北师大版（2024）七年级上册5.2 求解一元一次方程精品练习题

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1.掌握一元一次方程移项的方法；
2.掌握一元一次方程去括号的方法；
3.掌握一元一次方程去分母的方法；
4.掌握一元一次方程的解的各类题型.
知识点01 一元一次方程的解法
◆合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用.
◆移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
◆去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号.
◆去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数.
【注意】：（1）移项的时候注意变号；
（2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号.
知识点02 同解方程
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值.
知识点03 绝对值方程的解法
若，那么.
题型01 解一元一次方程--合并同类型与移项
例题：（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）解方程：
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接合并同类项，系数化为1即可得出答案；
（2）直接移项，合并同类项，系数化为1即可得出答案．
【详解】（1）解：

（2）解：
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江宁波·七年级校考开学考试）解方程
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（3）
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（4）
去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（2）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（3）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（4）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（5）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可；
（6）先合并同类项，再将未知数的系数化为即可．
【详解】（1）解：原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（4）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（5）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：；
（6）原方程合并同类项得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
题型02 解一元一次方程--去括号
例题：（2023秋·七年级课时练习）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解：，
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
（2）．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本步骤．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级课时练习）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去中括号，再去小括号，结合移项、合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先去大括号，再去中括号，最后去小括号，结合移项、合并同类项，最后系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
去中括号，得，
移项、合并同类项，得，
去小括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：
去大括号，得，
移项、合并同类项，得，
去中括号，得，
移项、合并同类项，得，
去小括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的知识，注意去括号时，各项的变化以及移项时符号的变化，是解答本题的关键．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（2）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（3）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（4）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（5）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
（6）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（2），
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（3）
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（4），
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（5），
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：；
（6），
去括号得：，
移项得：．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键．
题型03 解一元一次方程--去分母（整数）
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：．
【答案】
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算．
【变式训练】
1．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：去分母，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（2）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（3）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（4）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算．
题型04 解一元一次方程--去分母（小数）
例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将此方程的分母化为整数，再按解方程的步骤依次进行计算即可；
（2）先将此方程的分母化为整数，再按解方程的步骤依次进行计算即可．
【详解】（1）解：原方程可化为，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：原方程可化为，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·七年级课时练习）小明解一元一次方程的过程如下：
第一步：将原方程化为．
第二步：将原方程化为．
第三步：去分母．．．
(1)第一步方程变形的依据是_____；第二步方程变形的依据是_____；第三步去分母的依据是____；
(2)请把以上解方程的过程补充完整．
【答案】(1)分数的性质；等式的性质2；等式的性质2
(2)
【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可．
【详解】（1）第一步方程变形的依据是分数的性质；第二步方程变形的依据是等式的性质2；第三步去分母的依据是等式的性质2；
（2）
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
2．（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）阅读与思考
阅读以下材料，完成任务．
任务：
(1)该同学由变形到是利用了（ ）
A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2
C．分数的基本性质 D．去分母
(2)请仿照上述方法解方程：．
【答案】(1)C
(2)
【分析】（1）根据分式的基本性质即可解答．
（2）根据题目中的解答过程解答即可．
【详解】（1）变形到，
是分子与分母乘10，分子与分母乘2，
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整数，分式的值不变：分式的基本性质
故选：C．
（2）方程可化为
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．
【点睛】本题考查了分数的基本性质，解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
题型05 利用一元一次方程同解问题
例题：（2023春·四川宜宾·七年级校考阶段练习）已知关于的方程与方程的解相同，求的值．
【答案】．
【分析】先求出第二个方程的解，把代入第一个方程，求出的值即可．
【详解】解：，
去括号得，
移项合并得，
解得，
把代入方程得：，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解此题的关键是得出关于的方程，难度不是很大．
【变式训练】
1．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）当 时，方程和方程的解相同．
【答案】
【分析】先求出第一个方程的解，把代入第二个方程，再求出的值即可．
【详解】解：解方程得：，
方程和方程的解相同，
方程的解也是，
把代入得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能求出关于的方程是解此题的关键．
2．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知关于x的方程的解与的解相同，则m的值为 ．
【答案】
【分析】先求出方程的解，再把解代入方程，再求解即可得到答案．
【详解】解：解方程，
得：，
把代入方程，
得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
题型06 一元一次方程整数解问题
例题：（2023春·浙江杭州·七年级校考阶段练习）已知整数a使关于x的方程有整数解，则符合条件的所有a值的和为（ ）
A．﹣8B．﹣4C．﹣7D．﹣1
【答案】A
【分析】先求出方程的解是，根据方程有整数解和为整数得出或或或，求出的值，再求出和即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
当时，，
