）斜率为2的直线l与圆C交于A,B两点,,求直线l的方程.
17．已知椭圆的左,右焦点分别为,,,点在上,为椭圆的一个动点.
（1）求的方程.
（2）当时,求的面积.
（3）求的取值范围.
18．如图,四棱锥,底面为菱形,,且均为锐角,,
（1）求证:
（2）当四棱锥体积为时,
（i）时,求二面角的余弦值.
（ii）是否存在的值,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
19．已知,,动点P满足,点P的轨迹为曲线.
（1）求的方程.
（2）曲线,曲线与曲线的交点为M,N.以为直径的圆H与x轴,y轴正半轴交点分别为E,F.
（i）点Q在直线上移动,过Q作圆H的切线,切点为C,D,试问直线是否过定点?若是.求出这个定点;若否,请说明理由.
（ii）G为圆H上异于E,F的一点,直线交y轴于点J,直线交x轴于点K,求证:为定值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为复数,所以.
故选:A
2．答案：A
解析：由椭圆的定义得,,
则的周长为.
故选:A.
3．答案：C
解析：若向量,,共面,
则,
即,解得:.
故选:C
4．答案：D
解析：因为,,,所以,
所以直线的一个单位方向向量为,
又,
所以点P到直线的距离为.
故选:D
5．答案：C
解析：圆心,半径,
圆心到直线的距离为,
所以直线l被圆C截得的弦长为.
故选:C.
6．答案：A
解析：连结并延长交于N,因为G为重心,则N为中点,
,
,
M,E,F,H四点共面,则,即,
因为,,所以,解得:,
,,,
即,
故选:A
7．答案：B
解析：圆的圆心,半径为,
如图所示:,
当最小时四边形面积最小,因为,所以当四边形面积最小时最小,
,
所以只需直线上的动点P到C的距离最小即可,其最小值为圆心到直线的距离,
此时,
.
故选:B
8．答案：D
解析：由,,则,,
在中,有,
即,即,
有,
故,,
,
则
,
其中,,
则当,即时,有最大值,
由,则,由,则,
故可取,故有最大值.
故选:D
9．答案：BCD
解析：对A:点关于平面的对称点为,故A错误;
对B:若方程表示焦点在x轴的椭圆,则有,
解得,即,故B正确;
对C:,
则向量在向量上的投影向量的坐标为,故C正确;
对D:圆与圆的圆心分别为、,半径分别为、,
则有,,,
则,故圆与圆相交,
故圆与圆的公切线有2条,故D正确.
故选:BCD.
10．答案：ACD
解析：圆的圆心C的坐标为,半径为,
对于A,因为点P,Q为圆C上两点,且P,Q关于直线l对称,
所以圆心在直线上,故,解得,故A正确;
对于B,当时,直线,圆心到直线l的距离为,
所以圆C与直线l相交,且,
则圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1,故B错误;
对于C,设,,由题意得,
解得,因为点圆上,
代入化简得,故C正确;
对于D,曲线曲线方程可化为,,
该曲线表示以为圆心,半径为2的圆在x轴的上半部分,
如图所示:
令圆心到直线l的距离为,解得,
又直线过定点,点,则,即,
所以若直线l与曲线有两个交点,则实数m的取值范围是,故D正确;
故选:ACD
11．答案：ACD
解析：对于A,当M与D重合时,如图,连接,
因为平面,平面,
所以,
又,,平面,,
所以平面,平面,则,
同理,,且,是平面内两条相交直线,
所以平面,即平面,故A正确;
对于B,以点D为坐标原点,,,分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,设,,,
,,当时,
所以,即,
所以,
,,故的最大值为,故B错误;
对于C,因为,所以M在以Q为球心,为半径的球上,
又M为侧面上的点,所以M在球被平面截得的交线上,
取的中点G,则平面,,,
所以点M在以点G为圆心,1为半径的圆上,如图所示,M的轨迹长度为.
故C正确;
对于D,如图,,,,
因为,设,,则,
由选项A,同理可证平面,且,
设与平面所成角为,
则
,,
,故D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：由可得直线l的斜率为,则直线的倾斜角为.
故答案为:.
13．答案：或
解析：设平面的一个法向量为,
则,令,得,
所以,
所以点D到平面的距离为,
又
,
所以该三棱锥的体积为.
故答案为:.
14．答案：
解析：因为,
①当时,曲线C的方程为:
即,即,此时,所以
即,解得,所以曲线C是右半椭圆;
②当时,曲线C的方程为:,
即,即
此时,由得;
由,即,得,得;
由,解得或;
综上所述:,
曲线C是以为圆心,2为半径的圆在y轴左侧的部分,如图所示:
表示点和点的距离及点和点的距离的和;
当点A位于椭圆部分时,由椭圆的定义可知;
当点A位于圆部分时,因为圆心,半径,所以,
当点A与点B重合时,,
当点A与点D或点E重合时,,
此时,
终上所述:当在曲线上时,,
故答案为:
15．答案：（1）,,
（2）
解析：（1）因为,所以,解得,
所以,,
所以与的距离为.
（2）因为,所以直线的方程为,即,
设,则,解得,
所以点的坐标为.
16．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意,中点为,直线的斜率为,
则线段的垂直平分线方程为,
圆心C在线段的垂直平分线上,由,解得,
所以圆心C的坐标为,半径为,
所以圆C的方程为.
（2）因为,可得圆心C到直线l的距离,
设直线的方程为,
则,解得,
所以直线l的方程为或.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由题设得到,且,即,,
故椭圆方程为:.
（2）为椭圆上的一点,
,平方得①,
在中,由余弦定理,得,
即②,
由,得,即,
所以的面积.
（3）设,则,所以,.
因为,,
.
,.
所以的取值范围是.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）（i）;
（ii）存在,
解析：（1）过点P作平面于H,过H分别作,于M,N两点,连结,,
因为平面,则,又,,,平面,
所以平面,平面,则,
同理,
,且为公共边,
,,
在以及中,为公共边,,
即点H在角平分线上,即,所以平面,
因为平面,平面,所以,
又底面为菱形,所以,,,平面,
平面,平面,
.
（2）（i）,
所以,,
过E作交于点F,则平面,
过F作于点G,连结,
因为平面,
所以,又,,,平面,
则平面,所以为二面角的平面角,
,
,且,所以,
则,
设二面角的平面角为,则,
所以.
（ii）设,在菱形中,,
以O为原点,为x轴,为y轴建立空间直角坐标系,如图:
则,,,,
,
,则,
设平面的法向量,,,
则,令得:,
直线与平面所成角的正弦值为,
解得:或（舍）,
所以.
19．答案：（1）
（2）（i）过定点为;
（ii）证明见解析.
解析：（1）设
因为
所以有
经整理得
（2）方程与方程联立
求解得或
所以圆H的方程为
所以有,
（i）设,,,
易知圆H的圆心为原点O
所以有,
由向量数量积的几何意义可知,,
所以有
故C,D两点均满足直线
所以直线的方程为
过定点
（ii）设
则有,,,
所以得到,,
所以,,
所以
因为
不妨设,,
所以有
继续化简得
所以为定值4.