整数使关于的方程有整数解，
或或或，
解得：或或或0，
和为，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的整数解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河南南阳·七年级统考阶段练习）若关于的方程有正整数解，则整数的值为（ ）
A．或或或B．或C．D．
【答案】B
【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为，结合原方程有正整数解且为整数，即可得出的值．
【详解】解：∵方程有解，
∴，
，
，
．
又原方程有正整数解，且为整数，
或．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）关于的方程的解为整数，则符合条件的正整数的值之和为 ．
【答案】
【分析】先将方程化简为，根据方程的解为整数，得到关于的方程，解出并找出符合题意的的值相加，即可得出答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵方程的解为整数，
∴或，
解得：或或或，
又∵为正整数，
∴的值为或或，
∴符合条件的正整数的值之和为：．
故答案为：
【点睛】本题考查了含参数的一元一次方程，解题的关键是得到关于参数的方程．
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·八年级统考开学考试）下列方程，与的解相同的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解一元一次方程，根据题意，即可求解．
【详解】解：
解得：；
A. ，解得：，故该选项不符合题意；
B. ，解得：，故该选项不符合题意；
C. ，解得：，故该选项不符合题意；
D. ，解得：，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
2．（2023春·海南海口·九年级校考期中）若代数式的值为，则x的值是（ ）
A．B．C．1D．9
【答案】C
【分析】利用解方程集题即可．
【详解】解：由题可知，解得，
故选C．
【点睛】本题考查解方程，掌握移项的法则是解题的关键．
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）把方程去分母后，正确的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】方程两边同时乘以8即可去掉分母，注意不要漏掉常数项．
【详解】解：方程两边同时乘以8得：
故选：D
【点睛】本题考查解一元一次方程--去分母．找到所有分母的最小公倍数即可．
4．（2023春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知方程的解是正数，则的最小整数解是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】依次去括号、移项、合并同类项、系数化1解方程，求得，再根据方程的解是正数，求出，即可得到的最小整数解．
【详解】解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：，
方程的解是正数，
，
，
的最小整数解是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键．
5．（2023秋·山东泰安·六年级统考期末）下列变形正确的是（ ）
A．由，移项得
B．由，去分母得
C．由，去括号得
D．把中的分母化为整数得
【答案】D
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、由，移项得，不符合题意；
B、由，去分母得，不符合题意；
C、由，去括号得，不符合题意；
D、把中的分母化为整数得，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握运算法则及等式的性质是解本题的关键．
二、填空题
6．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解方程，合并同类项后可得 ，将未知数的系数化为1可得 ．
【答案】
【分析】方程合并同类项后，将未知数的系数化为1，即可得到结果．
【详解】解：解方程，
合并同类项后可得，
将未知数的系数化为1可得．
故答案为：，．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如果关于的方程与方程的解相同，则 ．
【答案】4
【分析】先求出第一个方程的解，再把第一个方程的解代入第二次方程得到，进行计算即可得到答案．
【详解】解：解方程得：，
关于的方程与方程的解相同，
把代入方程得：，
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
8．（2023秋·全国·七年级课堂例题）若的值与的值互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据相反数的定义可得关于a的方程，解方程即得答案．
【详解】解：根据题意可得：，
即，
解得；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的求解和相反数的定义，正确得出方程是关键．
9．（2023秋·黑龙江佳木斯·八年级佳木斯市第五中学校联考开学考试）已知关于的方程：有非负整数解，则整数的所有可能的值之和为 ．
【答案】
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
将系数化为1，得，
∵方程有非负整数解，
∴取，，，
∴或，时，方程的解都是非负整数，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
10．（2023春·河南南阳·七年级统考期中）定义，例如，则方程的解为 ．
【答案】
【分析】根据新运算的法则，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
整理得：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握定义新运算，正确的列出方程．
三、解答题
11．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）解方程．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）移项、合并同类项即可求解；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项即可求解；
（3）去分母、去括号、移项、合并同类项即可求解；
（4）先将分式的分子、分母化为整数，再去分母、去括号、移项、合并同类项即可求解．
【详解】（1）解：
∴
（2）解：去分母：
∴
（3）解：去分母：
去括号：
∴
（4）解：原方程可化为：
去分母：
去括号：
∴
【点睛】本题考查求解一元一次方程．注意计算的准确性．
12．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先去括号，再移项即可求解；
（2）先去括号，再移项，最后将x的系数化为1即可求解；
（3）先去括号，再移项、合并同类项，最后将x的系数化为1即可求解．
【详解】（1）解：，
两边同时乘以得，，
移项得，，
系数化为1得，；
（2）解：两边同时乘以2得，，
两边同时乘以3得，，
移项得，，
系数化为1得，；
（3）解：去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的方法是解题的关键．
13．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（3）先根据分数的性质，将方程化简，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）
解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）
解：原方程可化为：，
去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解题步骤．
14．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：去分母，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（2）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（3）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
（4）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算．
15．（2023秋·全国·七年级课堂例题）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
【分析】（1）先去分母，然后再移项，合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先去分母，再去括号，然后再移项，合并同类项，最后系数化为1即可；
（3）先去分母，再去括号，然后再移项，合并同类项，最后系数化为1即可；
（4）先去分母，然后再移项，合并同类项即可；
（5）先去分母，再去括号，然后再移项，合并同类项，最后系数化为1即可；
（6）先去分母，再去括号，然后再移项，合并同类项，最后系数化为1即可；
（7）先去分母，再去括号，然后再移项，合并同类项即可；
（8）先去分母，再去括号，然后再移项，合并同类项，最后系数化为1即可；
（9）先去分母，再去括号，然后再移项，合并同类项，最后系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（3）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（4）解：，
去分母得：，
移项，合并同类项得：；
（5）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（6）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（7）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：；
（8）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（9）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法， 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算．
16．（2023春·江苏淮安·七年级统考开学考试）定义一种新的运算“”： 例如： ．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据代值求解即可；
（2）根据新定义得到方程，解方程即可；
【详解】（1）解：．
（2）解：
解得：．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键．
分子、分母含小数的一元一次方程的解法
我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，那么像这样分子、分母均含有小数的方程如何求出它的解呢？下面是某同学的解答过程：
解：原方程可化为，去分母，得，移项、合并同类项，得，系数化为1，得．